I/. Les mathématiques sont un modèle de certitude II/. Les

La vérité mathématique est-elle le modèle de toute vérité ?
(Problématique) La vérité est définie traditionnellement comme adéquation entre le discours et le réel. Pourtant les mathématiques paraissent s’appliquer à la réalité avec une exactitude surprenante alors qu’elle se construit indépendamment de l’expérience : la certitude qui accompagne la chaîne de raisonnement mathématique vient de la cohérence de la pensée avec elle-­‐même. Mais le d’application des mathématiques au réel est-­‐il illimité ? Galilée avait écrit que le monde est un livre écrit en langage mathématique. C’est la mathématisation de la physique, opérée au XVIe par Galilée puis au XVIIe par Newton, qui est l’acte de naissance de la physique moderne. Mais cette mathématisation peut-­‐elle s’appliquer à tous les domaines ? Si la physique use des mathématiques avec profit, elle n’apporte pas l’essentiel à la biologie et la psychologie. I/. Les mathématiques sont un modèle de certitude A. Descartes : les mathématiques comme modèle de la méthode dans la recherche de la vérité. Descartes insiste sur l’importance de la méthode pour atteindre la vérité. Il expose celle-­‐ci dans le Discours sur la méthode. Une chose est vraie quand elle nous apparaît clairement et distinctement comme telle. La clarté et la distinction sont donc des critères nécessaires pour l’établissement d’une vérité. Un raisonnement sûr est à la fois composé d’idées claires et distinctes et liens entre ces idées qui sont eux-­‐mêmes clairs et distincts, de sorte qu’il n’y a pas d’erreur. Ce qu’il faut donc éviter, c’est la confusion dans les idées (mélanger plusieurs idées, les avoir mal analysé) et la précipitation dans le raisonnement. Les mathématiques consistent à avance d’idées claires et distinctes à d’autres idées claires et distinctes par un raisonnement qui est lui-­‐même clair et évident. Les mathématiques constituent donc le modèle de tout raisonnement sûr et a été un modèle pour la philosophie. Spinoza a exposé son système philosophique, dans l’Ethique, « à la manière des géomètres », c’est-­‐à-­‐
dire en partant de définitions et d’axiomes et en déduisant de ces axiomes. B. Les maths sont le langage même des sciences. Galilée disait que l’univers est écrit en langage mathématiques. Déchiffrer l’univers sans l’usage des mathématiques semble impossible. Même si les sciences usent de l’expérience, elles rendent compte de cette expérience et peuvent la maîtriser en mathématisant le donné de l’expérience. Transition : Les mathématiques sont des modèles de vérité, dans la démarche même du raisonnement, de la démonstration. Mais est-­‐il possible de tout démontrer selon une telle démarche déductive. Est-­‐ce que toute déduction ne repose pas sur des prémisses dont la vérité échappe à la déduction et prenant source ailleurs, dans l’expérience (et donc hors du modèle mathématique) ? II/. Les mathématiques reposent sur des postulats et non des axiomes A. Toute démonstration repose sur des prémisses qui ne sont pas elles-­‐mêmes démontrées. Une démonstration est vraie quand le raisonnement est cohérent et quand les prémisses sont vraies. La cohérence de la pensée est donc une condition nécessaire mais non suffisante de la pensée. Or comment démontrer les prémisses ? Si les prémisses ont besoin d’une démonstration, celle-­‐ci reposera elle-­‐même sur des prémisses qui auront besoin d’une démonstration : ce serait une régression à l’infini. B. Les maths perdent dès lors leur caractère de vérités absolues. Une possibilité serait de se fonder sur des vérités absolues, évidentes par elles-­‐mêmes, qui n’auraient pas besoin de démonstration. Mais la difficulté est alors de distinguer de telles vérités de fausses évidences : il n’est pas sûr que ce soit possible. La géométrie euclidienne a longtemps été considéré comme la seule possible, jusqu’à ce qu’on montre qu’un de ses postulats pouvait être remis en cause : ce qui a permis le développement de la géométrie non-­‐euclidienne qui a des 1 La vérité mathématique est-elle le modèle de toute vérité ?
applications pratique dans la Théorie de la relativité restreinte. Si les prémisses reposent sur l’expérience, alors celle-­‐ci n’est qu’une généralisation et non une vérité absolue. C. Toute démonstration suppose le principe de non-­‐contradiction qui est lui-­‐même non démontrable. Par ailleurs, toute démonstration repose sur le principe de non-­‐contradiction, qui est un principe, comme le disait Aristote, qui ne peut pas être démontré, puisque toute démonstration utilise ce principe de non-­‐contradiction. Transition : Si la vérité d’une déduction dépend de la vérité de telles propositions, cela signifie que la science ne peut pas avoir pour seul modèle les mathématiques. Bien que les mathématiques ne nous donnent pas accès à des vérités absolues (les déductions sont certaines, mais elles reposent sur des postulats non démontrées), elles restent un modèle par leur rigueur. Mais n’y a-­‐t-­‐il pas des réalités qui échappent aux mathématiques ? Les maths ne peuvent pas tout interpréter. III/. Les limites des mathématiques tiennent à leur objet : la quantité. A. Les connaissances liées aux sciences humaines échappent en partie à la mathématisation. Si la mathématisation permet de maîtriser et de modéliser efficacement des phénomènes naturels qui se répètent, qui obéissent à des lois immuables, ce qui relève de l’histoire humaine et de la contingence lui échappe. En effet, nous pouvons approcher la vérité en histoire à partir de l’usage critique de témoignages, de documents, etc. : dans ce domaine, la mathématisation est inutile, car nous avons affaire à une histoire singulière, qui ne se répète pas, qui n’est pas gouvernée par des lois mathématisables mais par la contingence, c’est-­‐à-­‐
dire à la fois le hasard et la liberté humaine. B. Par ailleurs, les émotions, les sentiments, les souvenirs sont d’ordre qualitatif et non d’ordre quantitatif. Une odeur de rose mêlée à un souvenir d’enfance, comme le disait Bergson dans l’Essai sur les données immédiates de la conscience, ne peut pas s’analyser comme deux sensations distinctes : il s’agit d’une seule sensation complexe et riche, qui ne peut pas être découpée, car elle d’ordre qualitative et non étendue. Le monde vécu a sa valeur propre que l’ascèse mathématique se donne légitimement le droit d’exclure, mais que les mathématiciens en tant qu’homme ne sauraient oublier. Même si un super-­‐mathématicien met en équation Racine, cette équation ne saurait remplacer le plaisir à la lecture de Bérénice. Les mathématiques sont un modèle de rigueur mais elles ne sauraient définir la culture humaine. C. De plus, les relations entre les hommes comme êtres libres, ne peuvent pas se comprendre à partir d’une mathématisation de ces relations comme des choses. Un comportant ne se comprend pas à l’aide d’une analyse mathématique, mais par un effort de compréhension, qui est une saisir intérieure d’un sentiment. Comme l’affirme Dilthey dans Le monde de l'esprit : « Nous expliquons la nature, nous comprenons la vie psychique. » Tandis que les phénomènes de la nature peuvent être expliqué selon le modèle de lois de cause à effet (c’est-­‐à-­‐dire de cause efficiente), il faut être capable de comprendre les motivations d’un homme (sur le modèle de la cause finale), ses intérêts, en se mettant à sa place. Nous pouvons donc distinguer l’explication selon le modèle de cause à effet, à partir de lois mathématisables dans le domaine des choses ; et la compréhension, d’ordre qualitative, dans le domaine de l’esprit. 2