Nom, prénom

Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.1
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mercredi 26 septembre 2012
Tle ES
n°T1-2
DEVOIR DE MATHÉMATIQUES
Durée : 1 h 45
Exercice 1
(
Calculatrice : autorisée
25
/ 2 points) :
Dans chaque cas, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). Justifier.
1) La suite (un) définie pour tout entier n par : u0 = 9 et un + 1 = un + 0,07un
a) n’est pas une suite géométrique.
b) est une suite géométrique de raison 0,07.
c) est une suite géométrique de raison 1,07.
d) est une suite géométrique de raison 2,07.
2) Si S = 1 + 5 + 52 + … + 57, alors
a) S contient sept termes.
Exercice 2
(
b) S contient huit termes.
c) S = 97 656.
d) S = 19 531.
/ 3 points) :
Déterminer le sens de variation des suites (un) définies pour tout entier naturel n par :
1) (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme u0 = –2.
2) (un) est une suite géométrique de raison
5
et de premier terme u0 = –2.
8
3) (un) est une suite géométrique de raison
3
et de premier terme u0 = 4.
2
Exercice 3
(
/ 3 points) :
Dans chaque situation, les consommations sont-elles les premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique ?
1) La consommation annuelle de poisson de Kévin est passée de 11,4 kg en 1985 à 12,7 kg en 1995, puis à 14 kg en
2005.
2) Marcel consommait annuellement 90 kg de pain en 1970, puis 54 kg en 1990 et 32,4 kg en 2010.
3) Julie a consommé 20 kg de chocolat en 2009.
Sa consommation a doublé en 2010, puis triplé en 2011.
Exercice 4
(
/ 4 points) :
1) Calculer la somme S = 1+
1 1
1
+ 2+…+ 9.
2 2
2
2) Un enfant fait des ricochets avec des cailloux. Il est au bord d'une rivière de 15 mètres de largeur. Le premier
ricochet a lieu à 7 mètres du point de départ ; ensuite la distance entre deux ricochets est divisée par deux d'un
ricochet à l'autre.
a) Calculer la distance parcourue par le caillou au bout de dix ricochets.
b) L'enfant peut-il espérer que sa pierre atteigne l'autre rive ? Justifier.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes)
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Exercice 5
(
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/ 6 points) :
Hélène dispose d'un capital de 15 000 € qu'elle place à intérêts composés au taux annuel de 2,25 %.
1) Quel est le montant du capital disponible au bout d'une année de placement ? de deux années ?
2) Pour tout entier n, on note Cn le capital obtenu au bout de n années de placement, en euro.
a) Justifier que, pour tout entier n : Cn = 15 000  1,022 5n.
b) Déterminer le sens de variation et la limite de la suite (Cn). Interpréter les résultats.
3) Hélène a des projets d'achat. Pour tout achat d'un montant S, elle souhaite
connaître le nombre d'années de placement nécessaire pour que son capital
dépasse S. Elle construit l'algorithme ci-contre.
Est-il correct ? Sinon, le corriger.
4) À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années le
capital aura doublé.
5) Est-il envisageable, à l'échelle d'une vie humaine, qu'Hélène dispose de
50 000 € ?
Exercice 6
(
Entrer S
Stocker 0 dans N et 15 000 dans C
Tant Que C < S, faire
stocker N + 1 dans N
stocker C*2,25/100 dans C
Fin Tant Que
Afficher N
/ 7 points) :
Une entreprise importe des papayes afin de fabriquer de l'extrait lyophilisé.
Elle fabrique 500 kg d'extrait au mois de janvier.
À la fin du mois, il se vend 4 % de la production mensuelle et le reste est stocké au fur et à mesure. Du fait d'une baisse
de la demande, la production mensuelle diminue de 8 % par mois.
Pour tout entier n, on note un la quantité restante en fin de mois en kg et Sn le stock après n mois de diminution, c'est-àdire : Sn = u0 + u1 + … + un .
1) a) Justifier que u1 = 441,6. Calculer u2 .
b) Déterminer la formule de récurrence donnant un + 1 en fonction de un . En déduire la nature de la suite (un).
c) Montrer que Sn = 6 000  (1 – 0,92n + 1).
2) Quelle est la limite de (un) ? Interpréter.
3) Quelle est la limite de (Sn) ? Interpréter.
4) a) La quantité stockée peut-elle atteindre 10 tonnes ?
b) Déterminer au bout de combien de mois la quantité stockée dépasse 4 tonnes.
Combien de kg d'extrait seront alors vendus ?
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes)
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Correction du devoir de mathématiques du 26/09/2012
Exercice 1 (2 points) :
1) un + 1 = un + 0,07un = 1,07 un .
2) S = 50 + 51 + 52 + … + 57 contient huit termes.
Réponse c .
S=
1 – 58
= 97 656.
1–5
Réponses b et c .
Exercice 2 (3 points) :
1) On a un = –2  5n.
Comme la raison 5 est strictement supérieure à 1, alors la suite (5n) est strictement croissante.
Comme –2 < 0, alors la suite (un) est strictement décroissante .
[1 pt]
n
5
2) On a un = –2    .
8
5
 5 n
est strictement comprise entre 0 et 1, alors la suite    est strictement décroissante.
8
8 
Comme la raison
Comme –2 < 0, alors la suite (un) est strictement croissante .
[1 pt]
n
3
3) On a un = 4    .
2
Comme la raison
3
 3 n
est strictement supérieure à 1, alors la suite    est strictement croissante.
2
2 
Comme 4 > 0, alors la suite (un) est strictement croissante .
[1 pt]
Exercice 3 (3 points) :
1) 12,7 – 11,4 = 1,3 ; 14 − 12,7 = 1,3 ; il est possible que ces termes soient les premiers termes d’une suite
arithmétique de raison 1,3.
[1 pt]
2) 54 – 90 = –36 ; 32,4 – 54 = –21,6 ; la suite n’est pas arithmétique .
54 32,4
=
= 0,6. Il est possible que ces termes soient les premiers termes d’une suite géométrique de raison 0,6 .
90 54
[1 pt]
3) En 2010, la consommation a été multipliée par 2 soit 40 kg, et en 2011 par 3 soit 120 kg.
40 – 20 = 20 et 120 – 40 = 80 ; la suite n’est pas arithmétique .
Les coefficients multiplicateurs ne sont pas égaux, donc la suite n’est pas géométrique .
Exercice 4
[1 pt]
(4 points) :
1
1 10
1 – 10
1– 
2
2


