composition deuxième trimestre

Première L
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES INFORMATIQUE
Février 2011
Durée de l’épreuve : 1 h 30
Le candidat doit traiter les 2 exercices
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet comporte 5 pages, y compris celle-ci.
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Première L
Composition de mathématiques – informatique
Annexes
Février 2010
Exercice 1 : Croissances de plantes (10 points)
Des chercheurs se proposent d’étudier la croissance de deux plantes, le Linéal et
l’Exposa, en comparant leur hauteur. Voici présentés ci-dessous les premiers relevés en
centimètres arrondis à 10-1 près.
Plante
Linéal
Exposa
Hauteur
initiale
20,0
20,0
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
25,0
23,0
30,0
26,5
35,0
30,4
40,0
35,0
Partie A : Etude des relevés
1) Montrer que la hauteur de la plante Linéal suit une progression arithmétique dont on
précisera la raison notée r.
2) Quel est le pourcentage d’augmentation de la hauteur de la plante Exposa pendant la
première semaine ?
3) Montrer que la hauteur de la plante Exposa est proche d’une progression géométrique
de raison 1,15.
Partie B : Modélisation
Les chercheurs se proposent de prévoir les hauteurs des deux plantes pour les semaines
suivantes, à partir des relevés des premières semaines. Ils admettent que la suite des
tailles de la plante Linéal est arithmétique de raison r et que la suite des tailles de la
plante Exposa est géométrique de raison 1,15 et de premier terme 20. On note
respectivement Ln et En la taille des plantes Linéal et Exposa après n semaines
d’observation.
1) Donner une expression de Ln en fonction de L0 et de n, et calculer ainsi L5 et L6. Les
résultats en centimètres seront arrondis à 10-1 près.
2) Donner une expression de En en fonction de E0 et de n, et calculer ainsi E5 et E6.
On utilise ensuite un tableur pour faire des prévisions de croissance dans les semaines à
venir.
Voici représentée ci-après une feuille de calcul servant à calculer des prévisions. Les
valeurs manquantes dans les colonnes 3 et 5 ont été calculées dans les questions
précédentes.
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Composition de mathématiques – informatique
Annexes
Février 2010
3) On donne la formule qui a été saisie dans la cellule C4 pour la suite arithmétique :
cette formule est = C3 + 5
En déduire une formule qui a été saisie dans la cellule E4 pour la suite géométrique.
Exercice 2 : Miel et confiture (10 points)
Un artisan vend des pots de miel et des pots de confiture artisanale à des supermarchés
et à des magasins spécialisés en produits du terroir.
Partie A
Au cours du mois de janvier, l’artisan a vendu 900 pots.
On sait que :
• 2/3 sont des pots de miel dont 55 % sont vendus à des magasins spécialisés.
• 20 % des pots de confiture sont vendus aux supermarchés.
Compléter le tableau figurant en annexe.
Partie B
1) Fabrication et conditionnement de la confiture
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;160] par f(x) = 0,25x² + 500
La fabrication complète de la confiture et son conditionnement en cartons représentent
un coût pour l’artisan. Pour x cartons, prêts à la vente, ce coût (en euros) est donné par
f(x).
a) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 du tableau suivant (obtenu avec un
tableur) pour obtenir par recopie automatique vers le bas les nombres f(x) ?
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Composition de mathématiques – informatique
Annexes
Février 2010
Compléter la colonne B dans le tableau figurant en annexe.
b) La représentation graphique, notée F, de la fonction f est l’une des deux courbes du
graphique figurant en annexe. Identifier la courbe F sur le graphique de l’annexe.
2) Vente de la confiture
Un carton de confiture est vendu 30 euros.
On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de
vente g(x), en euros, de ces x cartons (pour x appartenant à l’intervalle [0 ;160]).
a) Exprimer g(x) en fonction de x.
b) Tracer sur le graphique fourni en annexe la courbe représentative G de la
fonction g.
c) Par lecture graphique indiquer pour quelles valeurs de x on a g(x) ≥ f(x).
3) Etude du bénéfice
On considère la fonction bénéfice b définie sur l’intervalle [0 ;160] par b(x) = 30x – f(x)
a) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 du tableau suivant pour obtenir par
recopie automatique vers le bas les nombres b(x) ?
