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Lycée Sainte Geneviève
BCPST 2
Révisions : Dénombrements
Dénition 1. Un ensemble E est ni s'il est vide ou s'il existe un entier naturel n et une bijection de E sur J1, nK.
n est appelé le cardinal de E noté card(E). Par convention, card(∅) = 0.
Proposition 1. Si E est un ensemble ni et si A est une partie de E alors A est nie et card(A) ≤ card(E). De plus
si card(A) = card(E) alors A = E .
Théorème 1. Soient E et F deux ensembles et f
: E → F une application.
1. Si f est injective et si F est ni alors E est ni et card(E) ≤ card(F ).
2. Si f est surjective et si E est ni alors F est ni et card(E) ≥ card(F ).
3. Si E et F sont nis et si card(E) = card(F ) alors
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective
Théorème 2. Soient A et B deux ensembles nis.
1. Si A et B sont disjoints alors card(A ∪ B) = card(A) + card(B) et
sinon card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
2. Si B ⊂ A alors card(A \ B) = card(A) − card(B) et
sinon card(A \ B) = card(A) − card(A ∩ B)
Théorème 3. Soient E et F deux ensembles nis. Alors le produit cartésien E × F est ni et
card(E × F ) = card(E) × card(F ).
De manière générale, pour E ni et n ∈ N∗ , on a E n ni et card(E n ) = card(E)n . Tout élément de E n est appelé une
n-liste.
Théorème 4. Soient E et F deux ensembles nis. L'ensemble F E des applications de E dans F est ni et
card(F E ) = card(F )card(E) .
Théorème 5. Soit E un ensemble ni. Une bijection de E dans E est souvent appelée une permutation de E .
L'ensemble des permutations de E , noté SE , est ni et card(SE ) = (card(E))!.
Théorème 6. Soit E un
ensemble ni de cardinal n et p ≤ n. On appelle p-combinaison de E toute partie de E de
cardinal p. Il existe
n
p
=
n!
p-combinaisons distinctes de E .
p!(n − p)!
Théorème 7. Soit E un ensemble ni. L'ensemble des parties de E , noté P(E), est ni et card(P(E)) = 2card(E) .
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