THÉORÈMES DES MILIEUX

Chapitre 02 :
THÉORÈMES DES MILIEUX
I) Théorème de la droite des milieux :
(permet de démontrer que deux droites sont parallèles)
Théorème – Définition :
Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Cette droite est appelée droite des milieux.
Exemple rédigé :
Enoncé :
ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
Schéma :
Données :
Conclusion :
Premier théorème des milieux
Diagramme :
ABC un triangle
Théorème des milieux
I milieu de [AB]
(IJ) // (BC)
J milieu de [AC]
Rédaction :
On sait que :
Dans le triangle ABC,
I est le milieu du segment [AB],
J est le milieu du segment [AC].
Or :
Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au
troisième côté.
Donc :
Les droite (IJ) et (BC) sont parallèles.
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1
II) Deuxième théorème des milieux :
(permet de calculer la longueur d'un segment)
Théorème :
Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de
la longueur du troisième côté.
Exemple rédigé :
Enoncé :
ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
1
Montrer que IJ =
BC.
2
Schéma :
Données :
Conclusion :
Deuxième théorème des milieux
Diagramme :
ABC un triangle
I milieu de [AB]
Deuxième théorème des milieux
IJ =
1
BC
2
J milieu de [AC]
Rédaction :
On sait que :
Dans le triangle ABC,
I est le milieu du segment [AB],
J est le milieu du segment [AC].
Or :
Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la
moitié de la longueur du troisième côté.
Donc :
La longueur du segment [IJ] est égale à la moitié de la longueur du segment [BC].
THÉORÈMES DES MILIEUX
2
III) Démonstration :
ABC un triangle.
I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Soit le point K, symétrique de J
par rapport au point I :
1.
2.
On sait que :
I est le milieu du segment [AB]
I est le milieu du segment [KJ].
Or :
Donc :
Un quadrilatère non croisé dont les AJBK est un
diagonales se coupent en leur milieu parallélogramme.
est un parallélogramme.
On sait que :
AJBK est un parallélogramme.
Or :
Donc :
Dans un parallélogramme les côtés AK = BJ et AJ = BK
opposés sont parallèles et de même (AK) // (BJ) et (AJ) // (BK)
longueur.
3.
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3
4.
On sait que :
AJ = BK et (AJ) // (BK)
Or :
Donc :
Un quadrilatère non croisé dont 2 Le quadrilatère KJCB est un
côtés opposés sont parallèles et de parallélogramme.
même
longueur
est
un
parallélogramme.
On sait que :
Le quadrilatère KJCB est un
parallélogramme.
Or :
Les côtés opposés d'un
parallélogramme sont parallèles et
de même longueur deux à deux.
5.
Donc :
Les droites (KJ) et (BC) sont
parallèles et donc :
(IJ) // (BC).
Les segments [KJ] et [BC]
sont de même longueur
et donc :
1
IJ =
BC.
2
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4
IV) Troisième théorème des milieux :
(permet de montrer qu'un point est le milieu d'un segment)
Théorème :
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un second côté,
coupe le troisième côté en son milieu.
Exemple rédigé :
Enoncé :
ABC un triangle.
I le milieu du segment [AB].
La droite parallèle à la droite (BC) passant par I coupe la droite (AC) en J.
Montrer que J est le milieu du segment [AC].
Schéma :
Données :
Conclusion :
Troisième théorème des milieux
Diagramme :
ABC un triangle
I milieu de [AB]
Troisième théorème des milieux
J milieu de [AC]
(IJ) // (BC)
Rédaction :
On sait que :
Dans le triangle ABC,
I est le milieu du segment [AB],
la droite parallèle à la droite (BC) passant par I coupe la droite (AC) en J.
Or :
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un second côté,
coupe le troisième côté en son milieu.
Donc :
Le point J est le milieu du segment [AC].
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V) Démonstration :
ABC un triangle.
I le milieux de [AB].
J le point d'intersection entre le segment [AC] et la parallèle à (BC) passant par I.
1.
On sait que :
Or :
Donc :
Dans le triangle AJB,
Une médiane coupe un triangle en Les triangles AJI et IJB ont
(IJ) est la médiane relative au côté deux triangles de même aire.
la même aire.
[AB] passant par J.
2.
On sait que :
Or :
Donc :
Les triangles IJB et IJC ont la
Deux triangles qui ont une même Les triangles IJB et IJC ont
même base et des sommets sur une base et des sommets sur une même la même aire.
même parallèle à la base.
parallèle à la base sont d'aires
égales.
3.
On sait que :
Aire AJI = Aire IJB et
Aire IJB = Aire IJC.
Donc :
Aire AJI = Aire IJC.
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4.
On sait que :
Aire AJI = Aire IJC.
Or :
Si, dans le triangle ACI, le point J
est sur le segment [AC] et que
Aire AJI = Aire IJC
alors la droite (IJ) est la médiane du
triangle ACI relative au côté [AC]
passant par I.
THÉORÈMES DES MILIEUX
Donc :
[IJ] est la médiane du
triangle ACI relative au côté
[AC] passant par A.
Par définition de la
médiane, le point J est le
milieu du segment [AC].
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