Première S : Exercices sur les barycentres
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Première S : Exercices sur les barycentres
Première S : Exercices sur les barycentres Exercice 1 : Dans un quadrilatère ABCD, on appelle I le milieu de [AC], J le milieu de [BD] et G le point 1 2 défini par : AG ( BC DC ) . 1. Montrer que G est le barycentre de (A, 2), (B, −1) ,( C, 2) et (D, −1) . 2. En déduire que les points I, J et G sont alignés. Exercice 2 : Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC] et J celui de [BD]. Soit K le point défini par KA 2 KB et L celui défini par LC 2 LD . M le milieu de [LK]. Le but du problème est de montrer que M, I et J sont alignés et de donner la position de M sur la droite (IJ). 1. Faire une figure. 2. J us t i f i e rl ’ e xi s t e nc eduba r y c e nt r eG de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2)}. En associant les points de différentes façons, montrer que G appartient aux droites (KL) et (IJ). 3. Montrer que G et M sont confondus, que M est aligné avec I et J puis donner la position de M sur (IJ). Exercice 3 : Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Soit G le barycentre de (A, −1) ,( B,2)e t( C,2) . 1. Montrer que G appartient à la droite (AI). 2. Soit H le symétrique de A par rapport à B. Montrer que C, G et H sont alignés. Exercice 4 : Soit ABC un triangle. On considère : * le barycentre I de (A ; 2) et (C ; 1) ; * le barycentre J de (A ; 1) et (B ; 2) ; * le barycentre K de (C ; 1) et (B ; –4). 1. Montrer que B est le barycentre de (K ; 3) et (C ; 1). 2. En déduire le barycentre de (A ; 2), (K ; 3) et (C ; 1) ; 3. Montrer que J est le milieu de [IK]. Exercice 5 : Soit ABCDE un pentagone tel que BC ED . Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L. Soit I le milieu de [AB] et J celui de [AE] ; soit K le barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1), (D, 1) et (E, 1). 1. Démontrer que les points A, K et L sont alignés. 1 3 2. Démontrer que LK LA . 3. En déduire que le point K est le centre de gravité de ABD et de ACE. 1 Exercice 6 : Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu de [CD] et E le symétrique de A par rapport à B. Les droites (AC) et (IB) se coupent en F.Lebutdel ’ e xe r c i c ee s tdemont r e rquel e spoi nt sD, F et E sont alignés. Soit G le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, 2) et (C, 2). 1. Montrer que G e s tl ’ i s ob a r y c e nt r edut r i a ng l eBCD. En déduire que les points B, G et I sont alignés. 2. Montrer que les points A, G et C sont alignés. En déduire que les points G et F sont confondus. 3. Démontrer que les points D, F et E sont alignés. Exercice 8 : Dans un triangle ABC on définit I le barycentre de (B, 2), (C, 1), J le barycentre de (A, 3), (C, 2) et K le barycentre de (A, 3) et (B, 4). 1. Faire une figure. 2. En considérant G le barycentre de (A, 3), (B, 4) et (C, 2), montrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes en G. Exercice 9 : Soit ABC un triangle et I, J et K les points définis par : 2 3 I est le milieu de [AB] ; JC JA ; BK 3 BC. 1. Déterminer les coefficients pour lesquels I est le barycentre de (A, a), (B, b), J celui de (A, a’ ) ,( C, c) et K celui de (B, b’ ), (C, c’ ) . 2. Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de (A, 2), (B, 2) et (C, −3) . Exercice 10 : 1 2 2 5 Soit ABC un triangle, D et E les points définis par DB DA et CE CB. I est le point d’ i nt e r s e c t i onde sdr oi t e s( AE) et (CD) et F celui des droites (BI) et (AC). On cherche à préciser la position du point F sur (AC). 1. Déterminer les coefficients pour lesquels D est le barycentre de (A, a), (B, b) et E celui de (B, b’ ) ,( C, c’ ) . 