Exercice n°1 Dans le repère orthonormé suivant, vérifier si les point

Exercice n°1
Dans le repère orthonormé suivant, vérifier si les point A,B,C sont alignés et si les points A,E,D sont alignés, à
l’aide de calculs de coefficients directeurs.
Exercice n°2
On considère le carré ABCD et les deux triangles équilatéraux DLC et BIC de la figure ci-dessous. Montrer que les
trois points A, L et I sont alignés à l’aide de calculs de coefficients directeurs.
Exercice n°3
Sur la figure suivante, les points J et L sont les milieux respectifs des segments
et
. Démontrer que les
points A, L et I sont alignés à l’aide de calculs de coefficients directeurs et de coordonnées de ces points dans un
repère approprié.
Ce qu’il faut savoir
Soient trois points (
coefficients directeurs
(
(
de la droite AB et
. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les
de la droite AC sont égaux:
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Exercice n°1
Déterminons graphiquement les coordonnées des points A, B, C, D et E.
(
(
(
(
(
(
(
}
Les points A,B et C ne sont pas alignés.
(
(
}
Les points A,D et E sont alignés.
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Exercice n°2
Pour calculer les coefficients directeurs, il nous faut déterminer les coordonnées des points A, L et I dans un
repère que l’on doit choisir de manière appropriée. Le repère le plus pratique est le repère orthonormé
(
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Dans ce repère, les coordonnées du point A sont : (
Déterminons les coordonnées du point (
hauteur du triangle DLC issue de L.
.
. Pour cela, faisons apparaître le point L’ de DC, appartenant à la
Comme le triangle DLC est isocèle (car équilatéral), la hauteur LL’ est également la médiane de ce triangle. On a :
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle DLL’, on a :
Comme le triangle DLC est équilatéral, on a :
( )
(
√
)
√
√
Déterminons les coordonnées du point (
. Pour cela, faisons apparaître le point I’ de BC, appartenant à la
hauteur issue de I du triangle ICI’. Les triangles ICI’ et DLL’ sont clairement isométriques, puisque équilatéraux de
côté 1. On a donc :
√
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Récapitulons les coordonnées des points A, L et I :
(
Calculons les coefficients directeurs
(
et
√
√
)
√
(
des droites
√
(
√
et
√
.
√
√
)
)
(
)
√
√
√
√
Supprimons la racine au dénominateur en multipliant le dénominateur et le numérateur par la quantité
conjuguée
√ :
√
√
√
√
(
√ (
√
√
√
√
√
√
√
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Exercice n°3
Pour calculer les coefficients directeurs, il nous faut déterminer les coordonnées des points A, L et I dans un
repère que l’on doit choisir de manière appropriée. Le repère le plus pratique est le repère quelconque
(
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Dans ce repère, les coordonnées du point A sont : (
Le segment
.
est divisé en trois segments de longueurs égales, chacun de longueur
Les coordonnées du point I sont donc : (
J étant le milieu du segment
.
.
, les coordonnées du point J sont : (
.
On détermine enfin les coordonnées du point L en utilisant le fait que L est le milieu du segment
les coordonnées du point C sont : (
.
, sachant que
(
Nous pouvons maintenant calculer les coefficients directeurs
et
des droites
et
.
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