Le fractales, la théorie du chaos et nombre d`or

Le fractales, la théorie du chaos et nombre d’or
Le fractals et la théorie du chaos sont des disciplines scientifiques très jeunes. Pourquoi? Pour une
raison simple: pour pouvoir appréhender leur objet, il est absolument nécessaire de faire un nombre très
important des calculs répétitifs lesquels un être humain seul ne peut pas les faire. La théorie du chaos doit en
effet sa popularisation vulgarisation aux progrès fulgurants de l'informatique à partir des années 1960-70. Cette
science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable
complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le
formalisme mathématique idoine.
Chaos
La théorie du Chaos ouvre des domaines scientifiques inexplorés. Avant les théories du Chaos et
les ordinateurs, la science ne pouvait pas traiter dans la nature que les phénomènes linéaires. Tout ce qui n'était
pas linéaire était ignoré car était considéré comme trop complexe, inappréhensible en raison des limites de la
puissance de calcul de l'esprit humain. Or, ce dont on se rend compte actuellement, c'est que les phénomènes
linéaires dans la nature sont très probablement bien moins nombreux que les phénomènes non-linéaires.
La théorie du chaos est une véritable théorie scientifique, qui a su trouver l'ordre caché sous le
désordre apparent. Mais ce nouvel ordre est très différent de l'ordre ancien. La complexité devient la règle et
non l'exception, et ce qui semble “ chaotique ” découle des propriétés bien précises d'une fonction bien précise.
Un système dynamique est dit chaotique s’il présente simultanément les caractéristiques suivantes :

le phénomène de sensibilité aux conditions initiales.
Cette expression un peu obscure signifie que la moindre différence au départ du phénomène, ou la
moindre imprécision, même minime, dans la mesure des paramètres initiaux, se trouve amplifiée dans de telles
proportions que l'état atteint par le système au bout d'un certain temps peut être totalement imprévisible.
Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type , où τ est un
temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois « horizon de Lyapounov ». Le caractère prédictible
de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants
, pour lesquels l'exponentielle vaut
approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour
, toute
prédiction devient pratiquement impossible.




le phénomène est décrit par des équations différentielles
le système pressent une forte récurrence.
le système est attire vers un attracteur étrange, ayant dans beaucoup de cas, un dimension fractale
a l’inversion de l’axe temporelle, le comportement du système n’est pas le même que le comportement
temporel direct.
Exemple : Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre r :
Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre r varie. On a pu mettre en évidence trois
grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre.
Bifurcation vers le chaos par doublement de période
Feigenbaum a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 60 par Myrberg. Aujourd'hui,
cette route est appelée « cascade de doublements de période » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un
chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la suite logistique, qui est définie par récurrence par une application du segment
[0, 1] dans lui-même :
où n = 0, 1, … dénote le temps discret, x l'unique variable dynamique, et
application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre r :



un paramètre17. La dynamique de cette
Pour
, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque r = 3.
Pour
, l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période 2n où n est un entier qui tend vers
l'infini lorsque r tend vers 3.57…
Lorsque r = 3.57..., l'application possède un attracteur chaotique fractal découvert par le biologiste May (1976)
Lorsque le paramètre r augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos,
résumée sur la figure ci-contre.
Fractales
Le mot fractale, introduit en 1975 par Benoît Mandelbrot, provient du mot latin fractus, signifiant
"brisé".Ou, on peut dire que le mot fractales vient de fraction. On croit souvent qu’on est habitués à fractionner
la réalité mais ce n’est pas si évident. En physique, on a bien eu du mal à admettre la conception quantique qui
établit des univers emboîtés à diverses échelles. Dans le cas des fractales, il en va de même. Les fractales
peuvent se définir comme des formes géométriques de structure complexe, détaillée et irrégulière. Elles servent
de modèles pour décrire des phénomènes chaotiques.
La caractéristique fondamentale des fractales est l'autosimilitude (auto-similarité, homothétie
interne ou encore invariance d'échelle). Ce terme signifie que, dans une figure, certains détails, de grosseurs
variables, présentent une structure quasiment semblable à celle de l'ensemble de la figure. C'est pourquoi,
quand on regarde une portion de cette figure il est impossible de dire si on la regarde à l'échelle 1, ou si l'on a
fait un zoom de 10 fois, 100 fois, ou 1 million de fois. En outre les structures fractales naturelles ne sont pas
fractales à l'infini : l'auto-similarité s'arrête en général à un moment (si en explorant la côte on tombe sur une
jolie plage de sable fin bien régulière, il est évident qu'elle n'est pas fractale). Cette propriété est largement
exploitée par les créateurs d'images fractales calculées par ordinateur. Songez qu'une image de 800x600 pixels
comporte 480.000 points calculés individuellement et faisant l'objet d'au moins 100 à 200 itérations chacun (et
souvent bien plus) pour avoir une image assez précise : vous imaginez combien la puissance des ordinateurs
modernes est utile. Il n'était pas rare il y a 10 ou 15 ans que certaines images aient nécessité plusieurs jours de
calcul.
