corrigé

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 2008 MP
MATHEMATIQUES 2
I. EXEMPLES
1.
1. Le polynôme caractéristique de M ( ) est
1
PM ( ) (X) =
1
0
1
2
1
2
Si on fait C1 C2 on voit que 2
se factorise
Si on fait L1 + L2 on voit que 1
se factorise
la trace donne la dernière valeur propre (2
)
PM ( ) ( ) = (1
.
Les racines de PM (
)
)(2
)((2
)
sont bien les éléments diagonaux de M ( ).
Pour tout , la matrice M ( ) est une MDP
2. Si 2
= f0; 1g les valeurs propres de M ( ) sont deux à deux distinctes, M ( ) est diagonalisable.
Si = 0 , Sp(M0 ) = f1; 2g ;2 étant double:Mais le sous espace propre E2 est le plan x + y = 0 et donc M (0) est
diagonalisable.
y+z =0
Si = 1 , Sp(M0 ) = f1; 2g, 1 étant double . Mais le sous espace propre E1 est la droite
et M (1)
x+y =0
n’est pas diagonalisable.
M ( ) est diagonalisable si et seulement si
2. PA ( ) =
2
6= 1
+ 1 qui n’est pas scindé sur R donc :
la matrice A n’est pas à diagonale propre
.
3. Soit A =
a b
c d
.
Si la matrice A est à diagonale propre le déterminant est égal au produit des valeurs propres , donc au produit des termes
diagonaux
ad bc = ad
donc b = 0 ou c = 0 . Donc A est triangulaire.
Réciproquement toute matrice triangulaire admet comme valeurs propres ses termes diagonaux.
E2 est donc l’ensemble des matrices triangulaires
: A > b est continue de M2 (R) dans R , donc l’ensemble des matrices triangulaires supérieures qui est l’image
réciproque de f0g par est un fermé de M2 (R) :
de même pour l’ensemble des matrices triangulaires inférieures.
E2 est donc la réunion de deux fermés.
E2 est donc une partie fermée de M2 (R)
II. TEST DANS LE CAS n=3
4. Pour une MDP, le déterminant est égal au produit des valeurs propres donc au produit des termes diagonaux.
Une MDP est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont tous non nuls
Il su¢ t de
0
1
A=@ 0
0
prendre une matrice triangulaire, non diagonale et inversible:
1
0
1
1 1
1
1 0
1 1 A, A 1 = @ 0 1
1 A
0 1
0 0
1
5. Soit A = (aij ) une matrice de M3 (R). A est une MDP si et seulement si son polynôme caractéristique est égal à
(a11
)(a22
)(a33
) soit :
a11
a2;1
a3;1
a1;2
a2;2
a3;2
a1;3
a2;3
= (a11
)(a22
)(a33
)
a3;3
En développant par Sarrus on trouve que
8 : a1;2 a2;3 a3;1 + a1;3 a2;1 a3;2
(a1;1
)a2;3 a3;2
(a2;2
)a1;3 a3;1
(a3;3
)a1;2 a2;1 = 0
le polynôme est nul si et seulement si ses coe¢ cients sont nuls.
le terme constant donne :
a1;2 a2;3 a3;1 + a1;3 a2;1 a3;2
a1;1 a2;3 a3;2
a2;2 a1;3 a3;1
a3;3 a1;2 a2;1 = 0
soit det(A) = a1;1 a2;2 a3;3 .
le coe¢ cient de
donne
a12 a21 + a13 a31 + a23 a32 = 0
A est MDP si et seulement si (det A = a11 a22 a33 ) et (a12 a21 + a13 a31 + a23 a32 = 0)
remarque : la condition sur les déterminant est évidente et traduit que le déterminant est le produit des valeurs propres
, l’autre condition ne me semble pas facile à trouver sans faire le calcul.
6.
1. MDP:=A->if (det(A)=A[1,1]*A[2,2]*A[3,3]) and ( A[1,2]*A[2,1]+A[1,3]*A[3,1]+A[2,3]*A[3,2]=0)
then print( ’oui’ ) else print (’non’ ) ; fi;
2. Les matrices à diagonale propre sont A1 , A3 , A4 , A5 , A6 et A8
3. A1 ; A4 et A8 on des inverses MDP pas A3 ; A5 et A6
on peut penser que la condition est
a12 a21 = a13 a31 = a23 a32 = 0
ce qui est compatible aussi avec le fait que toute matrice triangulaire inversible est MDP ainsi que son inverse.
III. EXEMPLES DE MATRICES PAR BLOCS
7. Soit M =
A
0
B
C
.