2. Préciser les coefficients pour lesquels I est barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ). 3. En déduire la position du point F sur la droite (AC). Exercice 11 : Soit ABC un triangle, I le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à C. Les droites (AD) et (BI) se coupent en G. Enfin, K e s tl epo i ntd’ i nt e r s e c t i onde( AB) et (CG). On veut prouver que A est le milieu de [BK]. 2 1. On considère D et I comme barycentres de 2 sommets du triangle ABC munis de coefficients. Préciser ces coefficients. 2. Déterminer les coefficients pour lesquels G est barycentre de (A, ), (B, ) et (C, ). Conclure. Exercice 12 : Soit I l ec e nt r ed’ unpa r a l l é l og r a mmenona pl a t iABCD. 1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de : {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}. 2. Que le s tl ’ e ns e mbl ede spoi n t sG, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients , 2, 1 et 1 2 où est un réel quelconque ? Exercice 13 : ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment [BC]. Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement. Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement. 1. Montrer que GH = IJ. 2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ? Exercice 14 : Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le barycentre de (A, 2) et (B, 1), F celui de (B, 2) et (C, 1), G celui de (C, 2) et (D, 1) et H celui de (D, 2) et (A, 1). Faire une figure et montrer que EFGH est un parallélogramme. Exercice 15 : ABCD est un quadrilatère convexe. I est le milieu de [AC], J le milieu de [BD], K est le barycentre de (A, 1) et (B, 2) et L celui de (C, 1) et (D, 2). M est le milieu de [LK]. 1. Montrez que le barycentre G de (A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2) est le point M. 2. Montrez que M I 2 M J et conclure. Exercice 16 : Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit à ce triangle (point d'intersection des médiatrices), et G son centre de gravité. Soit H le point défini par OH OA OBOC . 1 2 1. a. Soit A' le milieu de [BC]. Démontrer que OA ' OBOC . AH et OA ' sont b. Démontrer que les vecteurs colinéaires. c. Déduire de a. et b. que AH est une hauteur du triangle ABC. 2. Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC. 3 3. Soit M un point quelconque du plan. a. Démontrer que 3 M G M A M B M C . b. Déduire des questions précédentes que les points O, G et H sont alignés. Exercice 17 : ABC est un triangle de centre de gravité G (isobarycentre de A, B, C). On appelle I le milieu de [BC]. La parallèle à (BC) menée par G coupe (AC) en E. 1. Faire la figure et construire le point D défini par AD 2 AB . 2 3 2. Montrer que AE AC . Trouver les coefficients a et b tels que E soit le barycentre de (A, a) ; (C, b) . 3. Montrer que B est le barycentre de (A, 1) ; (D, 1). 4. Montrer que I est le barycentre de (A, 1) , (D, 1) et (C, 2). En déduire que les points I, D et E sont alignés. Préciser la position de I sur [DE]. Exercice 18 : 1 3 Dans un triangle ABC, soit E le point défini par AE AB et soit A’l emi l i e ude[ BC]. 1. Exprimer le point E comme barycentre des points A et B. 2. Exprimer le point A’c ommeba r y c e nt r ede spoi nt sB et C. 3. On considère le point I barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, 1). a. Montrer que I est le milieu de [AA’ ] . b. Montrer que les points I, E et C sont alignés. Exercice 19 : 2 3 ABC est un triangle, J est le milieu de [AC], K celui de [JB], et I le point tel que AI AB . On se propose de démontrer de deux façons différentes que les points C, K et I sont alignés. 1. Al ’ ai deduc al c ulve c t or i e l . 1 2 3 3 1 1 b. Montrer que CK CA CB . 4 2 a. Montrer que CI CA CB . c. En déduire que C, K et I sont alignés. 