Nombres complexes - Forme trigonométrique
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Nombres complexes - Forme trigonométrique
Nombres complexes : Forme Trigonométrique I) Module et argument d’un nombre complexe 1) Définitions Soit le nombre complexe On note M le point d’affixe dans le repère orthonormé ; , ) • On appelle module du nombre complexe et on note | | la distance OM ; | | = 0M • Si est non nul, on appelle argument du nombre complexe , et on note arg( ) toute mesure de l’angle , arg( ) = , à 2 près. Remarque : Le module d’un nombre complexe est une distance : c’est donc un nombre réel positif. Exemples Exemple 1 : • Placer le point M d’affixe que arg ( ) = | | tel à 2 près et 3 • Placer le point N d’affixe que arg ( ) = et | | tel à 2 près. 2 • Placer le point P d’affixe que arg ( ) = tel à 2 près. et | | tel • Placer le point Q d’affixe que arg ( ) = à 2 près. et | | 3 Exemple 2 : Les cercles représentés ci-dessous ont pour centre O et pour rayons 1 ; 2 et 4. Donner le module et un argument des affixes des points A, B, C, D, E et F. • Pour le point A: A est sur le cercle de centre O et de rayon 2 alors | | 2 A est sur l’axe des abscisses donc arg ( ) = 0 à 2 près. • Pour le point B: B est sur le cercle de centre O et de rayon 4 alors | | B est sur l’axe des ordonnées donc arg ( ) = 4 à 2 près. • Pour le point C: C est sur le cercle de centre O et de rayon 4 alors | | 4 C a son abscisse égale à son ordonnée, toutes les deux comprises entre 0 et donc arg ( ) = à 2 près. • Pour le point D: D est sur le cercle de centre O et de rayon 2 alors | | 2 D a son abscisse égale à son ordonnée, son abscisse étant comprise entre 0 et alors : arg ( )= à 2 près et , son ordonnée • Pour le point E: E est sur le cercle de centre O et de rayon 1 alors | | 1 E est sur le cercle trigonométrique d’abscisse , on reconnait l’abscisse de l’angle comme son ordonnée est comprise entre 0 et 2 ,alors : arg ( ) = 3 , à 2 près • Pour le point F: F est sur le cercle trigonométrique d’ordonnée comme son abscisse est comprise entre 0 et , on reconnait l’ordonnée de l’angle alors : arg ( ) = à 2 près II) Forme trigonométrique d’un nombre complexe Soit un nombre complexe non nul dont le module est r et un argument est On note : M le point image de N l’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle trigonométrique On a donc : Les coordonnées de N étant ( cos() ; sin() ) celles de M sont ( rcos() ; rsin() ) D’où on peut écrire z = rcos()+ i rsin() Voir figure ci-dessous : , 1) Théorème Soit le nombre complexe de module et d’argument On peut écrire : Dans ce cas on note z = [ ; ] cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z Exemples : Dans l’exemple 2 du paragraphe précédent, nous avions trouvé : • Pour le point A : | | 2 et arg ( ) = 0 à 2 près. Dans ce cas on peut écrire : = 2 ( cos 0 + i sin 0) = [2 ; 0] 4 et arg ( ) = • Pour le point B: | | Dans ce cas on peut écrire : = 4 ( cos 4 et arg ( ) = • Pour le point C: | | Dans ce cas on peut écrire : = 4 ( cos à 2 près. + i sin ) = [4 ; ] à 2 près. + i sin ) = [4 ; ] etc … III) Passage d’une forme à l’autre Le module de est la distance OM qui est égale à Donc | | = formes. . Cette égalité permet de d’obtenir des formules entre les deux 1) Théorème Soit un nombre complexe non nul de forme algébrique forme trigonométrique z = [ r ; ] • Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique : • Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : | |= et et de Exemples : = 4 – 4i 1) Soit le nombre complexe de forme algébrique Sa forme trigonométrique est donc [ = 4 4 √ √32 = √ 4√2 √ = ; ] avec et √ = √ √ = On reconnait, à partir des valeurs des angles remarquables , le cosinus et le sinus de l’angle à 2 près : = 4√2 et pour argument a donc pour module à 2 près Donc : = [ √ ; 2) Soit le nombre complexe de forme trigonométrique [3 ; ] Sa forme algébrique est donc Soit √ =3( = 3 (cos ( ) + i sin ( ] )) ) 3) Soit le nombre complexe de forme algébrique 2 2 Sa forme trigonométrique est donc [ r ; ] avec = √2 2 √ √8 = √ 2√2 √ = et √ = √ = √ On reconnait, à partir des valeurs des angles remarquables, le cosinus et le sinus de l’angle à 2 près : a donc pour module = 2√2 et pour argument à 2 près = [ √ ; Donc : ] 4) Soit le nombre complexe de forme algébrique 1 √3 Sa forme trigonométrique est donc [ r ; ] avec r= 1 √3 √4 2 et √ On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le sinus de l’angle à 2 près : a donc pour module r = 2 et pour argument = Donc: =[ ; ] à 2 près 4 5) Soit le nombre complexe de forme algébrique Sa forme trigonométrique est donc [ r ; ] avec r= 4² 4 1 0 et On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le sinus de l’angle à 2 près : ] =[ ; 2 près donc : a donc a pour module r = 4 et pour argument = 3 6) Soit le nombre complexe de forme algébrique Sa forme trigonométrique est donc [ r ; ] avec r= 3 ² 3 0 1 et On reconnait, à partir des valeurs remarquables des angles, le cosinus et le a donc a pour module r = 3 et pour argument = à sinus de l’angle à 2 près : = [ ; ] 2 près donc : IV) Utilisation du module et de l’argument en géométrie Soit et deux points d’affixes respectives et nombre complexe . Soit le point d’affixe . Le vecteur a pour affixe le c’est à dire le point M tel que Le quadrilatère OMBA étant un parallélogramme on en déduit que OM = AB = | , , | arg ) à 2 près à 1) Théorème Si et deux points d’affixes respectives alors | | et à 2 près , Exemples Exemple 1 : Si A a pour affixe = | et 2 3 et B a pour affixe | = |2 |= √2 , 5 alors on a 2 = arg 2 arg 2 à 2 près Exemple 2 : Soit A le point d’affixe (2 + i) ; B le point d’affixe (2 + 4i) et C le point d’affixe (5 + i) Quelle est la nature exacte du triangle ABC ? • AB = | |=| 2 BC = | |=| 5 2 AC = | |=| 5 2 4 | = |3 | = 3 2 4 | = |3 3 | = √18 | = |3| = 3 On a donc AB = AC. Le triangle ABC est isocèle en A • Le côté le plus grand est [BC] D’une part : BC² = √18 ² = 18 D’autre part AB² + AC² =9 +9 = 18 Donc BC² = AB² + AC² D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A Conclusion : Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A