STIA 3 MISE A NIVEAU MATHEMATIQUES Recueil d`exercices

STIA 3
MISE A NIVEAU
MATHEMATIQUES
Recueil d’exercices
CHAPITRE 1 : Généralités sur les fonctions
Exercice 1.1
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
Exercice 1.2
Etudier la parité des fonctions suivantes :
Exercice 1.3
On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. Soit I un point du cercle C et M un point
du segment [O ;I]. La perpendiculaire à la droite (OI) passant par M coupe le cercle C en A et
D. Construire les points C et B, symétriques respectifs des points A et D par rapport à O. On
note x=OM et f(x) l’aire du rectangle ABCD.
1/ Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2/ Donner l’expression de f(x)
3/ Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ABCD est-elle maximale ? Quel est ce
maximum ?
Exercice 1.4
La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims
démarre de la gare de l'Est à 8h 30 min et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express
part de Reims à 9h15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. À quelle heure et à quelle
distance de Paris les trains se croiseront-ils?
Exercice 1.5
On cherche à rénover une pièce de 4,20 m × 3,50 m dont la hauteur sous plafond est de 2,60
m. Les rouleaux de papier choisis pour tapisser le mur ont une longueur de 11,50 m et une
largeur de 50 cm. Chaque rouleau coûte 3,90 €. La peinture destinée à repeindre le plafond
coûte 5,50 € le pot. Chaque pot permet de peindre une surface de 8 m². La colle nécessaire
pour fixer le papier peint coûte 1,15 €.
1. Combien de rouleaux faut-il acheter ? (on néglige les chutes dues aux portes et fenêtres)
2. Quel est le coût des fournitures pour cette rénovation?
CHAPITRE 2 : Rappels de trigonométrie
Exercice 2.1
Simplifier :
cos (
2
- x) - cos (
2
+ x) - sin ( + x) + sin ( - x)
Exercice 2.2
Déterminer en fonction de cos x et sin x l'expression de :
sin (x +
Exercice 2.3
Montrer que,
x
4
)
R,
cos (x) + sin (x) = 2 sin (
4
+ x) = 2 cos ( - x)
4
Exercice 2.4
Résoudre dans R les équations suivantes (donner les valeurs des solutions
appartenant à - ; + ] et placer les sur le cercle trigonométrique).
(1)
sin (2 x) = sin (
(2)
cos (x) = cos (
(3)
tan (x) = tan (
4
3
2
- 3 x)
- 3 x)
+ 2 x)
CHAPITRE 3 : Limites et continuité
Exercice 3.1
A l'aide des opérations sur les limites, déterminer les limites suivantes :
x
lim- x (x - 3)
x
x
lim- x3 (1 - 1 + 43 )
x x
x
lim- - x2 (x + 2) - 1
lim- - x 3 x + 3
x
Exercice 3.2
Déterminer les limites en + ∞ et en - ∞ des fonctions suivantes définies sur lR :
g (x) = x 2 +1 - 1
h (x) =
x
2 + 3 x2
k (x) =
9 x3 + 1
x -4x +5
2
Exercice 3.3
Calculer les limites suivantes :
x
lim-
x2 + 4 x + 3 + x
Exercice 3.4
f (x) = 2 x + sin x
x
lim
x
3
lim+ 2 x + 5
3x -2
1 - 2
lim
x 1 1 - x
1 - x2
x 2 -4
x -2
1
1 2
lim
x 1 x - 1 x + 3
3x +5
lim
x
2
x
x +6 -3
x -3
x
lim+
x+5 - x- 3
x
1 + x2 - 2
lim0
x
Exercice 3.5
Calculer la limite de
x3 - 1
quand x
x2 - 1
1.
Calculer la limite en + ∞ des fonctions définies ci-dessous :
f (x) = 2 x + sin x
x
Calculer la limite de
h (x) = x 2 + 4 x + 3 - x
g (x) = x + 5 - x
x2 - x
x2 + 2 x + 5 - x quand x
-
et quand x
+
.
Exercice 3.6
Calculer la limite suivante de
Calculer la limite de
sin x - cos x
quand
x- /4
x3 - 1
quand x
x2 - 1
x
4
1.
Calculer les limites des fonctions suivantes quand x
sin x
x2 sin (1 )
f ( x) =
x
h (x) =
sin x
x
0 :
g (x) = sin 2 x
sin 3 x
CHAPITRE 4 : Dérivées et primitives
Exercice 4.1
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
f ( x) = (4 - 3x) 3
g ( x) = (x 4 x 2 1) 3
h ( x) = (2x - 1) 2 (4 - 3x) 3
Exercice 4.2
Soit la fonction définie par
sa dérivée.
. Déterminez son domaine de définition puis calculez
En déduire les domaines et les dérivées des fonctions :
Exercice 4.3
Soit le polynôme :
Déterminer a, b et c pour avoir
. Montrer que le polynôme P se factorise par (x-2)3 et résoudre
l’équation P(x)=0.
