De la lumière ayant une longueur d`onde de 310 nm arrive sur du

Transcription

De la lumière ayant une longueur d’onde de 310 nm arrive sur du sodium
(travail d’extraction = 2,46 eV). Quelle est la vitesse maximale des électrons
éjectés ?
boson.ulb.ac.be/la-lumiere-vue-comme-une-particule/
Découvrez comment résoudre ce problème dans ce chapitre.
Luc Tremblay
Collège Mérici, Québec
Résultats expérimentaux du 19e siècle
Les corps chauds émettent des ondes
électromagnétiques. On a déjà parlé de ce
phénomène dans la section sur le spectre
électromagnétique. Par exemple, cet anneau
métallique chauffé à plusieurs centaines de degrés
Celsius émet un rayonnement plutôt rougeorange.
Dès 1792, un fabricant de porcelaine anglais
nommé Thomas Wedgewood nota le premier le
lien entre la couleur et la température. Il remarqua
en.wikipedia.org/wiki/Thermal_radiation
que tous ses fours très chauds émettaient
exactement la même teinte de rouge quand ils étaient à la même température, peu importe
leur forme, leur taille ou la façon dont ils étaient construits. Les observations faites par de
nombreux physiciens au cours des années suivantes permirent de conclure que la couleur
de la lumière émise change avec la température. À température ambiante, le rayonnement
émis est invisible (c’est de l’infrarouge). Si on chauffe l’objet, il commence à émettre du
rouge à environ 700 K. Puis, à mesure qu’on le chauffe encore plus, sa couleur passe du
rouge à l’orange, au jaune, au blanc puis au bleu. Voici un vidéo montrant comment change
la couleur de la lumière émise par un corps en fonction de sa température.
http://www.youtube.com/watch?v=jCTmN7HY76k
En fait, ce rayonnement n’est pas monochromatique (une seule couleur ou longueur
d’onde). Voici ce qu’on obtient quand on fait le graphique de l’intensité du rayonnement
en fonction de la longueur d’onde pour des corps à 3000 K, 4000 K, 5000 K, 6000 K et
7000 K.
www.astrosurf.com/spectrodavid/page_resultats_basse_resolution_au_SA100.htm
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11-La physique quantique 2
Luc Tremblay
Vous pouvez également explorer un peu plus sur ce site.
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/planck/planck.htm
On remarque alors qu’il y a un pic d’émission à une certaine longueur d’onde et que ce
maximum dépend de la température du corps. Plus le corps est chaud, plus la longueur
d’onde du pic est petite. On va appeler cette longueur d’onde du pic d’émission pic . On
découvrit en 1893, à partir des résultats expérimentaux, la loi suivante.
Longueur d’onde du pic d’émission (Loi de Wien)
 pic
2,898 103 mK

T
où T est la température de l’objet.
L’aire sous la courbe représente la puissance rayonnée par unité de surface par l’objet. On
remarque que l’aire augmente avec la température. Plus le corps est chaud, plus il y a de
l’énergie rayonnée par unité de surface. En fait, la puissance rayonnée augmente très vite
avec la température puisqu’elle suit cette loi, découverte en 1879, toujours à partir des
résultats expérimentaux.
Puissance rayonnée par un corps chaud (loi de Stephan-Boltzmann)
P   A T 4  T04 
où  est une constante valant 5,67 x 10-8 W/m² K4, A est l’aire de l’objet, T est la
température de l’objet et T0 est la température du milieu dans lequel se trouve l’objet. (Ces
températures sont en kelvins.)
Ces résultats sont précieux en astrophysique, car ils permettent de connaitre plusieurs
caractéristiques des étoiles puisqu’elles rayonnent (presque) comme des corps chauds
parfaits.
Exemple 11.1.1
La lumière émise par l’étoile Sirius a une puissance de 1,295 x 1028 W (soit 33 fois la
luminosité du Soleil) et un pic d’émissivité à 290 nm.
a) Quelle est la température de surface de cette étoile ?
On peut trouver la température avec la formule du pic d’émissivité.
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2,898  103 m  K
 pic 
T
2,898  103 m  K
290  109 m 
T
T  9993K
b) Quel est le rayon de cette étoile ?
On trouve l’aire de la surface de cette étoile avec la formule de la puissance.
P   A T 4  T04 

