Inégalité de Cauchy Schwarz

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Enoncés
1
Inégalité de Cauchy Schwarz
Exercice 1 [ 01575 ] [correction]
Soit (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Montrer
n
X
!2
xk
6n
k=1
n
X
x2k
k=1
Etudier les cas d’égalités.
Exercice 2 [ 01576 ] [correction]
Soient x1 , . . . , xn > 0 tels que x1 + · · · + xn = 1.
Montrer que
n
X
1
> n2
xk
k=1
Préciser les cas d’égalité.
Exercice 3 [ 01577 ] [correction]
On considère C 0 ([a, b] , R) muni du produit scalaire
Z
(f | g) =
b
f (t)g(t) dt
a
Pour f strictement positive sur [a, b] on pose
Z
`(f ) =
b
Z
f (t) dt
a
a
b
dt
f (t)
Montrer que `(f ) > (b − a)2 .
Etudier les cas d’égalités.
Exercice 4 [ 01578 ] [correction]
R1
Soit f : [0, 1] → R continue et positive. On pose In = 0 tn f (t) dt.
Montrer
2
In+p
6 I2n I2p
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Corrections
Corrections
Exercice 4 : [énoncé]
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 1 : [énoncé]
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire canonique sur Rn
!2
!2
! n
!
n
n
n
n
X
X
X
X
X
2
2
xk
=
xk 1
6
xk
1
=n
x2k
k=1
2
k=1
k=1
k=1
Z
1
n+p
t
0
2 Z
f (t) dt =
0
2
1
n
t
p
f (t)t
p
p
f (t) dt
Z
6
0
1
t2n f (t) dt
Z
1
t2p f (t) dt
0
k=1
Il y a égalité si, et seulement si, (x1 , . . . , xn ) et (1, . . . , 1) sont colinéaires i.e. :
x1 = · · · = xn .
Exercice 2 : [énoncé]
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
n
X
1 √
xk
√
xk
k=1
Donc
!2
6
n
n
X
1 X
xk
xk
k=1
k=1
n
X
1
> n2
xk
k=1
De plus, il y a égalité si, et seulement si, il y a colinéarité des n-uplets
√
√
1
1
,
.
.
.
,
et ( x1 , . . . , xn )
√
√
x1
xn
ce qui correspond au cas où
√
√
x1
xn
√ = ··· = √
1/ x1
1/ xn
soit encore
x1 = · · · = xn = 1/n
Exercice 3 : [énoncé]
p
Soit g ∈ C([a, b] , R) l’application définie par g(t) = f (t).
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
!2 Z
Z b
Z b
b
dt
1
2
dt
6
f (t) dt.
= `(f )
(b − a) =
g(t).
g(t)
a
a f (t)
a
Il y a égalité si, et seulement si, t 7→ g(t) et t 7→
correspond à f constante.
1
g(t)
sont colinéaires ce qui
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