Compléter alors la colonne C dans le tableau de l’annexe.
b) Sur le graphique de l’annexe, identifier la courbe représentative de la fonction b et
noter cette courbe E. En s’aidant du graphique et de la colonne C du tableau précédent,
donner le tableau des variations de la fonction b.
c) Déduire de la question précédente le nombre de cartons à vendre pour que le
bénéfice réalisé soit maximum. Quel est ce bénéfice maximum ?
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Composition de mathématiques – informatique
Annexes
NOM :
Février 2010
Prénom :
Tableau de l’exercice 2 – Partie A à compléter :
Pots de miel
Supermarchés
Magasins
spécialisés
Total
Pots de confiture
artisanale
600
Total
900
Tableau de l’exercice 2 – Partie B à compléter :
Graphique de l’exercice 2 – partie B à compléter
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Annexes
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CORRECTION
Février 2011
Exercice 1 : Croissances de plantes (10 points)
Partie A : Etude des relevés
1) La différence de hauteur entre deux semaines consécutives est constante et
égale à 5.
La hauteur de la plante Linéal suit donc une progression arithmétique de raison r égale à
5.
2)
Le pourcentage d’augmentation de la hauteur de la plante Exposa pendant la première
Valeur finale – valeur initiale
semaine est donné par la formule :
× 100
valeur initiale
23-20
Soit
× 100 = 15.
20
Le pourcentage d’augmentation cherché est donc 15 %.
3) Montrer que la hauteur de la plante Exposa est proche d’une progression géométrique
de raison 1,15.
3) Les quotients des hauteurs de la plante entre deux semaines successives sont :
Plante
Linéal
Exposa
Hauteur
initiale
20,0
20,0
Semaine 1
Semaine 2
Semaine 3
Semaine 4
25,0
23,0
30,0
26,5
35,0
30,4
40,0
35,0
23
26,5
30,4
35
= 1,15
≈ 1,15
≈1,15
≈ 1,15
20
23
26,5
30,4
Ces quotients sont approximativement égaux à 1,15.
On en déduit que la hauteur de la plante Exposa est proche d’une progression
géométrique de raison 1,15.
Partie B : Modélisation
1) Ln = L0 + n×r = 20 + 5r
On en déduit L5 = 20 + 5×5 = 45 et L6 = 20 + 5×6 = 50
2) En = E0×qn avec q = 1,15
Soit En = 20 × 1,15n
On en déduit E5 ≈ 40,3 et E6 ≈ 46,6
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CORRECTION
Février 2011
3) Formule saisie en E4 : = E3 * 1,15
Exercice 2 : Miel et confiture (10 points)
Partie A
Pots de miel
Supermarchés
Magasins
spécialisés
Total
Total
270
330
Pots de confiture
artisanale
60
240
600
300
900
330
570
Partie B
1) a) Formule saisie en B2 : = 0,25*A2*A2+500
x
0
20
40
60
80
100
120
140
160
f(x)
500
600
900
1400
2100
3000
4100
5400
6900
b)
F
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CORRECTION
Février 2011
2) Vente de la confiture
Un carton de confiture est vendu 30 euros.
On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de
vente g(x), en euros, de ces x cartons (pour x appartenant à l’intervalle [0 ;160]).
a) g(x) = 30x
b)
G
c) On a g(x) ≥ f(x).lorsque la courbe G est au dessus de la courbe F soit pour x
appartenant à l’intervalle [20 ;100].
3) Etude du bénéfice
a) Formule saisie en C2 : =30*A2 – B2
x
0
20
40
60
80
100
120
140
160
f(x)
500
600
900
1400
2100
3000
4100
5400
6900
g(x)
-500
0
300
400
300
0
-500
-1200
-2100
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Première L
Composition de mathématiques – informatique
CORRECTION
Février 2011
b)
G
E
Tableau de variation de la fonction b :
x 0
f(x)
60
400
−500
160
−2100
c) Le bénéfice est maximum pour 60 cartons vendus.
Il est égal à b(60) = 400 €.
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