Travaux Pratiques n˚7 Un attracteur étrange: le papillon de

Travaux Pratiques n˚7
Un attracteur étrange: le papillon de Lorenz
A. MARNAT
[email protected]
MPSI.2 Lycée Champollion 2011/12
Exercice 1. Après avoir ouvert sa session et la présente feuille de TP située sur le réseau,
lancer Maple et enregistrer la feuille de calcul (vierge) dans son répertoire personnel avec
un titre explicite. Sortir feuilles de papier et stylos. Taper restart:.
L’objectif de ce TP est de voir comment, à l’aide de Maple, il est possible d’étudier
un système différentiel aussi bien théoriquement que pratiquement par l’exploitation de
données obtenues sur un circuit électrique.
1
Introduction
1.1
Présentation du système de Lorenz
Tout au long de ce TP, nous allons étudier le système dynamique suivant.
Définition. Le système dynamique de Lorenz est donné par

dx(t)


 dt



dy(t)
dt
dz(t)
dt
= σ(y(t) − x(t))
= ρx(t) − y(t) − x(t)z(t) ,
= x(t)y(t) − βz(t)
où x, y et z sont des fonctions continues du temps et σ, ρ et β sont des paramètres
réels.
Ce système est une simplification (via développement en série de Fourier) du système
obtenu en considérant les équations de convection de Saltzman. Ce modèle très simplifié
correspond à une situation physique très particulière pour modéliser les interactions entre
l’océan et l’atmosphère (et donc prédire la météo), qui sont elles régies par les équations
de Navier-Stokes que l’on ne sait en général pas résoudre.
1
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TP7, MPSI.2 Lycée Champollion 2011/12, A. MARNAT
Exercice 2 (Calcul des points fixes).
Définition. Un point fixe d’un système dynamique est une solution pour laquelle les
fonctions sont constantes.
Vérifier que pour toutes les valeurs des paramètres σ, ρ et β, le triplet (0, 0, 0) est point
fixe du système de Lorenz.
Vérifier que lorsque ρ > 1, les deux points symétriques
(−
q
q
q
q
β(ρ − 1), − β(ρ − 1), (ρ − 1)) et ( β(ρ − 1), β(ρ − 1), (ρ − 1))
sont des points fixes.
Définition. Un attracteur (ou ensemble limite) est un ensemble vers lequel tend un système dynamique.
Par exemple (cf TP6 exo 7), la suite de Syracuse est un système dynamique discret et
il est conjecturé que son attracteur est l’ensemble {1, 2, 4}.
Dans la suite de ce TP, nous allons étudier le cas particulier où (σ, ρ, β) = (10, 28, 38 ).
Le système de Lorenz admet alors un attracteur étrange -appelé papillon de Lorenz pour
sa forme. Pour des conditions initiales différentes des points fixes, l’orbite du système se
promène sur l’attracteur.
1.2
Réalisation de l’équation par un circuit électrique
Lorsque l’on a un système différentiel, on peut le réaliser dans un circuit où une solution
sera donné par les intensités ou tensions en certains points.
On considère donc le circuit suivant :
3
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On utilise donc deux multiplieurs, et 3 AOP en configuration sommateur + intégrateur. Les tensions (x, −y, z) sont captées à travers des AOP suiveurs, pour éviter toute
interférence.
Exercice 3. Question bonus : Vérifier que les tensions (x, −y, z) vérifient le système

dx(t)


 dt
dy(t)
dt


 dz(t)
dt
=
=
=
y(t)−x(t)
RC
x(t)
x(t)z(t)
− Ry(t)
− 100R
R3 C
5C
4C
x(t)y(t)
z(t)
−
100R6 C
R7 C
.
Remarque : on fait simplement varier la constante de temps du système en faisant
varier C.
Vérifier que pour le choix de valeur
AppNum:= R=100e3, R3=35.5e3, R4=10e3, R5=1e6, R6=10e3, R7=375e3, C=2.2e-9;
on obtient le système de Lorenz dans notre cas particulier. Préciser la constante de
temps du circuit.
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Étude théorique
Exercice 4. - Charger les librairies DEtools et plots.
-Définir le système différentiel, qui devra être de la forme {eq1,eq2,eq3}, et dont les
paramètres seront exprimés en fonction des valeurs des composants du circuit.
On en déduit le système différentiel par la commande subs(AppNum, {eq1,eq2,eq3});
-Se convaincre que le système n’est pas résoluble via la commande dsolve (penser à
enregistrer avant !)
-Résoudre numériquement le système de manière approchée. On utilisera d’abord la
commande DEplot pour un temps t entre 0 et 2.10−2 secondes, avec pour conditions initiales [x(0)=0.00099528580904007,y(0)=-0.380833336617798,z(0)=0.612581769702956]
un pas (stepsize) de 4.10−5 . On utilisera la projection 2D via le paramètre scene=[x(t),z(t)],
et on utilisera l’option de couleur linecolor=t.
-Résoudre le système en 3D avec la commande DEplot3d.
-Jouer avec les paramètres des deux graphes précédents, et leur donner titre et légende.
3
Étude des données numériques
Maple permet d’importer des données au format .txt à l’aide de la commande readdata.
On peut donc importer les données issues d’une expérience. Il y a dans le répertoire un
fichier data.txt contenant les résultats de l’expérience.
Exercice 5. Charger les données dans une variable Data à l’aide de la commande
Data:=readdata(‘Q:/Documents-MPSI2/TPs Maple/data.txt‘,3);
Quelle est la structure de donnée de Data ? La transformer en array à l’aide de la
commande convert .
Tracer ensuite les graphiques des projections sur 2 dimensions (3 graphs), puis après
avoir chargé la librairie plots, tracer le graphique en 3D à l’aide de la commande pointplot3d.
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Exercice 6. Nous allons maintenant essayer de retrouver les coefficients de l’équation.
Sachant que lors de l’expérience, le temps entre deux relevés était de 12.10−6 s, construire
un tableau à trois colonnes contenant les dérivées de x, y et z qui seront les coefficients
directeurs des droites joignant deux points consécutifs.
Calculer ensuite la valeur moyenne sur tout le tableau des coefficients σ, β et ρ.
Exercice 7. En ayant pris soin de charger les librairies plots et DEtools, comparons le
graphique réel et le graphique théorique. Tracer une solution théorique (sur 8.10−3 s) et 450
points de la solution réelle sur un même graphique, en partant de différentes conditions
initiales. On pourra utiliser la commande display, et on fera attention que les deux
courbes partent du même point initial. Observer les résultats.
Exercice 8. Recommencer de même avec cette fois ci un graphique en 3 dimensions.
Exercice 9. Étude de la stabilité d’un cube.
Nous allons maintenant considérer les 8 sommets d’un cube autour d’une condition initiale, et observer l’évolution approchée numériquement de ce cube par rapport à l’évolution
de la solution réelle.
Tracer sur un même graphique une solution réelle et la solution approchée numériquement des sommets d’un cube de coté 0.05 de centre la condition initiale.