Lycée Saint Sernin ~ MATHÉMATIQUES Premier devoir commun
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Lycée Saint Sernin ~ MATHÉMATIQUES Premier devoir commun
Lycée Saint Sernin ~ MATHÉMATIQUES Premier devoir commun 1ère S 20 novembre 2006 ~ 110 min Exercice 3: (3,5 points) 1) On considère le trinôme f(x) = 3x² - 7x + 4. Mettre f(x) sous forme canonique puis factoriser f(x). Exercice 1 : (3,5 points) On appelle f la fonction définie sur R par f ( x) = x 2 + 4 x + 5 1) Montrer que pour tout réel x, f ( x) = ( x + 2) 2 + 1 . Et en déduire que pour tout réel x, f(x) ≥ 1 . 2) Soit P(x) = 3x3 − 16 x ² + 25 x − 12 a) Vérifier que 3 est une racine de P b) Déterminer les réels a, b et c tels que P( x) = ( x − 3)(ax ² + bx + c) 2) Par quelle transformation géométrique passe-t-on de la courbe de la fonction carré à la courbe de f 3) Résoudre P(x) ≥ 0 3) En déduire le tableau de variation de f. (sans justifications) 4) On pose g ( x) = ( x ² + 4 x + 5 ) . Donner deux fonctions u et v telle que g = v u. En utilisant les fonctions composées, étudier le sens de variation de g sur ]−∞; −2[ . (Des justifications précises sont attendues ainsi que le rappel des théorèmes utilisés) 2 Exercice 4: (8,5 points) Dans le plan, on considère le triangle quelconque ABD. Exercice 2 : (4,5 points) Dans un repère orthonormal, on considère les points A ( 0 ; 3 ) et B ( 6 ; 0 ). Le point M sur le segment [OB] a pour abscisse x. N est le point de la droite ( AB ) tel que ( MN ) est parallèle à l’axe des ordonnées. I est l’isobarycentre de A et B. L est le barycentre de (A;1) et de (D;2). Q est le point tel que BQ = 2BD 1) a) Recopier la figure en respectant le quadrillage et placer les points I, L et Q. b) Etablir par un calcul vectoriel que Q est le barycentre de (B;– 1) et de (D;2). 2) a) Montrer que L est aussi le barycentre de (I ; 2) et de (Q ; 1). b) Que peut-on en déduire pour les points I, L et Q ? 3) Que représente le point L pour le triangle ABQ ? Justifier la réponse. 1) a) Déterminer une équation de la droite (AB). 3 1 b) Montrer que l’aire du triangle AMN est – x2 + x. 2 4 4) On considère maintenant le point F, barycentre de (A ; 3), de (B ; 3) et de (D ; 6). a) Montrer que les points B, F et L sont alignés. b) Exprimer BF en fonction de BL . Placer alors F. 2) a) On note f la fonction qui à x fait correspondre l’aire du triangle AMN. Préciser Df. Etudier le sens de variation de f sur Df. (justifier) 5) En utilisant les barycentres : a) Déterminer l’ensemble (E1) des points M qui vérifient : 2MA + 4MD = 3MA + 3MB . b) Où faut-il placer le point M pour que cette aire soit maximale ? 1 3) Calculer les valeurs exactes de x pour lesquelles l’aire du triangle AMN dépasse le de l’aire du triangle 6 OAB. Tracer alors (E1) b) Déterminer également (E2) l’ensemble des points M tels que : MA + MB + MQ = AD Montrer que D est un point de (E2) et tracer alors (E2)