Pour avoir des blocs de taille compatibles avec ceux de l’indication qui suit il faut prendre A 2 Mr ((R) et C 2 Ms (R)
Alors
A
0
B
C
=
Ir
0
0
C
:
A B
0 Is
.
En développant r fois par rapport à la première ligne, on montre que det
Ir
0
0
C
En développant s fois par rapport à la dernière ligne, on montre que det
A B
0 Is
= det C
= det A.
On a donc bien:
det M = det A det C
remarque : on démontre dans le cas particulier de 2 blocs diagonaux un résultat admis du cours..
8.
2
1. Si M =
A
0
B
C
est une matrice par blocs de Mn (R) alors :
PM ( ) = det
A
Ir
0
B
C
= det(A
Is
Ir ) det(C
Is ) = PA ( )PC ( )
Donc si A et C sont des MDP , alors M est MDP : Les matrices A et C ayant leurs valeurs propres sur la diagonale
les valeurs propres de M sont sur sa diagonale.
On veut ici 13 coe¢ cients non nuls , donc 3 nuls . Il su¢ t donc prendre A de taille 1 1 (qui est obligatoirement
MDP )et C de taille 3 3 MDP ; B ligne quelconque.
seule A5 (dé…nie à la question 6,) est une MDP ayant tous les termes sont non nuls)
On obtient par exemple :
0
1
1 2 3 4
B 0 1 1 1 C
C
M =B
@ 0
1 1 1 A
0
2 3 6
A B
L’idée du a) n’est plus utilisable (pourquoi faire faire deux fois la même chose) , puisque si
0 C
A et C sont des MDP de taille 2 2 , on sait que A et C on sait que Am et C sont triangulaires. .On va donc
chercher à ce que les valeurs propres de A soit sur la diagonale de C et inversement.
0 1
Un exemple : S =
est une symétrie de valeurs propres 1 et 1 , donc S + 2I2 admet les valeurs propres
1 0
3 et 1
2 1
3 x
Posons A =
et C =
.reste à trouver x et y
1 2
y 1
Or les valeurs propres de C sont 2 double , donc
2. Soit M =
det(C
I2 ) =
2
xy =
1
4 +4
soit
Par exemple : , B =
1
1
1
1
et C =
3
1
1
1
On obtient :
0
2
B 1
M =B
@ 0
0
.
1
2
0
0
1
1
3
1
1
1
1 C
C
1 A
1
IV. QUELQUES PROPRIETES
9. On note A = (aij ) 2 Mn (R).
n
Les valeurs propres de A sont les (ai;i )i=1 :
Or si A = P DP 1 on a aA + bIn = P (aD + bIn )P
bien les termes diagonaux de aA + bIn ,
1
donc les valeurs propres de aA + bIn sont les (a:ai; i + b), qui sont
aA + bIn est donc une MDP
Les termes diagonaux et les valeurs propres d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes, at A + bIn est donc une
MDP
10. Soit A 2 En .
1
Pour p 2 N , on pose Ap = A + In qui est une MDP d’après la question précédente.
p
1
Ap est inversible , si et seulement si - n’est pas valeur propre de A , ce qui interdit un nombre …ni de valeurs pour p .
p
8
1
>
< 1 si 8p 2 N - n’est pas valeur propre
p
On pose P =
. (Ap )p>P est une suite d’éléments de Gn qui vers A.
1
>
: max p;
valeur propre sinon .
p
3
11.
1.
0 1
est une matrice réelle symétrique donc elle est diagonalisable et aussi trigonalisable, mais d’après la
1 0
question 3., elle n’est pas à diagonale propre.
Une matrice trigonalisable n’est pas nécessairement une MDP
2. Par dé…nition, le polynôme caractéristique d’une MDP est scindé, une telle matrice est donc trigonalisable.
Une MDP est trigonalisable
3. Soit A 2 Mn (R)
Si A est semblable à une matrice B à diagonale propre, alors les polynômes caractéristiques sont égaux or PB est
scindé, donc PA est scindé.
Si PA est scindé, alors A est semblable à une matrice triangulaire supérieure, or toute matrice triangulaire est à
diagonale propre donc A est semblable à une MDP.
A est semblable à une MDP si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé
.
12. Il su¢ t d’écrire A comme une somme de deux matrices triangulaires l’une supérieure , l’autre inférieure.
0
a11
B
B 0
A=B
B .
@ ..
0
..
.
..
.
0
a1n
..
.
..
.
ann
1
0
0
C B
C B a21
C+B
C B .
A @ ..
an1
..
.
..
.
..
.
an;n
1
0
..
.
..
.
0
1
C
C
C
C
A
0 1
et qui s’écrit comme
1 0
somme de deux matrices triangulaires donc comme somme de deux MDP , donc E2 n’est pas un sous-espace vectoriel
de M2 (R).