2. Al ’ ai dedebar yc e nt r e s . a. Exprimer le point I comme barycentre de A et B. b. En considérant le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 1), montrer que C, K et I sont alignés. Exercice 20 : Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], J celui de[BC], K le barycentre de (A, 1), (D, 3) et L celui de (C, 1), (D, 3). Les droites (IC) et (AJ) se coupent en G. 4 Démontrer que les droites (IL) et (JK) sont sécantes en un point H, milieu du segment [DG]. Exercice 21 : Dans un tétraèdre ABCD on considère E le barycentre de (A, −1) ,(B, 2) et (C, −3); F le milieu de [ED], G le barycentre de (A, 1) et (D, 2) et H celui de (B, 2) et (C, −3) . 1. Démontrer que F, G et H sont alignés. 2. Démontrer que B, C, F et G sont coplanaires. Exercice 22 : ABCD est un tétraèdre. F est le milieu de [AD], G est le centre de gravité de ABC, E est le point du plan BCD tel que BDCE est un parallélogramme. 1. Vérifier que D est le barycentre de (B, 1), (C, 1) et (E, −1) . 2. Dé mont r e rl ’ a l i g ne me ntdeE, F et G. Exercice 23 : 1 2 1 3 3 3 ABCD est un tétraèdre. On définit les points I, J, K et L par : AI AB , BJ BC , CK CD 2 3 et DL DA . Soient M le milieu de [AC] et N celui de [BD]. 1. Démontrer que les droites (IK), (JL) et (MN) sont concourantes en un point G quel ’ on déterminera. 2. Soit P le milieu de [CN]. Démontrer que la droite (AP) passe par G et préciser la position de G sur [AP]. 3. La droite (BG) coupe la face ACD en Q. Démontrer que Q est sur le segment [DM] et préciser sa position. Exercice 24 : Da nsl ’ e s pa c e ,onc ons i dè r eunt é t r a è dr eABCD. Soit I le milieu du segment [AB] et K celui du 1 4 1 4 segment [CD]. Soit L le point défini par AL AD et J celui défini par BJ BC . Soit G le barycentre de {(A, 3) ; (B, 3) ; (C, 1) ; (D, 1)}. 1. Déterminer le barycentre de{(A, 3) ; (D, 1)} puis celui de {(B, 3) ; (C, 1)}. 2. En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). 3. En déduire que I, J, K et L sont coplanaires. Exercice 25 : On donne un rectangle ABCD du plan dont les côtés [AB] et [BC] ont pour longueurs respectives a et b. Pour tout réel m non nul, on note Gm le barycentre du système de points pondérés {(A, m) ; (B, −1); (C, 1)}. 1. Est-ce que Gm est sur la droite (BC) ? 2. Que le s tl ’ e ns e mbl ede spoi nt sM du plan tels que M A M B M C a2 b2 ? 5 3. Que le s tl ’ e ns e mbl ede spoi nt sM du plan tels que M A M B M C a ? 4. Est-c equel ’ a i r edut r i a ng l e GmBC dépend de m ? Exercice 26 : ABCD est un carré de centre O, de côté a. G est le centre de gravité du triangle ABC. 1. Démontrer que le barycentre H du système {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 5)} est le milieu du segment [OD]. 2. Calculer, en fonction de a, la distance OD. 3. a. Dé t e r mi ne re tc ons t r ui r el ’ e ns e mbl eE des points M du plan vérifiant : M A M B M C 5 M D 2 a 2 . b. Sans nouvelle démonstration, donner la position du barycentre K du système {(A, 1) ; (B, 5) ; (C, 1) ; (D, 1)}. c. Détermi ne re tc ons t r ui r el ’ e ns e mbl eF des points M du plan vérifiant : M A 5 M B M C M D M A M B M C 5 M D . 4. a. Calculer, en fonction de a, la distance DG. b.Dé t e r mi ne re tc ons t r ui r el ’ e ns e mbl ede spoi nt sM du plan vérifiant : M A M B M C 3 M D 2 M A M C . Exercice 27 : On se donne dans le plan un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 2a et AC = a où a est une longueur donnée. 1. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que M A M B M C 2 M A M B M C 1 2 2. On désigne par H le point du plan tel que AH AB 2 AC . a. Montrer que H est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que l'on déterminera. b. On considère l'ensemble des points du plan tels que 3 M A2 M B2 4 M C 2 k . Pour quelle valeur de k cet ensemble contient-il le point A ? Préciser l'ensemble alors obtenu et construisez le. Exercice 28 : ABC est un triangle. 