1, 295  1028W  5,67  108 mW2 K 4 A  9993K    0 K 
4
4

A  2, 29  1019 m ²
Comme l’aire d’une sphère est 4r², on a
4 r ²  2, 29  1019 m ²
r  1,35  109 m
(Ce qui est 1,94 fois le rayon du Soleil.)
La loi de Rayleigh-Jeans
Il y avait cependant un sérieux problème quand on tentait d’expliquer ce rayonnement.
C’était le fameux deuxième nuage noir de Kelvin dans le ciel bleu de la physique du
19e siècle. À la base, le principe est simple. Les atomes du corps chaud sont en oscillations
à cause de la température. Avec cette oscillation, il y a des particules chargées qui
accélèrent, ce qui crée des ondes
électromagnétiques. Plus il fait chaud, plus les
oscillations sont importantes et plus le
rayonnement est important. On part du
principe que l’objet est en équilibre avec son
environnement et qu’il absorbe tout le
rayonnement qui arrive sur lui (d’où le nom de
rayonnement du corps noir qu’on donne
souvent à ce phénomène).
Mais les calculs, faits à partir de 1860 (mais de
façon plus soutenue après 1890), n’arrivaient
pas à reproduire les résultats expérimentaux. uel.unisciel.fr/chimie/strucmic/strucmic_ch01/co/appren
dre_ch1_11.html
La formule théorique, dite formule de
Rayleigh-Jeans, arrivait plutôt à une loi du rayonnement montrée sur la figure. Ce qui était
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encore plus embêtant, c’est que l’aire sous la courbe théorique (qui représente la puissance
émise) était infinie ! Cela signifie que les objets se refroidiraient instantanément dans un
immense sursaut de rayonnement émis. Ce n’est vraiment pas ce qui se passe. On appelait
ce résultat la catastrophe ultraviolette puisque la formule théorique divergeait
sérieusement pour les petites longueurs d’onde (ultraviolet et plus petite) alors que l’accord
était meilleur pour les grandes longueurs d’onde.
Il fallait trouver une façon de réconcilier la théorie et l’expérience.
L’hypothèse de Planck
En 1900, Max Planck découvrit qu’on obtient le bon résultat si on suppose que les atomes
émettent de l’énergie d’une façon très particulière. Alors que les atomes peuvent émettre
n’importe quelle quantité de rayonnement dans la théorie classique, Planck affirme qu’ils
doivent émettre l’énergie par paquet, qu’on appellera quantum d’énergie (quanta au
pluriel). Le quantum d’énergie pour un atome en oscillation harmonique avec une
fréquence f est
Quantum d’énergie d’un atome en oscillation harmonique
E  hf
où h est une constante appelée constante de Planck et qui vaut
Constante de Planck
h  6, 626  1034 J  s
L’énergie du rayonnement émis par un atome doit, selon Planck, être un multiple entier du
quantum d’énergie.
Énergie émise par un atome en oscillation
E  nhf
où n est un entier. C’est ce qu’on appelle la quantification de l’énergie.
Voyons pourquoi cette hypothèse élimine la catastrophe ultraviolette.
Pour des fréquences basses (donc de grandes longueurs d’onde), la valeur du quantum
d’énergie hf est petite. Prenons des chiffres pour illustrer. Supposons que l’énergie
d’oscillation de l’atome est de 100 eV et que le quantum d’énergie à cette fréquence est de
1 eV. La valeur du quantum d’énergie est alors beaucoup plus petite que l’énergie de
l’atome et l’atome peut facilement émettre du rayonnement. C’est facile d’émettre 1 eV
(ou 2 eV ou 3 eV… puisqu’on peut émettre un nombre entier de quanta) quand on a une
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énergie de 100 eV. Les atomes peuvent émettre beaucoup de quanta d’énergie, mais
comme l’énergie de chaque quantum est relativement petite, l’intensité globale n’est pas si
grande. C’est pourquoi la courbe n’est pas si élevée à droite sur le graphique.
Allons maintenant à des fréquences un peu
plus grandes, de sorte que le quantum
d’énergie vaut maintenant 5 eV. Un atome qui
a une énergie de 100 eV peut facilement
émettre de tels quanta d’énergie. Comme
chaque quantum a plus d’énergie, le
rayonnement émis est plus intense. C’est
pourquoi la courbe de l’intensité (courbe
bleue) monte quand la longueur d’onde
diminue à droite sur le graphique.
uel.unisciel.fr/chimie/strucmic/strucmic_ch01/co/appren
dre_ch1_11.html
Allons maintenant à des fréquences encore plus
grandes. Supposons que hf vaut maintenant 30 eV. Un atome ayant une énergie de 100 eV
peut encore émettre un quantum ou des quanta d’énergie, mais ce sera plus difficile. Plus
on doit émettre une quantité importante d’énergie d’un seul coup, moins c’est probable que
cela se produise. Cela commence à faire diminuer la quantité de rayonnement prévu, de