Les fractales se distinguent des autres formes géométriques par leurs dimensions non entières,
appelées dimensions fractales . Ceci signifie qu'elles ne se trouvent pas dans les dimensions un, deux, trois ou
tout autre nombre entier. Par exemple, le tamis de Sierpinski (on débute avec un triangle équilatéral noir, puis, nous lui
enlevons un triangle équilatéral renversé: ceci constitue la transformation géométrique qu'on répètera à l'infini ; le tamis de Sierpinski
est une figure, un triangle noir, sur lequel on effectue un algorithme géométrique en enlevant des triangles renversés)
Le flocon de Von Koch a une dimension égale à ln 4/ln 3=1,26… La dimension d'une fractale nous
renseigne sur le degré de rugosité ou de complexité de celle-ci. Plus la dimension est élevée, plus la fractale
sera chaotique et irrégulière. De plus, les fractales sont les seuls objets qui possèdent une aire finie, mais un
périmètre infini. Prenons l'exemple du flocon de Von Koch.
Supposons que le périmètre de la figure de départ, un triangle équilatéral, équivaut à 9 unités. Lors
de la première transformation, qui consiste à ajouter un triangle équilatéral, trois fois plus petit que la figure
initial, sur chaque tiers central des côtés, le périmètre deviendra équivalent à 12 unités. Si nous continuons
l'itération de cette transformation à l'infini, le périmètre augmentera progressivement (9 * 4/3 * 4/3 * 4/3 * ...)
jusqu'à un périmètre infini. Par contre, l'aire restera plus au moins constante, car l'apparition des nouveaux
détails, diminuant de taille continuellement, ne fera qu'augmenter faiblement l'aire du triangle initial.
L'univers des fractales est immense. C'est pourquoi les mathématiciens ont regroupé les fractales
en trois catégories : les objets fractals, les fractales naturelles et les fractales déterministes. Les objets fractals,
tels que le flocon de Von Koch, le tamis de Sierpinski ou la poussière de Cantor, peuvent se définir comme des
structures obtenues par l'itération d'un algorithme géométrique sur une figure. Pour construire des objets
fractals, nous débutons avec un objet graphique quelconque (ligne, triangle, carré, cube, etc.). Par la suite, nous
définissons une opération, ou une série d'opérations, qui ajoutera un élément de complexité à l'objet initial.
Nous appliquons à l'infini, les transformations choisies à l'objet de départ. C'est la naissance d'un objet fractal.
Choux-fleurs, arbres, nuages, éclairs électriques, montagnes, poumons, vaisseaux sanguins, voici
les fractales naturelles! Ces dernières sont tous les éléments et les phénomènes de la nature qui présentent des
propriétés fractales. Cette catégorie regroupe donc les fractales qui se rapprochent le plus de notre quotidien.
Prenons par exemple la fougère qui possède un caractère fractal évident. Cette dernière permet de démontrer
que les fractales naturelles n'ont pas une complexité infinie (ici, la complexité se termine aux plus petites
feuilles des plus petites branches) et que la propriété d'autosimilitude, dans la nature, n'existe qu'avec une
certaine approximation.
La troisième et dernière catégorie de fractales se nomme les fractales déterministes. Les fractales
déterministes regroupent certainement les plus complexes et les plus spectaculaires fractales: elles combinent
la science des mathématiques et la beauté de l'art. Les exemples les plus fondamentaux sont l'ensemble de
Mandelbrot et les ensembles de Julia.
En ce qui concerne les traites des fractales déterministes, le processus de formation est beaucoup
plus élaboré que celui des objets fractals. Elles sont développées par l'itération de polynômes en nombres
complexe. Les ordinateurs sont indispensables à leur création. Il faut comprendre qu'il est difficile de dessiner
des fractales à la main car nous sommes dans l'impossibilité de tracer tous les détails, à l'infini, avec précision.
Les ordinateurs conviennent à de telles opérations et nous permettent de visualiser et de créer des fractales
impressionnants.
Le fractal est à présent utilisé dans plusieurs domaines tels qu'en médecine, en biologie, en
physique et en finances. En informatique, on utilise les fractales pour la création d'images cinématographiques
nécessitant une parfaite représentation d'éléments de la nature.
Par ailleurs, la géométrie fractale est le seul modèle qui réussit à décrire avec précision la nature.
On peut donc prévoir que le concept de fractales connaîtra une évolution considérable dans l'avenir et qu'il
bouleversera encore davantage la pensée mathématique. Et si les fractales réussissaient à remplacer
entièrement la géométrie euclidienne?
