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Exercice 1 : Dans cet exercice, les différentes étapes de calcul seront détaillées. 7 2 9
25×106×3×10‐2
On pose A= – × B=
C=3 72‐5 2 15 15 4
2×102
1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 7 18 28 18 10 1
A= – = – = = 15 60 60 60 60 6
2) Calculer B et donner l’écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale du résultat. 75×104 75 104 B=
= ×
= 37,5×102 = 3,75×103 = 3750 2×102 2 102
3) a) Donner la valeur décimale arrondie au millième de C. C 18,385 b) Ecrire C sous la forme a 2 où a est un nombre entier. C=3× 36 × 2 ‐ 5 2 = 3× 36× 2 ‐ 5 2 = 3×6× 2 ‐ 5 2 = 18 2 ‐ 5 2=13 2 Exercice 2 : On donne A = (x – 3)² + (x – 3)(1 – 2x) 1) Développer et réduire A. A=(x² ‐ 6x + 9) + (x ‐2x² ‐3 +6x) = x² ‐ 6x + 9 + 7x – 2x² ‐ 3 = ‐x² + x + 6 2) Prouver que l’expression factorisée de A est (x – 3)(‐x – 2) A=(x‐3)(x‐3) + (x‐3)(1‐2x) = (x‐3)[ (x‐3) + (1‐2x) ] = (x‐3) ( x‐3 + 1 – 2x) = (x‐3)(‐x ‐2) 3) Résoudre l’équation A=0 A = 0 signifie que x‐3=0 ou ‐x‐2=0 donc x = 3 et x=‐2 sont les solutions de cette équation. Exercice 3 : 1) Construire un triangle ABC tel que AB=7,5cm ; BC=10cm et AC=12,5cm. 2) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B. AC²=12,5²=156,25 AB²+BC²=56,25+100=156,25 Donc AC²=AB²+BC² et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B 3) a) Construire le point F appartenant au segment [AC] tel que CF=5cm. b) Construire le point G appartenant au segment [BC] tel que CG=4cm. 4) Montrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. Les points C,G et B sont alignés dans le même ordre que C,F et A. CG 4
= =0,4 CB 10
CF 5
=
=0,4 CA 12,5
CG CF
donc = donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, (GF) est parallèle à (AB) CB CA
Exercice 4 : Dans cet exercice, écrire tous les calculs permettant de justifier votre réponse. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Pierre vient d’acheter un terrain dont on peut assimiler la forme à la figure ci‐contre. Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit qui se présente en sac de 15kg où il est écrit « 1 kg pour 15m² ». 1) Combien de sacs de gazon devra‐t‐il acheter ? Calculons l’aire du terrain : 20×40 + (50‐20)×40/2 = 800 + 600 = 1400m² Calculons la quantité de gazon à utiliser : 1400/15  93,3 kg Calculons le nombre de sacs : 93,3/15 = 6,22 sacs. Il lui faudra donc 7 sacs de gazon. 2) De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150m de grillage. Est‐ce suffisant ? Justifier. Calculons le périmètre de la figure : P = 40 + 20 + BC + 50. Calculons BC : D’après e théorème de Pythagore dans le triangle BDC rectangle en D BC²=BD²+DC² BC²=40² + (50‐20)² = 1600 + 900 = 2500 BC= 2500=50m. donc P=160m > 150m donc il n’aura pas assez de grillage. Exercice 5 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune Justification n’est demandée. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées. Une seule est exacte. Pour chacune des 5 questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A,B,C ou D correspondant à la réponse choisie. Questions A
B
C
D 5 6
7
11
‐1
– est égal à : 1 0,46 3 5
15
2
8
25+ 169 est égal à : 18 2 174 5+ 13 194 2×10‐3×105 est égal à : 2×10‐15 3 2×102 0,2 0,02 4 Les solutions de l’équation (3x‐4)(x+5) = 0 sont : ‐1 et 6 4
et 5 3
1 et 6 4
et ‐5 3
‐3x‐2 3x+2 ‐3x+2 (x‐1)(x‐2) – x² est égal à : 5 x² Exercice 6 : Deux bateaux sont au large d’une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions A et B comme indiquées ci‐
contre. Ils constatent qu’ils sont séparés de 800m, et chacun voit l’île sous un angle différent. Déterminer, au mètre près, la distance qui sépare chaque bateau de l’île. 