Exercice 4.4
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des
fonctions ci-dessous au point d’abscisse a spécifié.
Exercice 4.5
Soit f la fonction définie sur
x
a) Montrer que
- 1 ;+
- 1 ;+
par :
:
f ( x) = (2 x 3 + 3 x 2 - 2 x - 1) ( x + 1) 2
f ( x) = 2 x - 1 -
2
+ 2 ( x + 1) 2
x +1
b) Calculer les limites de f en – 1 et en + ∞.
c) Soit D la droite d'équation y = 2 x –1. Montrer que D est asymptote à la courbe de
représentative de f notée Cf et étudier la position de D par rapport à Cf.
- 1 ;+
d)
Déterminer
f'
et
f"
et
montrer
que
x
f ' ( x) = 2 x ( x 2 + 3 x + 4) ( x + 1) 3 et étudier les variations de la fonction f .
e) Montrer que la fonction f admet un minimum que l'on précisera et que l'équation
f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans l'intervalle - 1 ; + .
Exercice 4.6
Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer le domaine de définition et calculer la
dérivée.
f (x) = ln
x2 + 1
g (x) =
Exercice 4.7
Etudier la fonction f (x) =
Montrer
que
h (x) = cos ( x sin x )
1 + x 2 cos 2x
x . Tracer sa courbe représentative.
x +1
pour
tout
x >0
:
x-
x2
< f (x) < x .
2
CHAPITRE 5 : Fonction exponentielle
Exercice 5.1 :
1 – Ecrire plus simplement :
2 – Résoudre les inéquations suivantes :
3 – Déterminer les limites suivantes :
Exercice 5.2 :
Calculer :
Exercice 5.3
Soit f la fonction définie par
. Sa courbe représentative dans un
repère orthonormal est noté C.
1 – Déterminer le domaine de définition de f et ses limites aux bornes de ce domaine.
2 – Montrer que la droite d’équation y=x+2 est asymptote à C en -∞ et préciser la
position de C par rapport à cette droite.
3 – Montrer que
et en déduire que la droite y=x-2 est asymptote
à C en +∞ en précisant à nouveau la position de C par rapport à cette droite-ci.
4 – Faites l’étude complète de f sur son domaine.
Exercice 5.4
Etudier le sens de variation de la fonction f définie par
que pour tout réel x :
En déduire
CHAPITRE 6 : Fonctions logarithmes
Exercice 6.1
Résoudre dans IR les équations suivantes :
ln x2 + 2 = 0
ln x2 + 2 x = ln 2 - x
ln x + ln x + 1 = 0
Exercice 6.2
Déterminer les limites ci-dessous.
ln x + 1
x+1
lim
ln
ln
x
x
1
ln x
lim
x
0 x -2
lim+
x
x
lim+ ln x
x+1
lim ln ln x
x
ln x
lim
x
2 x -2
lim ln x
x -2
x
Exercice 6.3
a- Soit f la fonction définie sur 1 ; +
par : f (x) = x ln 1 + 3x . Déterminer la limite de
f en +∞ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Pour tout x 1 ; + , calculer la dérivée première et la dérivée seconde de f .
Déterminer le sens de variation de f ' puis la limite de f ' en +∞. En déduire le signe
de f ' et indiquer les variations de f (tableau de variations).
Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal
(O ; i ; j ) . Tracer la droite d'équation y = 3 et la courbe C en indiquant le point A de C
d'abscisse 3.
c - Soit g la fonction définie sur 1 ; + par : g (x) = 3 x et sa courbe représentative.
x+3
Donner le tableau de variations de g .
Vérifier que, pour tout x de 1 ; + , on a : f (x) - g(x) = x f ' (x)
Déterminer le signe de f (x) - g(x) et la limite de f - g en + ∞.
Interpréter graphiquement les deux résultats. Tracer la courbe
que C en indiquant le point B de d'abscisse 3.
d - Soit élément de 1 ; + .
dans le même repère
Donner une équation de la tangente T à C au point d'abscisse .
Montrer que T rencontre (Oy) au point N d'ordonnée g ( ).
En déduire, à l'aide du tracé de , la construction de la tangente à C au point
d'abscisse .
Tracer de cette façon la tangente à C en A.
Exercice 6.4
On considère la fonction f définie sur IR par x ln (e-x + x) .
1.a- En étudiant les variations sur IR de la fonction u e-u + u , justifier que f peut
être définie sur IR.
1.b- En déduire que, pour tout x IR, 1 + x ex > 0
1.c- Vérifier que, pour tout x IR, on a : f(x) = ln (1 + xex) - x
2- Calculer f’(x) et étudier les variations de f sur IR.
3.a- Calculer lim
f(x)
x
f(x) + x = 0 .
3.b- Montrer que lim
x 3.c- Montrer que, pour tout x 0 : f(x) + x 0.