sorte que la courbe du rayonnement (en bleu) commence à augmenter moins vite que ce
que prévoyait la physique classique (en rouge) quand la longueur d’onde diminue.
Pour des hautes fréquences (donc de petites longueurs d’onde), le quantum d’énergie est
encore plus grand. Supposons alors que hf vaut 200 eV. Il devient alors impossible qu’un
atome ayant une énergie de 100 eV puisse émettre du rayonnement. Comment voulez-vous
qu’un atome ayant une énergie de 100 eV émette un quantum de 200 eV ? Dans ce cas, le
rayonnement est complètement éliminé. Cette impossibilité d’émettre du rayonnement de
grande fréquence explique la chute brutale de la courbe à gauche du graphique. (La chute
ne serait pas instantanée à 100 eV parce que cette valeur représenterait l’énergie moyenne
des atomes. Certains atomes auraient plus d’énergie que cela et pourraient émettre des
quanta avec une énergie plus grande que 100 eV, mais ils seront peu nombreux.)
L’hypothèse de Planck laisse donc le rayonnement ayant de grandes longueurs d’onde
identique à ce qu’il était, alors qu’elle diminue le rayonnement aux fréquences moyennes
et élimine le rayonnement aux basses fréquences. C’est exactement ce qu’il nous fallait
pour éviter la catastrophe ultraviolette. Avec cette hypothèse des quanta et un choix
judicieux de la valeur de la constante de Planck, l’accord est parfait entre la théorie et
l’expérience.
(Il faut dire que Planck a fait le raisonnement inverse : il a trouvé une fonction qui était en
accord avec la théorie et il a ensuite cherché ce qu’on devait supposer pour arriver à un tel
résultat. Il arriva alors à la conclusion que la lumière devait être émise par quanta.)
Reste que personne ne savait pourquoi l’énergie émise devait être un nombre entier de
quanta valant hf. Planck tenta pendant plusieurs années de trouver une justification, mais
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il n’y parvint jamais. Sans explications plausibles, plusieurs n’y voyaient qu’un truc
mathématique.
Einstein arriva, en 1905 (la même année qu’il a fait la relativité !), à un résultat très
intéressant concernant la lumière. Si on enferme de la lumière dans une boite (évidemment,
les côtés sont des miroirs), elle a les mêmes propriétés qu’un gaz de particules. Les résultats
montrent même que ces particules ont une énergie égale à hf ! Pour Einstein, c’était plus
qu’une coïncidence. Il proposa donc l’hypothèse des photons (nom donné en 1926 par le
chimiste Lewis aux particules de lumière)
Hypothèse des photons d’Einstein
La lumière est composée de particules (les photons) dont l’énergie est
E  hf
Cela allait beaucoup plus loin que ce que Planck avait proposé. Pour Planck, l’énergie
émise par les corps chauds se fait par bloc de hf, mais cela ne signifie pas nécessairement
que la lumière reste en paquet ayant une énergie hf après l’émission. La lumière reste une
onde et elle peut avoir n’importe quelle énergie. Seul le processus d’émission est quantifié
selon Planck.
Pour Einstein, il y avait quantification, car on devait émettre des photons. Puisque l’énergie
des photons est hf, cela faisait baisser l’énergie des atomes de hf. Une fois la lumière émise,
elle restait sous forme de photons.
On peut dire que le succès ne fut pas immédiat et on peut comprendre pourquoi. Depuis
1830, tout semblait indiquer que la lumière est une onde. Les expériences d’interférence,
de diffraction et de polarisation avaient convaincu tout le monde que la lumière est une
onde. De plus, les équations de Maxwell montrent clairement que la lumière est une onde.
Et voilà qu’Einstein vient proposer que la lumière est une particule ! Pendant près de
20 ans, Einstein fut pratiquement le seul à y croire, et lui-même douta souvent de cette
hypothèse au cours de cette période. Il y avait cependant un élément qui semblait appuyer
cette idée, c’est l’effet photoélectrique que nous verrons à la section suivante.
Exemple 11.2.1
Une source de 10 W émet de la lumière ayant une longueur d’onde de 600 nm. Combien
de photons sont émis chaque seconde ?
Pour trouver le nombre de photons en 1 seconde, il faut connaitre la quantité d’énergie
émise en 1 seconde et l’énergie d’un photon à cette fréquence. Avec ces données, on
trouvera le nombre de photons avec
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N
Énergie émise en 1 seconde
Énergie d'un photon
L’énergie émise en 1 seconde est
E  Pt
 10W  1s
 10 J
L’énergie d’un seul photon est
E  hf
hc