I =180°‐(35°+55°)=90° donc AIB est un triangle rectangle. Dans ce triangle rectangle, cos(35°)=AI/800 donc AI=800×cos(35°) 655m cos(55°)=BI/800 donc BI=800×cos(55°) 459m Exercice 7 : Dans un collège de Caen (Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves de 3ème qui étudient l’espagnol en seconde langue. Le tableau ci‐dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudié par les 320 élèves de 4ème et 3ème de ce collège. Seconde langue étudiée 4ème 3ème Total Espagnol 84 78 162 Allemand 22 24 46 Italien 62 50 112 Total 168
152
320
1) Combien d’élèves peuvent être concernés par cet échange ? Il y a 62+50=112 élèves qui étudient l’italien. Il y a 22+24=46 élèves qui étudient l’allemand. l y a donc 320‐(112+46) = 162 élèves qui étudient l’espagnol, dont 162‐84=78 élèves de 3ème. 2) 24 élèves vont participer à ce voyage. Est‐il vrai que cela représente plus de 12% des élèves de 3ème ? Il y a 78+24+50=152 élèves en 3ème. 24
×100>12%, donc plus de 12% des élèves de 3ème participe à ce voyage. 152
Exercice 8 : On veut réaliser un tipi qui aura la forme d’une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH] (voir le schéma ci‐contre). Le tipi aura les dimensions suivantes : AD=1,60m CD=1,20m et SH = 2,40m. 1) Calculer le volume V de cette pyramide, en m3. B×h
où h désigne la hauteur de la pyramide et B l’aire de sa base. On rappelle que V = 3
B=1,60×1,20 =1,92m² ; h=SH = 2,40m donc V=1,92×2,40/3 = 1,536 m3 2) Calculer la longueur BD. Dans le triangle BAD rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore on a : BD²=AB²+AD² = 1,60²+1,20²=4 BD= 4=2m 3) a) Montrer que SD=2,60m La centre de ABCD étant le point H, c’est donc l’intersection de ses diagonales, et donc, comme ABCD est un rectangle, H est le milieu de [BD]. Donc HD=BD/2 = 1m. D’après le théorème de Pythagore dans SHD rectangle en H, SD²=SH²+HD²= 2,40² + 1² = 6,76 SD= 6,76=2,6m b) On ajoute à l’armature une baguette [EF] comme indiqué sur le dessin de sorte que (EF) // (AD) et SF = 1,95m. Calculer EF. (AE) et (DF) sont sécantes en S et (EF)// (AD). D’après le théorème de Thalès : SE SF EF
= = SA SD AD
1,95 EF
= 2,6 1,6
EF×2,6=1,95×1,6=3,12 EF=3,12 :2,6=1,2m 4) On a trouvé dans un magasin des tiges de bambou de 3m. Une tige peut être coupée pour obtenir deux baguettes mais une baguette ne peut pas être fabriquée par collage de deux morceaux de bambou. Combien faut‐il acheter de tiges de bambou, au minimum, pour réaliser les neuf baguettes de l’armature du tipi ? De la même manière que nous avons calculé SD, on montre que SA=SB=SC=2,60m. Il faut déjà 4 tiges de bambou car on ne peut réutiliser les 3m‐2,60m=0,4 m restant. 1,60+1,20=2,80m < 3m. Avec une tige de 3m, on peut former [AD] et [DC]. De la même façon, une autre tige est nécessaire pour [AB] et [BC]. Il en faut alors une dernière pour la baguette [EF]. Il nous faut donc 7 tiges de bambou.