Transformée de Fourier

II. Représentation des Signaux en
Fréquence
Transformées de Fourier
1
Option SLE, Cours Signal-Automatique
Cours 5; AGD; 15/11/04
Représentation en Fréquence :
4 modèles
• Signaux continus périodiques
– Série de Fourier (SF)
• Signaux continus non périodiques
– Transformée de Fourier (TF)
• Signaux discrets non périodiques
– Transformée de Fourier des signaux discrets
(TFSD)
• Signaux discrets périodiques
– Transformée de Fourier discrète (TFD)
2
Justification
• Représentation temporelle
– Extraction de paramètres (amplitude, énergie….)
• Cas particulier des signaux « sinus »
« cosinus »
– déterminés par la connaissance de :
• l’amplitude, la fréquence (période ) et la phase
• Série de Fourier (1807)
– « Tous » les signaux périodiques peuvent se
décomposer en somme de signaux sinusoïdaux
x(t)= a0 +∑ancos(nω 0t )+bnsin(nω 0t ) , x(t) périodique de période T0
2 n=1
∞
3
Représentation des signaux
périodiques (1/2)
• Cas trivial : x(t)=Asin(ω0t+φ)
x(t)=Acos(φ)sin(ω0t)+Asin(φ)cos(ω0t)
Îa0=0, a1=Asin(φ), b1=Acos(φ)
• Cas quelconque : x(t) périodique de
période T0
T0
T0
2
T0
2
T0
2
an= 2 ∫ x(t)cos(nω0t)dt = 2 ∫ x(t)cos(nω0t)dt
T0 0
T0 −T0
bn= 2 ∫ x(t)sin(nω0t)dt = 2 ∫ x(t)sin(nω0t)dt
T0 0
T0 −T0
2
4
Représentation des signaux
périodiques (2/2)
•
∞
x(t)= ∑ X[n].exp( jnω 0t )
Formulation complexe
n=−∞
Cas trivial : x(t)=Asin(ω0t+φ)
x(t)= (Ai/2).(e-iθ-eiθ); θ= ω0t+φ
x(t)=(Ai/2)(e-iφ.e-iω0t -eiφ.eiω0t)
ÎX[1]= -(Ai/2). eiφ ; X[-1]= (Ai/2). e-iφ
• Cas quelconque : x(t) périodique de période T0
•
T0
2
T0
X[n]= 1 ∫ x(t)exp(−jnω 0t)dt = 1 ∫ x(t)exp(−jnω 0t)dt
T0 0
T0 −T
0
X[n]=
an − jbn
2
2
5
Exemples (1/2)
Signal Carré
Signal Triangle
x(t)
x(t)
A
A
-T0/2
nπ
an = 2 sin⎛⎜ ⎞⎟
πn ⎝ 2 ⎠
a0 = A
bn =0
0
T0/2
T0
(−1) p2
a2p+1=
π (2p+1)
a2p =0
(Signal pair)
X[n]= an
2
t
-T0/2
0
T0/2
T0
an = 2A 2 (cos(nπ )−1)
(π n)
a2p+1=
t
a0 = A
−4A
(π (2p+1))2
a2p =0
bn =0 (Signal pair)
X[n]= an
2
6
Exemple (2/2)
an
Reconstruction
7
Spectre de raies
• Dans le domaine fréquentiel, un signal périodique
est représenté par un spectre de raies
– Connaissance de la suite des X[n]
lim X[n]=0
n→∞
Convergence
|X[n]| : module du spectre
Real {X[n]} : Partie réelle du spectre
Imag{X[n]} : Partie imaginaire du spectre
8
Signaux continus non périodiques
• Extension
– Que se passe t’il quand T tend vers l’infini ?
• Spectre de raies Æ spectre continu
xp,T(t)
-T
0
-T0/2
T0/2
T
t
T
x(t) : Signal non périodique
et ici transitoire
x(t)
-T0/2
0
T0/2
t
9
Transformée de Fourier
C’est la Transformée de Fourier inverse : x(t) = TF-1{X(f)}
+∞
x(t)= ∫ X(f) exp(2π j f t)df
−∞
C’est la Transformée de Fourier : X(f)=TF{x(t)}
+∞
X(f)= ∫ x(t) exp(−2π j f t )dt
−∞
X(f) existe si l’intégrale converge (conditions d’existence)
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Extension
• Que se passe-t-il pour x(t) = δ(t) ?
• Que se passe -t-il pour x(t) = A.sin(ω0t+φ)
ou cos(.) ?
• Les 2 réponses sont liées :
– Calcul de TF{δ(t)} = 1
– Calcul de TF-1{δ(f-f0)} = exp(2πjf0t)=exp(jω0t)
• Pour que TF et TF-1 correspondent :
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ exp(2π j f t)df =δ(t)
∫ exp(−2π j f t)dt=δ(f)
11
Exemples
Signal x(t)
δ(t)
1
δ(t-t0)
TF : X(f)
1
δ(f)
exp(−t/τ).γ(t)
τ/(1+2πjfτ)
sin(πfT)/(πf)=Tsinc(πfT) [sinc(x)=sin(x)/x]
porte p(t) :durée –T/2, +T/2; amplitude 1
A.sin(2πf0t)
A.cos(2πf0t)
exp(-2πift0)
Aj
[δ ( f + f0 )−δ ( f − f0 )]
2
A[δ ( f + f0 )+δ ( f − f0 )]
2
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Propriétés (1/2)
• Linéarité
• Symétries
– x(t) réel :
• Real{X(f)} paire, Imag{X(f)} impaire, |X(f)| pair
– x(t) réel pair :
• Imag{X(f)} nulle
– x(t) réel impair :
• Real{X(f)} nulle
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Propriétés (2/2)
TF
x(t ) ←⎯
⎯→ X ( f )
• Translation temporelle
TF
x(t − a ) ←⎯
⎯→ exp( −2 π j a f ) X ( f )
• Translation fréquentielle
TF
x(t ) exp( −2π j f p t ) ←⎯
⎯→ X ( f + f p )
• Dérivation n
d x(t )
dt n
←⎯
⎯→ (2π j f )n X ( f )
TF
• Théorème de Parceval
E=
+∞
∫
2
x(t ) dt =
−∞
+∞
∫
2
X ( f ) df
−∞
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