Exercices corrigés de barycentre 1

Barycentres et colinéarité – Exercice corrigé
Première S (1ère S)
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
Dans un plan rapporté au repère (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗ ⃗), on considère les points
et
définis par :
⃗.
On pose par ailleurs :



le barycentre de (
le barycentre de (
le barycentre de (
) et (
)
) et (
)
) et (
)(
)
1- Déterminer les coordonnées des barycentres ,
et .
2- Déterminer le réel tel que ,
et
soient alignés.
Correction de l’exercice 1
⃗ ⃗), avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Remarque : Le plan est rapporté au repère (
points , et ont pour coordonnées :
(
)
(
1- Déterminons les coordonnées des points
,
⃗
⃗
⃗
⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
et
⃗
(
⃗. Donc les
)
.
Rappel : Coordonnées d’un barycentre de deux points pondérés
Dans un repère (
⃗ ⃗) du plan, on considère les points (
des points (
) et (
). Alors, ce barycentre existe ssi
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
), (
et on a :
) et (
) le barycentre
a donc pour coordonnées :
{
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1

est le barycentre de (
) et (
et est non nulle :
et
Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ; ce barycentre existe car la somme des coefficients des points
.
(⃗
⃗)
⃗
⃗
D’où :
(


*
est le barycentre de (
) et (
( )
points et est non nulle :
Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D’où :
(
)
est le barycentre de (
points et est non nulle :
Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)(⃗
)⃗
D’où :
(
( ⃗
) et (
⃗)
(
⃗)
⃗
⃗
) ; ce barycentre existe car la somme des coefficients des
et
.
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗
⃗)
) ; ce barycentre existe car la somme des coefficients des
et
.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)⃗
(
)⃗
(
(
)⃗
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)⃗
⃗
(
⃗
)⃗
)
sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
Déterminons les coordonnées des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :
2- Les points
,
et

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
Or,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(
)
(
)
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
Deux vecteurs 𝑢
⃗⃗(𝑥 𝑦) et
𝑣⃗(𝑥’ 𝑦’) sont colinéaires
ssi 𝑥𝑦’ 𝑥’𝑦
|
)(
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
|
)
On multiplie par 4 pour éliminer
les fractions.
)
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2
(
En conclusion, les points
,
et
)
soient alignés si et seulement si
.
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