4- On définit, sur un intervalle 0 ; +
, la fonction g par g (x) = f (x) - ln x
4.a- Etudier la limite de g en + ∞
4.b- Etudier le signe de g sur l’intervalle 0 ; +
Exercice 6.5
Calculer les dérivées suivantes :
f (x) = x ln (x)
f (x) = ln ln x
f (x) = ln x + x2 + 1
Exercice 6.6
Etudier les fonctions :
f (x) = ln (1 + x) - x
g (x) = ln (1 + x) - x +
x2
x2
2
En déduire que, si x > 0, on a : x - 2 < ln (1 + x) < x .
h (x) = x - 1 - ln x
CHAPITRE 7 : Intégration
Exercice 7.1
Calculer l'aire sous les courbes des fonctions suivantes sur les intervalles donnés.
f (x) = x3
[0 ; 1]
1
[1 ; 2]
g (x) = x
Exercice 7.2
Calculer : A =
3
0
2 - t + 1 - t dt
Exercice 7.3
Calculer les intégrales suivantes :
A=
1
0
D=
2 x + 1 dx
x +x +3
B=
6
E=
2
sin 3x dx
1
x + 1 ex
2
+ 2x + 1
dx
0
0
0
x (2 x2 + 1) dx
2 x dx
x2 - 4
4
F=
-1
0
1
C=
1
dx
2 x+1
0
Exercice 7.4
Soit f une fonction définie par f (x) =
b et c tels que : f (x) = a x + b +
x2 + 2 x - 1
sur
x+3
c . Calculer
x +3
Exercice 7.5
Soit f une fonction définie par f (x) =
. Déterminer les réels a,
f (x) dx
2
6x -3
2
2 sur
x + 2 x-1
Déterminer les réels a et b tels que : f (x) =
Calculer
3;+
2
2;1 .
a
b .
2 +
2
x+2
x -1
0
1
f (x) dx .
Exercice 7.6
A l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
1
x e-x dx
1
2
e
x cos x dx
0
ln x dx
x2
e
2
1
1
ln x dx
1
2
(x + 1) e - 2x dx
x2 ln x dx
1
Exercice 7.7
L'objectif principal de cet exercice est de calculer l'intégrale I =
1
0
x ex
1 + ex
3
dx .
a- calculer les intégrales A et B
1
A=
0
ex
dx
1 + ex
1
B=
et
0
ex
1 + ex
2
dx
b- Pour tout nombre t positif ou nul , déterminer a, b et c tels que :
(1)
1 =a+ bt + ct
2
1+t 1+t2
1+t
En posant t = ex dans l'égalité (1), calculer l'intégrale J =
1
0
ex
1 + ex
2
dx .
c- A l'aide d'une intégration par parties, exprimer I en fonction de J. En déduire
la valeur de I.
Exercice 7.8 : Calculer
f (x , y) dx dy si :
D
f (x , y) =
f (x , y) = e
1
1 +x +y
2
x2
f (x , y) = x - y
f (x , y) =
1
dx dy
(x + y) 4
D = 1 ;2
D = (x , y)
1;2
IR2 : 0
x
D = (x,y)
R2 / x
D = (x , y)
R2 / x 1, y
3,0
1 et y
y
x
3
1
2, x + y 5
CHAPITRE 8 : Equations différentielles linéaires du premier ordre
Exercice 8.1
Déterminer la solution f sur IR des équations différentielles suivantes vérifiant la
condition donnée :
y'=2y
f ( 3) = - 2
3y '=-6y
f ( -4) = 2
5y'+y=0
f (-5) = 1
2 y - 5 y' = 0
f (1) = - 3
Exercice 8.2 *
Déterminer la solution f sur IR des équations différentielles suivantes vérifiant la
condition donnée :
3 y '- y =1
f (0) = 2
y '=3y -2
f (0) = 1
y ' -5y =3
f (0) = 2
Exercice 8.3
A l’instant t=0 (t exprimé en minutes), on injecte dans un réacteur parfaitement
mélangé une dose de 2 unités d’une substance colorée. La substance colorée se
répartit instantanément dans le réacteur et elle est ensuite progressivement éliminée.
On note Q(t) la quantité de substance présente dans le réacteur à l’instant t, exprimée
en unités adaptées.
On admet que le processus d’élimination peut se représenter mathématiquement par
l’équation différentielle : Q’ (t) = - Q (t), où est un nombre qui sera déterminé
expérimentalement.
1-Exprimer Q (t) en fonction de t et . Au bout d’une minute, la quantité de substance
présente dans le réacteur a diminué de 25 %.
2-Déterminer la valeur de
3-Etudier le sens de variation de Q pour t 0.
Exercice 8.4
Déterminer la solution générale des équations différentielles suivantes :
(1) y ' - 2 y = - 3 - 4 x + 2 x2
(2) 2 y ' + y = - x 2 6 + x
(3) y ' - 5 y = - 5 - 2 x + 5 x2
Exercice 8.5
Déterminer la solution générale des équations différentielles suivantes :
(1)
(2)
x y ' +2 y =x2 - 3
2 y ' - y = exp ( x)