Rappels de trigonométrie

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Rappels de trigonométrie
Propriété 0.0.1. Formules d’addition
Pour tout couple de réels (a, b) :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a



cos(a − b) = cos a cos b + sin a
sin(a + b) = sin a cos b + cos a



sin(a − b) = sin a cos b − cos a
sin b
sin b
sin b
sin b
sinHΒL
cosHΑL
cosHΒL
sinHΑL
Formule d’addition pour la fonction sinus : sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(Image obtenue grâce au "Wolfram Demonstration Project" [1])
(1)
2
= − sin a
= sin a
= cos a
= cos a
1
(2)
sinHAL = cosHА2-AL

(
)
π
cos
a
+

2)

(

cos ( π2 − a)
sin (a + π2 )



sin π2 − a
cosHAL = sinHА2-AL
(Image obtenue grâce au "Wolfram Demonstration Project" [1])
{
}2
et, lorsque (a, b) ∈
/ π2 + k π , k ∈ Z :
{π
}
{
tan a+tan b
tan(a + b) = 1−tan
si
a
+
b
∈
/
+
k
π
,
k
∈
Z
a tan b
{ π2
}
tan a−tan b
tan(a − b) = 1+tan
si
a
−
b
∈
/
+
k
π
,
k
∈
Z
a tan b
2
(3)
3
Propriété 0.0.2. Formules de duplication
Pour tout réel a :
{
cos(2 a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
sin(2 a) = 2 sin a cos a
(4)
angleΘ
sinH2ΘL
2 sinH2ΘL
2
2sinHΘLcosHΘL
2 cosHΘL
2 sinHΘL
Formule de duplication pour le sinus d’un angle
(Image obtenue grâce au "Wolfram Demonstration Project" [1])
et, lorsque a ̸=
π
2
[π] et 2 a ̸=
π
2
[π] :
tan(2 a) =
2 tan a
1 − tan2 a
(5)
4
Propriété 0.0.3. Formules de linéarisation
Pour tout réel a :
{
a)
cos2 a = 1+cos(2
2
a)
sin2 a = 1−cos(2
2
Propriété 0.0.4. Pour tout couple de

cos p + cos q =



cos p − cos q =
sin p + sin q =



sin p − sin q =
réels (p, q) :
( )
( )
2 cos (p+q
cos (p−q
2
2 )
)
p−q
− 2 sin( p+q
sin
2)
( 2)
2 sin ( p+q
cos ( p−q
2 )
2 )
p+q
cos
2 sin p−q
2
2
(6)
(7)
Propriété 0.0.5. Expression en fonction de la tangente de l’angle moitié
Pour tout réel a ̸= π [2 π], on pose
(a)
(8)
t = tan
2
On a alors :
{
2
cos a = 1−t
1+t2
(9)
2t
sin a = 1+t
2
Si, de plus, a ̸=
π
2
[π], on a :
tan a =
2t
1 − t2
(10)
Bibliographie
[1] http ://demonstrations.wolfram.com.
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