69. Sur la mesure de Haar
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69. Sur la mesure de Haar
69. Sur la mesure de Haar ComptesRendusdel'Academiedes SciencesdeParis211, 759-762 (1940) 1. Soit G un groupe localement compact C). TOlltes les demonstrations connues de l'existence d'une mesure inpariante par les translations a gauche font appel a l'axiome du choix : choix denombrable si Pon fait sur G des hypotheses convenables de denombrabilite (Haar), choix 'general sans cee hypotheses [Banach, A. Weil (2)]. L'unicite de la mesure (a un facteur constant pres) est demontree ensuite. On peut lever ce paradoxe et prouper existence et unicite sans l'axiome du choix. Elles decoulent d'une proposition qui n'est pas nouvelle, mais que nous demontrerons sans faire appel a l'existence d'une mesure invariante; la voici : THEoREME n'APPRoXIMATION. Soit IE e CS), E un nombre 0, et V unvoisinage de ['unite (dans G) tel que > entraine If(x) -f(y) I;;e. > Soient gEe, teUe que g = 0 en dehors de V. Alors, pour tout z, on peut trouper des Si E G en nombre fini, et des constantes Ci> 0, de maniere que ['on ait, pour tout x E G, II.. (I) 2. Rappelons d'abord quelques resultats connus (2). Soit 5' la famille 0 soit relativement des fonctions bornees et ~ 0, telles que l'ensemble compact, et qu'il existe Y) 0 et un ensemble Olivert sur lequel on a I"?: Y). Si IE $ et ifl E $, on designe par (I: rp) la horne inferieure (non nulle) I f> > (1) Pour la terminologie, voir N. BOURBAKI, Elements de Mathbnatique, Topologie generale, chap. I (Actualites scientifiques, fasc. 858, 1940.). livre III, (2) Voir A. WElL, L'integration dans les grouped topologiques (Actualites scient., fasc. 869, 1940.). Nous renvoyons, paul' III bibliographie, a cet auvrage dant nOllS adoptans les notatians et dont DallS nous sommes inspire paul' les demonstrations. e) e designera la famiIle des fanctians definies sur G, eontinues et ~ a, non identiquement nulles, et telles que l'ensemble a soit relativement campact. f> 1020 SEANCE DU 30 DECEMBRE 761 1940. des c> 0 tels qu'il existe des SiE G et des Ci> 0 (~ Ci= c) satisfaisant it pour toutxEG. j(x)~~ci'P(silX) On a I/(g:/) ~ (I: rp)/(g: rp)~ (/:g). Prenons une fois pour toutes une 10 E C?,et posons Iep (j) = (j: 'P )/(jo: [1/UO :f) ~ 'P) Jep (j) ~(j:fo)J. Pour chaque qJ E 5, 1-r/l) est. une fonction de lEe, invariante a gauche [si l'on posels(x) = l(r1x), on a Iep(/s) Iep(/)], homogene [Iep(c/) = clqJ(/) pour c constant> 0], croissante et convexe . = De plus Etant donnees des Ii E C? en nombre jini; et des quantites 0, il existe un voisinage U de l'unite tel que l'on ait LEMME. - et A > pour toute qJ E 31u (4), et queUes que sOlent les constantes Ai~ A. 3. Demonstration du theoreme d'approximation. - D'apres theses, on a (2) lj(x) - e] g(S-lX) ~j(s) g(S-lX) ~ [j(x) p >0 les hypo- + e] g(S-lX). < donne> z, determinons Yj > 0 assez petit pour que (I: g*)Yj (X- z; g* designe la fonction definie par g*(x)=g(X-l). Puis soit W un voisinage de l'unite assez petit pour que (X etant I g( entralne II existe des 1'ensemble au Si E I> [g(si1 x) - YJJ ~ Sammons par rapport a [I(x) - E] g(S-lX) I~ YJ. G, en nombre fiai, teIs que les ensembles Si W recouvrent 0; puis il existe (5) des hi E e teUes que hi= 0 en dehors de SiW, et ~ hi= I en tout point hi(s)f(s) x) - g(y) - ou/> hi(s)f(s) o. On a alors g(S-lX) i, et cornparons YJj(s) ~~ hi(s)f(s) ~ hi(s)f(s) [g(si1X) + YJJ. a (2); on obtient g(si1 x) ~ [j(x) + E 1 g(S-lX) + YJf(s), designe l'ensemble des 'P E g qui s'annulent en deho]'s de U. Pour la demonstration de ce lemme, voir A. 'VEIL, loco eit., p. 36. Co) Voir DIEUDONNi" Comptes rendus, 205, 1937, p. 593. C,) S'u 1021 ACADEMIE DES SCIENCES. inegalite entre des fonctions de s dont nous allons prendre Ie quant que en remar- 1'l" II vient [f(x) - eJ Icp(g*) - Of) I<pU) ~ I{ Mais ~ h;j'g(si' .T)] ~ rJ(x) +e (~ etant J IqJ(g*) + 1) I'l'(/)' < 0:), d'ou (3) ~~J'l'[~ ~~S[;~) hdJ~/(X) I(x) - + ~.. Appliquons Ie lemmeaux fonctionsfi= h;j, en posant Ai=g(s;-1x)/1'l'(g*) [quantites~A (fo : g*) supg], et prenant p IX -~. Ii vient, pour if E fFu ( U convenable), et en posant l<p( hJ)f1'l'(g*) Ci, = ~ g(SilX)hl] I.rp(g*) I'l' [~ = = i ~~ ~ I Cig (1Si x) ~ 'l'[~g(SilX) ~ I'l'(g*) hi I] + p, ce qui, combine avec(3), donne l'inegalite(l) du theorem'e d'approximation. Ii faut prouver l'existence d'une 0 pour lEe, additive, et telle que fonctionnelle l(f), definie et l(f). Pour cela, il suffit de prouver que, pour chaque I, 1ep(/), I (fs) consideree comme fonction de if, a une limite suivant Ie filtre qui a pour base les fFu. L'existence d'une limite sera assuree si l'on prouve, pour tout IE e et tout E> 0, l'existence d'un U tel que if E fFu et ~ E fFu entrainent 4. Existence de la mesure invariante. = > - f, La limite I(f) sera alors une fonction additi(Je de en vertu du lemme. Or, soient donnes lEe et 'Y> 0; determinons, par le theoreme d'approximation, une gEe, des Si et des Ci qui satisfassent it (I) pour un IX 'Y; puis, d'apres Ie lemme, un U LeIque if E fFu entraine < = Operons de meme avec fo telle que Itp(fo) I pour toute cp, et en prenant la me me g; il vient une inegalite analogue. Ces deux inegalites, nppliquees it deux fonctions cp et ~, prouvent que 1ep(f) et 1t(/) sont voisins c. Q. F. D. des que cp et t.j; appartiennent it un fFu convenable. 1022