1 1
1
1
1
1 023
1) S = 1 + +
+…+  =
=
= 21 – 10 = 2 – 9 =
.
2 2
1
1
512
2
2
 2 
1–
2
2
2
9
[1,5 pt]
2) a) La distance parcourue au bout de dix ricochets est :
7+7
1
1
1 023 7 161
+…+7 9=7S=7
=
 13,99 m .
2
512
512
2
[1 pt]
1
2n
b) Pour atteindre l’autre rive, il faudrait qu’il existe un entier n tel que : 7 
> 15,
1
1–
2
1
soit 141 – n > 15.
 2
1
1
1
0 < < 1, donc lim  n = 0, et lim 141 – n = 14.
2
n  +2 
n  + 
2
1
1


On en déduit que 1 – n < 1, donc 14  1 – n < 14.
 2
 2
1–
La pierre n’atteindra donc jamais l’autre rive.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes)
[1,5 pt]
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Exercice 5
(6 points) :
Hélène dispose d’un capital de 15 000 € qu’elle place à intérêts composés au taux annuel de 2,25 %.
Son capital est donc, multiplié par 1,022 5 chaque année.
1) Au bout d’un an, le capital en euros est égal à 15 000  1,022 5 = 15 337,50 € .
Au bout de deux ans, le capital en euros est égal à 15 337,50  1,022 5  15 632,59 € .
[1 pt]
2) a) Le capital est multiplié chaque année par 1,022 5, donc la suite (Cn) est géométrique de raison 1,022 5 et de
terme initial C0 = 15 000.
Pour tout entier n, Cn = 15 000  1,022 5n.
[1 pt]
b) 1,022 5 > 1 et 15 000 > 0, donc la suite (Cn) est croissante et de limite + .
Le capital augmentera indéfiniment dans le temps, et deviendra aussi grand que voulu.
[1 pt]
3) L’instruction stocker C*2,25/100 dans C est incorrecte .
Il faut écrire : « stocker C + C*2,25/100 dans C » ou « stocker C*1,0225 dans C ».
4) C31  29 898,82 € et C32  30 571,55 €.
Le capital aura doublé au bout de 32 années.
5) À la calculatrice, on obtient C > 50 000 pour n  55.
Si Hélène n’est pas trop âgée, elle pourra disposer de 50 000 €.
[1 pt]
[1 pt]
[1 pt]
Exercice 6
(7 points) :
1) a) Pour tout entier n, on note un la quantité restante d’extrait en fin de mois en kg.
À la fin du premier mois, il reste 96 % de la production soit, en kg : 500  0,96 = 480. Donc, u0 = 480.
La production baisse de 8 % par mois, elle est donc multipliée par 0,92 chaque année. Il reste 96 % de la
production.
u1 = 0,96  500  0,92 = 441,60
u2 = 0,96  500  0,922 = 406,272
b) Soit Pn la production d’extrait à l’année n, pour tout entier n,
[1 pt]
un + 1 = 0,96  Pn + 1 = 0,96  (0,92  Pn) = 0,92  0,96 Pn = 0,92 un .
La suite (un) est géométrique de raison 0,92 et de premier terme u0 = 480.
c) Sn = 480 
1 – 0,92n + 1
= 6 000(1 – 0,92n + 1).
1 – 0,92
[1 pt]
[1 pt]
2) 0 < 0,92 < 1, donc lim un = 0 .
n  +
À long terme, la quantité restante en fin de mois se rapproche de 0 kg.
3)
[1 pt]
lim S = 6 000 .
n  + n
À long terme, la quantité stockée se rapproche de 6 000 kg ou 6 tonnes.
4) a) S = 6 000(1 – 0,92n + 1) = 6 000 – 6 000  0,92n + 1.
n
0 < 0,92 < 1 et –6 000 < 0 donc, la suite (Sn) est croissante et de limite 6 000, les quantités stockées
n’atteindront donc jamais 10 tonnes.
b) On cherche l’entier n tel que Sn > 4 000.
À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on trouve n  13,
c’est-à-dire que la quantité stockée dépassera 4 tonnes au bout de 13 mois.
P13 = 500  0,9213  169,127 kg.
Volume des ventes : 0,04  169,127  6,77 kg.
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes)
[1 pt]
[1 pt]
[1 pt]