Exercice A2 - XMaths

Exercice A2
1°) a) An est l'événement «le gardien arrête le nième tir».
p (An+1) est la probabilité que le gardien arrête le n+1ième tir sachant qu'il a arrêté le nième .
An
On a, d'après le texte :
p (An+1) = 0,8 .
An
p  (An+1) est la probabilité que le gardien arrête le n+1ième tir sachant qu'il n'a pas arrêté le nième .
An
On a, d'après le texte :
p  (An+1) = 0,6 .
An
b) La formule des probabilités conditionnelles permet d'écrire p(An+1∩An) = p (An+1) x p(An) .
An
donc
et
p(An+1∩An) = 0,8 p(An)

p(An+1∩ An )
=

An

p  (An+1) x p( An )
An
pour tout n ³ 1 .
.

étant l'événement contraire de An, on a p( An ) = 1 - p(An).

Donc
p(An+1∩ An ) = 0,6 x [1 - p(An)] pour tout n ³ 1 .

c) Les deux événements An et An forment une partition de E.
La formule des probabilités totales permet alors d'écrire :

p(An+1) = p(An+1∩An) + p(An+1∩ An ) = 0,8 p(An) + 0,6 x [1 - p(An)] = 0,8 p(An) + 0,6 - 0,6 p(An)
Donc p(An+1) = 0,2 p(An) + 0,6 .
2°) On note pour tout n ³ 1 : pn = p(An) et un = pn - 0,75 .
On a donc, d'après la question précédente : pn+1 = 0,2 pn + 0,6 .
a) On peut écrire : un+1 = pn+1 - 0,75 = 0,2 pn + 0,6 - 0,75 = 0,2 pn - 0,15 = 0,2 (pn - 0,75) = 0,2 un
Donc un+1 = 0,2 un pour tout n ³ 1 ,
c'est-à-dire que : (un) est une suite géométrique de raison 0,2 .
b) (un) étant une suite géométrique de raison 0,2, on peut écrire pour tout n ³ 1:
avec u1 = p1 - 0,75 = 0,7 - 0,75 = - 0,05
un = u1 x (0,2)n-1
Donc un = - 0,05 x (0,2)n-1 pour tout n ³ 1 .
On a pn = un + 0,75 donc pn = - 0,05 x (0,2)n-1 + 0,75 pour tout n ³ 1 .
c) On sait que
On a donc
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lim qn = 0 lorsque q est un nombre réel tel que -1 < q < 1 .
n→+∞
lim (0,2)n-1 = 0 et on peut en déduire
n→+∞
lim pn = 0,75 .
n→+∞
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