Untitled - Math France
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EXERCICE 2 Partie A 1. On sait que pour tout nombre complexe non nul z, arg(z100 ) = 100 arg(z) [2π]. Donc un argument de z100 est Or 100π . 3 4π 96π 4π 4π 100π = + = + 32π = + 16 × 2π 3 3 3 3 3 et un argument de z100 est aussi 4π . Cet argument n’est pas de la forme kπ, k ∈ Z et donc z100 n’est pas réel. 3 La proposition 1 est fausse. 2. Soit M un point du plan d’affixe z 6= 1. On note A le point d’affixe 1. z = 1 ⇔ |z| = 1 ⇔ |z| = |1 − z| et z 6= 1 ⇔ OM = AM et M 6= A z ∈ (E) ⇔ 1 − z |1 − z| ⇔ M ∈ med[OA] et M 6= A. La médiatrice de [OA] est parallèle à l’axe des imaginaires purs et n’est donc pas parallèle à l’axe des réels. La proposition 2 est fausse. π 3. L’expression complexe de la rotation de centre K et d’angle − est z ′ = e−iπ/2 (z − zK ) + zK . Notons O ′ l’image du 2 π π + i sin − = −i et donc point O par r. On a e−iπ/2 = cos − 2 2 √ √ √ √ √ √ zO ′ = (−i)(0 − 1 − i 3) + 1 + i 3 = − 3 + i + 1 + i 3 = 1 − 3 + i 1 + 3 . La proposition 3 est vraie. 4. Le discriminant de cette équation est ∆ = 4 cos2 π π − 4 = 4 cos2 − 1 = −4 sin2 . 5 5 5 π Donc ∆ < 0 et l’équation (E) admet deux solutions non réelles conjuguées z1 et z2 = z1 . Le produit de ces deux solutions vaut 1 mais aussi z1 z1 ou encore |z1 |2 . Donc |z1 |2 = 1 puis |z1 | = 1. On a aussi |z2 | = |z1 | = |z1 | = 1. La proposition 4 est vraie. Partie B −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 5. AG.BD = (AC + CG).BD = AC.BD + CG.BD. −→ −→ Maintenant, les diagonales du carré ABCD sont perpendiculaires et donc AC.BD = 0. D’autre part, la droite (CG) est −→ −→ perpendiculaire au plan (ABC) et donc orthogonale à toute droite de ce plan. On en déduit que CG.BD = 0. −→ −→ Finalement, AG.BD = 0. Maintenant, on vient en fait de montrer de manière plus générale que la diagonale (AG) du cube est orthogonale à la diagonale qui ne passe pas par A d’une face ayant A pour sommet et donc, en échangeant les rôles des points B, D et E, −→ − → on a aussi AG.BE = 0. La droite (AG) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (BDE). On en déduit que la −→ droite (AG) est perpendiculaire au plan (BDE) ou encore que le vecteur AG est normal au plan (BDE). La proposition 5 est vraie. http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. − → −→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ 6. EB.ED = (EA + AB).(EA + AD) = EA.EA + EA.AD + EA.AB + AB.AD = 1 + 0 + 0 + 0 = 1. − → −→ [ est droit et donc, en remontant Donc EB.ED 6= 0 et les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires (l’angle BAD « verticalement » de A à E, l’angle droit disparaît). La proposition 6 est fausse. http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.