Première STMG - Suites géométriques

Suites géométriques
I) Définition
et
sont deux nombres entiers naturels.
Soit
une suite. On dit qu’elle est géométrique si, partant du
TERME INITIAL
, pour passer d’un terme au suivant, on
MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON
Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait 20 000 € (en 2008), perd chaque année
20%
de sa valeur.
• Au bout d’un an : la voiture coûtait 20% moins cher :
20 000 (1 -
) = 20 000
0,8 = 16 000. En 2009 la voiture coûtera 16 000 €.
• Au bout de deux ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 16 000 (1 16 000
0,8 = 12 800. En 2010 la voiture coûtait 12 800 €.
• Au bout de trois ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 12 800 (1 12 800
)=
)=
0,8 = 10 240. En 2011 la voiture coûtait 10 240.€.
Et ainsi de suite … on multiplie la valeur de la voiture de l’année précédente par 0,8 pour
obtenir celle de l’année suivante.
Soit
la valeur de la voiture en 2008.
= 20 000
est la valeur de la voiture au bout d’un an c'est-à-dire
=
est la valeur de la voiture au bout de deux ans c'est-à-dire
Soit
la valeur de la voiture au bout de
années,
=
0,8 = 16 000
=
0,8 = 12 800
0,8
Cette suite est géométrique : On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours
pas le même nombre (dans notre cas 0,8)
II) Formule de calculs de termes
Soit
et
une suite géométrique de premier terme
, un entier naturel.
et de raison q
On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur
appelée raison:
Exemples :
Exemple 1 : Soit la suite (
) définie sur
par:
=
3 et
=2
1) Justifier que cette suite est géométrique
2) Calculer
;
;
puis
Réponse :
=
3 . On passe d’un terme au suivant en
1) Pour tout n appartenant à ,
multipliant toujours par 3 , la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1er terme 2
2)
=
3=2
3=6
=
3=6
3 = 18
=
3 = 18
3 = 54
=
=
=
6
18
54
3) En utilisant un tableur, on calcule u15 :
= 28 697 814
Exemple 2 : Soit la suite (
=
et
) définie sur
par:
=3
1) Justifier que cette suite est géométrique
;
2) Calculer
;
puis
Réponse :
1) Pour tout
appartenant à
multipliant toujours par
2)
=
=
=
=
=
=
,
=
.La suite est donc géométrique de raison
= 1,5
,
,
. On passe d’un terme au suivant en
= 0,75
= 0,75
=
1,5
0,75
=
=
0,375
3) En utilisant un tableur, on calcule u30 :
= 5,5879
et de 1er terme 3 .
III) Sens de variation d’une suite géométrique
Remarque : Les suites géométriques étudiées sont de raison q strictement
positive et de terme initial positif, donc tous les termes sont strictement
positifs.
Propriété:
Soit
une suite géométrique de raison
0 < < 1
>0
=1
>1
) est strictement
décroissante.
(
( > 0) et de 1er terme
=0
(
(
) est strictement
croissante.
) est une suite nulle
Exemple 1:
) définie sur
Etudier le sens de variation de la suite (
=
3 et
par :
=2
Réponse :
Pour tout n appartenant à
la suite (
La suite (
,
=
3
) est une suite géométrique de raison 3 > 1
) est donc strictement croissante.
Exemple 2 :
Etudier le sens de variation de la suite (
=
et
) définie sur
=2
Réponse :
Pour tout n appartenant à
la suite (
La suite (
,
=
) est une suite géométrique de raison
<1
) est donc strictement décroissante.
par :
(
) est constante.
:
IV) Exemples de graphique
Exemples :
Exemple 1:
Faire le graphique de la suite (
=
2 et
) définie par :
=1
Remarque : on voit sur le graphique que la suite (
) est strictement croissante (q>1)
Exemple 2:
Faire le graphique de la suite (
=
et
) définie par :
=8
Remarque : on voit sur le graphique que la suite (
(0< q< 1)
) est strictement décroissante