correction du brevet blanc

CORRECTION DU BREVET BLANC
5 MAI 2010
La feuille annexe sera rendue avec la copie
Nombre de pages : 6
Durée : 2h00
Activités Numériques
Exercice 1 :
7
4 5 7
4×5
7
5 14 5
9
= − = − =
1. A = – × = −
15 15 8 15 4×2×15 15 30 30 30 30
2. B=3  2 –  98=3  2− 49×2=3  2−7  2=−4  2
a. La valeur arrondie au centième de B est –5,66.
b. La valeur exacte de B est – 4  2 .
Exercice 2 :
On considère l'expression : E=9 x 2 – 25 3 x – 5 2 x15
1- Développer et réduire l'expression E.
2- a) Factoriser 9 x 2 – 25 .
b) En utilisant la question a), factoriser l'expression E.
3- Résoudre l'équation 3 x – 5 5 x20=0 .
1- E=9 x 2 – 253 x – 52 x15=9 x 2 – 256 x 245 x – 10 x – 75=15 x 235 x – 100
2- a) 9 x 2 – 25=3 x ²−5²=3 x−53 x5 .
2
b) E=9 x – 253 x – 52 x15
E=3 x−53 x53 x −5 2 x15=3 x−53 x52 x15
E=3 x−55 x20
3- 3 x – 55 x20=0 .
Si un produit est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.
3 x – 5=0 ou 5 x20=0
5
x= ou x=– 4 .
3
5
Les solutions de l'équation sont
et – 4 .
3
Exercice 3 :
1. Le PGCD de 238 et 170 est 34.
170 170÷34 5
=
= .
2.
238 238÷34 7
L' exercice 4 doit être choisi entre les exercices 4A et 4B. Un seul de ces deux exercices devra être traité.
Exercice A :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :
Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.
1- La probabilité de tirer une boule blanche est
4
2
, soit .
6
3
2
1
, soir .
6
3
2
1
3- La probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 est , soit .
6
3
2- La probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 est
Exercice B :
Voici les notes obtenues par 13 élèves à un devoir de Mathématiques : 6 ; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 12; 14; 17; 18; 18; 19.
1- L'étendue de cette série est 13.
2- La moyenne arrondie au centième de cette série de notes est 12,23.
3- La médiane de cette série de notes est 11.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
(12 points)
S
Exercice 1 :
On considère une bougie conique représentée ci-contre.
(la figure n’est pas aux dimensions réelles.)
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.
1. Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.
Le triangle SAO est rectangle en O.
A
O
2. Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.
J'applique le théorème de Pythagore : SA2=SO 2 AO 2
Donc SO2=6,5 2 – 2,52=36 . Donc SO=6 cm.
3. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm3 ?
V=
×R 2×h ×2,52×6
=
≈39,3 Le volume de cire est d'environ 39,3 cm3.
3
3
4. Calculer l’angle 
ASO ; on donnera la valeur arrondie au degré.
AO 2,5
=
Tan 
ASO =
OS
6

Donc ASO ≈22,6
Exercice 2 :
On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.
1. Construire le triangle EFG.
2. Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
[FG] est le plus grand côté. GF²=56,25 et GE²+EF²=56,25.
Donc, comme GF²=GE²+EF², alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG
est rectangle en E.
3. Construire le point M sur la demi-droite [EF) tel que EM = 7,8 cm. Tracer la droite passant par M et parallèle à (FG). Elle coupe
(EG) en N. Placer le point N.
4. Calculer EN.
Les droites (FM) et (GN) se coupent en E. De plus, (FG) est parallèle à (MN).
D'après le théorème de Thalès, on a :
EF EG FG
=
=
EM EN MN
6
4,5
=
7,8 EN
4,5×7,8
=5,85
Donc EN =
6
PROBLÈME
(12 points)
R
T
Les longueurs sont exprimées en centimètres.
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4.
M est un point variable du segment [PA], et on note x la longueur du segment [PM].
4
3
1. Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1
a. Faire une figure.
b. Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
P
Si PM=1, alors AM =5 – 1=4 , donc ARM est isocèle et rectangle en A.
c. Calculer les aires des triangles PTM et ARM.
M
A
5
3×1
=1,5 cm².
Aire de PTM :
2
4×4
=8 cm².
Aire de ARM :
2
2. Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.
a. Donner les valeurs entre lesquelles x peut varier.
x peut varier entre 0 et 5.
b. Montrer que l’aire du triangle PTM est 1,5x et l’aire du triangle ARM est 10−2x.
PM ×PT 3× x
=
=1,5 x
2
2
MA×AR 5 – x×4
=
=2×5 – x =10 – 2 x
Aire de ARM :
2
2
Aire de PTM :
La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l’aire du triangle
ARM en fonction de x est donnée en annexe.
Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.
Laisser apparents les traits nécessaires.
3. a. Pour quelle valeur de x l’aire du triangle ARM est égale à 6 cm² ?
L'aire de ARM vaut 6cm² pour x=2 cm.
b. Lorsque x est égal à 4 cm, quelle est l’aire du triangle ARM ?
Pour x=4, l'aire de ARM est 2cm².
4. On considère la fonction g représentant l’aire du triangle PTM en fonction de x. On a g : x
1,5x
a. Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction g :
x
g(x)
0
1
2,6
3,8
5
0
1,5
3,9
5,7
7,5
b. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité? Justifier.
Ce tableau est un tableau de proportionnalité car on passe de la première ligne à la deuxième ligne
en multipliant par un même nombre 1,5.
c. Représenter les valeurs de ce tableau sur le graphique donné en annexe et tracer la droite représentant la fonction x
1,5x.
d. Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de
construction nécessaires.
Les deux aires sont égales pour x valant 2,9cm (environ).
e. Montrer par le calcul que la valeur exacte de x pour laquelle les deux aires sont égales, est
100
35
Les deux aires sont égales.
Donc :
1,5 x=10 – 2 x
1,5 x2 x=10 – 2 x2 x
3,5 x=10
3,5 x 10
=
3,5 3,5
100
x=
35
Les deux aires sont égales pour x=
100
.
35
Aire en cm²
11
10
9
Ai
re
d
8
7
ut
ria
ng
le
R
6
M
A
5
4
3
Question 3 b)
Question 3 a)
2
1
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
2,8
3,2
3,6
4
4,4
4,8
Longueur de
x en cm