Comment montrer qu`une suite est monotone ?

TS - Fiche méthode
Monotonie d’une suite
Comment montrer qu’une suite est monotone ?
Definition 1 : Sens de variation
Soit une suite (un ) avec n ∈ N.
– (un ) est croissante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 > un
– (un ) est décroissante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 6 un
– (un ) est constante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 = un
Vocabulaire : On dit qu’une suite est monotone quand elle est soit croissante, soit décroissante.
Propriété 1 : Étude du signe de un+1 − un
Soit une suite (un ) avec n ∈ N.
– Si pour tout n ∈ N, un+1 − un > 0 alors (un ) est croissante.
– Si pour tout n ∈ N, un+1 − un 6 0 alors (un ) est décroissante.
Exemple 1 : Étudier la monotonie de la suite (un ) telle que un+1 = un + 3un 2 pour n ∈ N.
Propriété 2 : Cas des suites strictement positives
Soit une suite (un ) telle que un > 0 pour tout n ∈ N.
un+1
> 1 alors (un ) est croissante.
– Si pour tout n ∈ N,
un
un+1
– Si pour tout n ∈ N,
6 1 alors (un ) est décroissante.
un
Exemple 2 : Étudier la monotonie de la suite (un ) définie par un+1 =
un
pour n ∈ N, et u0 = 1.
3
Propriété 3 : Suites du type un = f (n)
Soient f une fonction définie sur [0 ; +∞[ et (un ) une suite définie par un = f (n) pour tout n ∈ N.
– Si f est croissante sur [0 ; +∞[ alors (un ) est croissante.
– Si f est décroissante sur [0 ; +∞[ alors (un ) est décroissante.
Remarque 1 : DANGER ! ! Il ne faut pas confondre avec les suites du type un+1 = f (un ) pour
lesquelles le lien entre le sens de variation de f et celui de (un ) est beaucoup moins évident.
Exemple 3 : Étudier la monotonie des suites suivantes :
1
a) (un ) définie par un = pour n ∈ N∗ .
n
b) (vn ) définie par vn = 5n − 3 pour n ∈ N.
Propriété 4 : Raisonnement par récurrence
Exemple 4 : Étudier la monotonie de la suite (un ) définie par un+1 = un 2 pour n ∈ N, et u0 = 0, 5.