Pour tout n = 2 il existe une matrice qui n’est pas à diagonale propre par exemple A =
Pour n > 2 il su¢ t de prendre par blocs
A (0)
(0) (0)
En n’est pas un espace vectoriel
V. MATRICES SYMETRIQUES ET MATRICES ANTISYMETRIQUES
13. tr(t AA) =
n
n X
X
i=1 j=1
a2ij .C’est le carré de la norme 2 sur Mn (R)
14.
1. A est une matrice réelle et symétrique donc il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles
que A = P Dt P et t P = P 1
tr(t AA) = tr(P Dt P P Dt P ) = tr(P DDt P ) = tr(P D2 t P ) = tr(D2 )
car P D2t P et D2 sont semblables et ont donc la même trace.
n X
n
n
X
X
2
Or tr(t AA) =
a2ij et tr(D2 ) =
i , donc
i=1 j=1
i=1
n X
n
X
i=1 j=1
4
a2ij =
n
X
i=1
2
i
n
2. Si de plus A est une MDP, alors les valeurs propres de A sont les (ai;i )i=1
n X
n
n
n X
X
X
X
Donc
a2ij =
a2ii et donc
a2ij = 0,. On a une somme nulle de réelles positifs , il sont tous nuls et la
i=1 j=1
i=1
i=1 j6=i
matrice A est diagonale.
Réciproquement, toute matrice diagonale est à diagonale propre.
Les matrices symétriques réelles à diagonale propre sont les matrices diagonales
15. .
1. A est antisymétrique, donc tous ses éléments diagonaux sont nuls et comme elle est à diagonale propre, son polynôme
caractéristique est scindé et toutes ses valeurs propres sont nulles.
A est donc semblable à une matrice diagonale n’ayant que des 0 sur la diagonale .
(
1
8i < n , f (bi ) 2 Vect(bk )ik=1
8i < n j , f j (bi ) 2 Vect(bk )
Donc si A = M at(bi ) (f ) on a
et par une récurrence rapide
!
!
f (bn ) = 0
8i n j , f j (bi ) = 0
et donc f n = e
0 soit A = 0
A étant antisymétrique :
(t AA)n = ( AA)n = ( 1)n A2n = 0
2. t AA est une matrice symétrique réelle donc elle est diagonalisable.
(t AA)n = 0 donc toutes les valeurs propres de t AA sont nulles.
On en déduit t AA = 0.
n X
n
X
3. De ce qui précède, on déduit que tr(t AA) = 0 donc
a2ij = 0 et donc somme de termes positifs ...
i=1 j=1
A est la matrice nulle
VI. DIMENSION MAXIMALE D’UN ESPACE VECTORIEL INCLUS DANS En
16.
dim An =
17. Soit F un sous-espace vectoriel de Mn (R) tel que l’on ait F
n(n
1)
2
En .
De la question 15., on déduit F \ An = f0g et donc la somme F + An est direct.
dim Mn (R) = n2
n(n 1)
n(n + 1)
dim An = n2
=
2
2
Donc dim F + dim An = dim(F + An )
On en déduit dim F
n2
dim F
n(n + 1)
2
n(n + 1)
et il est inclus dans En .
2
n(n + 1)
.
La dimension maximale d’un sous-espace vectoriel F de Mn (R) véri…ant F En est donc
2
Le sous-espace des matrices triangulaires supérieures est de dimension
18. Il n’existe pas de tel sous espace vectoriel si n = 2 puis que toute MDP est triangulaire.
A B
. On impose à A et C d’être triangulaires inférieures . A
0 C
et C sont alors bien des MDP; donc aussi M d’après la partie III.
pour n
3 On utilise des matrices par blocs M =
Si B est non nul et si A ou C n’est pas diagonale M n’est pas triangulaire.
En…n l’ensemble des matrices de ce type est un espace vectoriel et comme
A
0
=
B
C
A 0
0 0
; A 2 T IN Fr ; B 2 Mr;n
; A 2 T IN Fr
r; C
0 B
0 0
5
2 T IN Fn
; B 2 Mr;n
r
r;
0 0
0 C
C 2 T IN Fn
r
(n r)(n
r(r + 1)
+ r(n r) +
2
2
Si n = 4 et r = 2 on prend les matrices du type :
la dimension est
r + 1)
=
n(n + 1)
:
2
a 0 x
b c z
0 0 A
0 0 B
ou si n = 4 et r = 1 :
0
a
B 0 A
B
@ 0 B
0 D
6
0
C
E
y
t
0
C
1
0 C
C
0 A
F