1. Construire le barycentre G de (A, 1) ; (B, 2) et (C, 3) ; M étant un point quelconque du plan, exprimer M A 2 M B 3 M C en fonction de MG. 2. Construire le barycentre K de (A, 8) ; (B, −1)e t( C, −1); M étant un point quelconque du plan, exprimer 8 M A M B M C en fonction de MK. 3. Quel est l'ensemble des points M tels que M A 2 M B 3 M C = 8 M A M B M C ? Le construire. 6 4. Exprimer plus simplement le vecteur M A2 M B3 M C . Soit l'ensemble des points M tels que M A 2 M B 3 M C = M A 2 M B 3 M C . Vérifier que C appartient à . Déterminer et construire . Exercice 29 : Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3 et BC = 4. 1. Déterminez les coefficients , , tels que D soit le barycentre du systême (A, ) ; (B ; ) et (C ; ). 2. Dé t e r mi ne zl ’ e ns e mbl ede spoi nt sM tels que M A M B M C 5 . Exercice 30 : Soit ABC un triangle isocèle du plan tel que AB = AC. On note I le milieu de [BC] et on donne AI = 4a, BC = 2a, a réel strictement positif. Pour la figure on prendra a = 2 cm. 1. On note G le barycentre du système ( A, 2) ; ( B, 1) ; (C , 1) . Déterminer et construire l ’ e ns e mbl ede spoi nt sM du plan tels que 2 M A M B M C 2 M A M B M C . 2. k é t a ntun nombr er é e l ,dé t e r mi ne rl ’ e ns e mbl e de spoi nt sM du plan tels que 2 M A2 M B2 M C 2 ka2 (on discutera suivant les valeurs de k). 3. On prend a = 1 et on construit un repère du plan de centre I, de sorte que les vecteurs 1 4 de base soient i IC et j IA . Déterminer les coordonnées de A, B, C et G. Retrouver alors les réponses du 1. et du 2. Exercice 31 : On se donne dans le plan un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 2a et AC = a où a est une longueur donnée. 1. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que : M A M B M C 2 M A M B M C 1 2 2. On désigne par H le point du plan tel que AH AB 2 AC . a. Montrer que H est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients que l'on déterminera. b. On considère l'ensemble des points du plan tels que 3 M A2 M B2 4 M C 2 k . Pour quelle valeur de k cet ensemble contient-il le point A ? Préciser l'ensemble alors obtenu et construisez le. Exercice 32 : A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC = 5 et BC = 4. I est le milieu de [BC]. J est défini par BJ 2 BC . G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; –2). 1. Exprimer le point J comme barycentre des points B et C. 2. a. Montrer que G est le barycentre des points A et J. b. En déduire la position de G sur le segment [AJ]. 3. a. Exprimer, pour tout point M du plan, le vecteur M A 3 M B 2 M C en fonction de M G . 7 b. Expr i me ra l or se nf onc t i ond’ unes e ul edi s t a nc el anor me M A 3 M B 2 M C . c. Déterminerl ’ e ns e mbl e des points M tels que : M A 3 M B 2 M C M B M C . d.Tr a c e rl ’ e ns e mbl e. 4.a .Dé t e r mi ne rl ’ e ns e mbl e des points M tels que : (3 M B 2 M C ) M A 0 . b. Justifier que le point I a ppa r t i e ntàl ’ e ns e mbl e pui st r a c e rl ’ e ns e mbl e. 5. a. Calculer BA BJ . b. En déduire cos ABJ . 6. K est le milieu de [AB]. Calculer la longueur JK. Exercice 33 : Soient A et B deux points du plan tels que AB = 8 cm. On appelle I le milieu de [AB]. 1. a. Construire le barycentre G des points (A, 5) et (B, 3). b.Dé t e r mi ne rl ’ e ns e mbl e( E)de spoi nt sdupl a nt e l sque 5 M A 3 M B 16 . Tracer cet ensemble (E). 2. a. Construire le barycentre H des points (A, 5) et (B, –3). b. Dé t e r mi ne rl ’ e ns e mbl e des points du plan tels que 5 M A 3 M B 5 M A 3 M B 0 . Tracer cet ensemble . 8