Modèle mathématique. - Collège Alain Fournier Bordeaux

Collège Alain Fournier de Bordeaux
Vendredi 02 Avril 2010
BREVET BLANC
Barème sur 40 points
Epreuve de mathématiques
Durée 2 heures
Rédaction, présentation, orthographe (4 points)
PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points)
Exercice 1
1°) Calculer le PGCD de 272 et 833 par la méthode de votre choix.
272
Ecrire sous forme de fraction irréductible le nombre :
. Justifier.
833
2°) Calculer astucieusement les nombres suivants et écrire sous la forme d’une fraction irréductible
272 8 2
272 36
A=
+
B=
:
833 7
833 21
Exercice 2
1°) (-2) est-il solution de l’inéquation : 3x + 12 < 4 – 2x. Justifier.
2°) (-2) est-il solution de l’équation : (x – 2) (2x + 1) = 0. Justifier.
3°) (-2) est-il solution de l’équation : x3 + 8 = 0. Justifier.
Exercice 3
1°) Laquelle des surfaces grisées ci-dessous a pour aire 25 – (x + 3)² ?
Figure 1
Figure 2
Figure 3
On pose A = 25 – (x + 3)²
2°) Montrer que A = – x² – 6x + 16
3°) Factoriser A.
4°) Résoudre l’équation : (2 – x) (x + 8) = 0
Expliquer, en utilisant la question 1°) pourquoi l’une des solutions était prévisible.
5°) Résoudre l’équation : A = 16.
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PARTIE II : ACTIVITES GEOMETRIQUES (12 points)
Exercice 1 : On veut mesurer la hauteur h d’une tour. Grâce à un instrument de mesure placé en A
à 1,5 m du sol, on mesure l’angle SAB et on trouve 25°.
On donne AB = 45 m (la figure n’est pas à l’échelle).
Calculer la hauteur h de la tour que l’on arrondira au mètre
Exercice 2 :
Un fabricant d’enseignes lumineuses doit réaliser (en tubes de verre soudés) la lettre Z, pour la fixer sur
le haut d’une vitrine. Observer le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l’enseigne .
1°) Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, calculer la longueur du segment [AB] et la
longueur du segment [OB] . (on donnera le résultat sous forme fractionnaire ) .
2°) Quelle longueur de tube de verre doit prévoir l’artisan pour son travail ?
3°) Démontrer que le tube [CB] est perpendiculaire à la droite (AD)
4°) Calculer la mesure de l’angle à un degré près formé par les tubes [AB] et [BC].
Exercice 3
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8cm
1°)a) Tracer le triangle ABC.
b) Calculer BC.
2°) Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = 1,5 cm.
Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = 2,5 cm.
Prouver que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
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PARTIE III : PROBLEME (12 points)
Les longueurs sont exprimées en
centimètres.
TRAP est un trapèze rectangle en A et
en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4.
M est un point variable du segment
[PA], et on note x la longueur du segment
[PM].
1°) Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1
a) Faire une figure.
b) Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
c) Calculer les aires des triangles PTM et ARM.
2°) Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.
a) Donner les valeurs entre lesquelles x peut varier.
b) Montrer que l’aire du triangle PTM est 1,5x et l’aire du triangle ARM est 10 − 2x.
La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction
représentant l’aire du triangle ARM en fonction de x est donnée en annexe.
Répondre aux questions suivantes, 3°) et 4°) , en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.
Laisser apparents les traits nécessaires.
3°) a) Pour quelle valeur de x l’aire du triangle ARM est égale à 6 cm2 ?
b) Lorsque x est égal à 4 cm, quelle est l’aire du triangle ARM?
4°) a) Sur ce graphique donné en annexe à rendre avec la copie, tracer la droite représentant la fonction
x
1,5x
b) Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM
ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.
c) Montrer par le calcul que la valeur exacte de x pour laquelle les deux aires sont égales, est
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