Lycée Berthollet PCSI2 2016-17 DS 2 de mathématiques, samedi 5

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
DS 2 de mathématiques, samedi 5 novembre 2016 (3h00)
Ni calculatrices, ni documents autorisés.
Exercice 1 (Méthodes de calcul complexe)
1. Donner les formes algébrique et trigonométrique de z0 = π
(1 − i)2
, puis faire de même avec ez0 .
(1 + i)5
2. Linéariser l’expression sin5 (x) et en déduire une primitive de la fonction x 7−→ sin5 (x).
π
3. (a) Mettre sous forme trigonométrique le complexe Z0 = ei 30 + ei
(b) Résoudre l’équation
ez
= Z0 d’inconnue complexe z.
Ä
4. Soit (vn )n∈N la suite définie par v0 = 1 + i et ∀n ∈ N, vn+1 =
général de cette suite, puis la forme algébrique de v2016 .
11π
30
.
ä
√
√
3(1 + i) + (1 + i 3)vn . Calculer le terme
5. Donner la forme générale des suites (un )n∈N ∈ CN qui vérifient : ∀n ∈ N, 2un+2 − (1 + 4i)un+1 + 2iun = 0. On
calculera explicitement les constantes dans le cas où u0 = 3 et u1 = 1 + 2i .
Exercice 2 (Calculs de dérivées)
Donner sans démonstration les domaines de dérivation, puis calculer les dérivées des fonctions suivantes (attention, on
demande de simplifier au maximum les résultats, particulièrement en ce qui concerne les trois dernières fonctions) :
1. f1 : x 7−→ cos(sin(x)) − sin(cos(x)) ;
2. f2 : x 7−→ (sin(x))sin(x) ;
»
|x2 − 1|
;
x
å
Ç 2
x − 2x − 1
;
4. f4 : x 7−→ Arctan
x2 + 2x − 1
x
3. f3 : x 7−→ −
2
5. f5 : x 7−→ ln
1 + th (x)
.
1 − th (x)
Exercice 3 (Sommes de deux carrés)
1. On note Z + i Z l’ensemble des nombres complexes dont les parties réelles et imaginaires sont entières. Montrer que le produit de deux éléments de cet ensemble est encore dans cet ensemble.
2. Pour (n, m) ∈ Z2 , exprimer n2 + m2 comme le produit de deux éléments de Z + iZ.
3. En déduire que le produit de deux sommes de deux carrés d’entiers est encore une somme de deux carrés
d’entiers.
Exercice 4 (Simplification)
Ç
å
1
On considère ici la fonction f définie par f (x) = Arccos √
.
1 + x2
1. Déterminer soigneusement le domaine de définition D f de f . La fonction f est-elle continue sur D f ? Justifier.
2. Sur quels intervalles pouvez-vous assurer que la fonction f est dérivable ? Justifier votre réponse.
3. Calculer la dérivée de f sur les intervalles précédents.
4. En déduire une expression plus simple de f sur chacun des intervalles précédents.
5. Tracer l’allure du graphe de f .
6. La fonction f est-elle dérivable sur D f ?
Exercice 5 (Pour un pentagone, la régularité vaut de l’or...)
On admettra ici que
√
5 6∈ Q.
1. (a) Pour x ∈ R, exprimer sin(5x) en fonction de sin(x).
(b) En déduire que sin
Ä ä
π
5
vérifie une équation polynômiale de degré 5 et la résoudre.
(c) Exprimer
Ä ätoutes les solutions de cette équation sous la forme sin(α), α ∈ R et en déduire la valeur exacte
de sin π5 , exprimée à l’aide de racines carrées.
2. (a) Donner sans démonstration les racines cinquièmes de l’unité dans C (i.e. les solutions de z5 = 1).
(b) Montrer par des calculs de modules et d’arguments que ces racines sont les affixes des sommets d’un
pentagone régulier. On rappelle qu’un polygone régulier est un polygone convexe dont tous les côtés sont
égaux et tous les angles sont égaux. On précisera dans notre cas la longueur des côtés et une mesure des
angles.
(c) Calculer la longueur d’une diagonale de ce pentagone et montrer que le rapport de la longueur d’une
√
3+ 5
.
diagonale par la longueur d’un côté vaut ϕ =
2
3. (a) Résoudre le système d’inconnues réelles X et Y


 X +Y
=
3
2

 XY
=
5
16
√
(b) Montrer que si un nombre réel peut s’écrire sous la forme x + y 5 avec x, y ∈ Q, alors cette écriture est
unique.
√
(c) Déduire des deux questions précédentes une expression de ϕ sous la forme ϕ = a + b 5 avec a, b ∈ Q.
(On raisonnera par analyse-synthèse.)
Exercice 6 (Tribute to LLG)
On veut montrer que (∀x ∈ R, cos(sin(x)) > sin(cos(x))).
1. Montrer qu’on peut se ramener au cas où x ∈ [0, π].
2. Montrer que pour tout u ∈ R?+ , sin(u) < u.
3. Conclure.
2