Les fractales et la théorie du chaos
Les fractales et les systèmes chaotiques présentent des véritables similarités :
1. Le premier est que dans le cas d'un phénomène chaotique comme dans celui d'un objet fractal, il n'est pas
possible connaissant deux points, même très proches, d'interpoler la valeur exacte (ou même approchée) d'un
point intermédiaire. Le point intermédiaire qu'on cherche à approximer peut en réalité se situer n'importe où.
On rencontre un tel problème pour de nombreux phénomènes chaotiques, par exemple dans l'écoulement
chaotique d'un fluide où l'on voit s'entremêler des grands et des petits tourbillons.
2. Le deuxième point commun est plus abstrait. Il a trait à une représentation de l'évolution des phénomènes
dans ce qu'on appelle un espace de phase. Si le système dépend de n variables on peut choisir un système de
coordonnées avec une dimension pour chaque variable. À chaque instant l'état du phénomène est représenté
par un point dans cet espace fictif et l'ensemble de ces points dessine une figure qu'on appelle un attracteur. La
théorie montre que dans l'immense majorité des cas ces attracteurs sont très simples. Par exemple l'attracteur
pour un pendule simple non amorti est un cercle (un des axes de coordonnées représente la distance de
l'extrémité par rapport à la verticale, et l'autre la vitesse à chaque instant). Au contraire dans le cas des
systèmes chaotiques l'attracteur prend une allure très complexe dont la trajectoire ne se recoupe jamais, ce qui
explique son appellation d'attracteur étrange. Or dans beaucoup de cas (mais pas dans tous) la structure de cet
attracteur est fractale.
Un attracteur étrange dans un espace à trois dimensions
Un autre attracteur étrange (l'attracteur de Rössler)
L'attracteur de Rössler est l'attracteur associé au système dynamique de Rössler, un système de 3 équations différentielles nonlinéaires. Les équations de ce système sont:
,
,
Attracteur étrange de Lorenz (1963)
3. Le troisième point commun: leur non-linéarité mais leur totale détermination. L'idée, là aussi, est assez
simple: la forme des équations non-linéaires SEMBLE visuellement chaotique. Et, de plus, ce qui permet de
classer une équation parmi les fractals, c'est sa symétrie d'échelle: si l'on zoome, quelle que soit donc l'échelle à
laquelle on l'inspecte, on retrouvera des formes similaires.
Il y a donc bien des points communs entre deux concepts issus de points de départ théoriques très différents.
Les fractales, la théorie du chaos et le nombre d’or
L'histoire de nombre d’or commence à une période reculée de l'antiquité grecque. À la
Renaissance, le nombre d’or a été surnomme divine proportion en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette
vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles
où
naissent
les
termes
de
section
dorée
et
de
nombre
d'or.
Le nombre d'or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les étamines du
tournesol ou dans certains monuments à l'exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme
une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par
des arguments d'ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie,
proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique.
Certains artistes, ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des
livres très populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la
science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des
hypothèses inexactes.
Une bonne manière de « voir » l’effet papillon est de considérer une fractale. En effet, par son
absence de frontières nettes quelle que soit l'échelle considérée, une fractale représente assez bien
l'instabilité de comportement d’un système chaotique. On a supposé, à cause de son aspect chaotique,
qu'une modification infime des conditions initiales par exemple le battement de l'aile d'un papillon
pouvait modifier radicalement l'avenir climatique voire créer un ouragan. Si le modèle chaotique
s'applique bien et que la limite de prévisibilité existe vraiment, en revanche, les modèles numériques
montrent qu'il n'est pas scientifique de prétendre qu'une petite modification peut créer un ouragan, car
l'énergie dégagée par le papillon sera dissipée avant d'avoir pu produire un effet de grande amplitude.
La même limitation, résultant de la connaissance incomplète des conditions initiales, vaut aussi pour la
prévision océanique, avec une limite qui est de quelques semaines, au lieu de quelques jours. Le
phénomène perturbateur minime qui peut déclencher une avalanche, connu en montagne depuis quelques
siècles, relève du même problème.
Pourtant, on peut estimer quelques connections entre les systèmes chaotiques, les
fractales et le nombre d’or:
-les dimensions des quelques fractales peuvent être des nombres proches au nombre d’or
(et ces fractales sont vraiment beaux)
-les structures répétitifs construits sur la proportion d’or (exp. le spirale d’or) ou sur la suite
de Fibonacci présentent la propriété d'auto-similarité, en les focalisant sur leurs centres.
-une modification infime des conditions initiales peut être bien amplifie par les structures
répétitifs construites sur le nombre d’or, mais pas infiniment comme dans le cas du vrai
chaos.