6,626  1034 J  s  3  108 ms
600  109 m
 3,313  1019 J

Le nombre de photons émis est donc
Énergie émise en 1 seconde
10 J

J
3,313 1019 photons
N
 3, 018  1019 photons
Exemple 11.2.2
De la lumière rouge ayant une intensité de 15 W/m² et une longueur d’onde de 600 nm
arrive sur un capteur ayant une aire de 2 m². Combien de photons sont captés en 5 secondes
par ce capteur ?
Pour trouver le nombre de photons en 5 secondes, il faut connaitre la quantité d’énergie
captée en 5 secondes et l’énergie d’un photon à cette fréquence. Avec ces données, on
trouvera le nombre de photons avec
N
Énergie captée en 5 secondes
L’énergie reçue par le capteur en 5 secondes est
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E  I  a t
 15 mW²  2m²  5s
 150 J
L’énergie d’un seul photon est
E  hf

hc

6,626  1034 J  s  3  108 ms
600  109 m
 3,313  1019 J

Le nombre de photons reçus est donc
Énergie captée en 5 secondes
150 J

J
3,313 1019 photons
N
 4,53 1020 photons
On va faire maintenant un petit raccourci pour calculer l’énergie d’un photon en eV à partir
de la longueur d’onde en nm. Pour faire ce raccourci, on utilise la formule
E  hf 
hc

dans laquelle on convertit les joules en eV et les mètres en nanomètres dans les constantes
h et c. Cela nous donne
E
hc

109 nm 6,626  1034 J  s  3  108 ms
1eV



1m
1,602  1019 J

1239,98eV  nm


On peut donc calculer l’énergie à partir de la longueur d’onde avec la formule suivante.
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Énergie des photons à partir de la longueur d’onde
E
1240eV  nm

Pour appuyer sa théorie des photons, Einstein l’applique à un phénomène qui semblait
défier la théorie ondulatoire : l’effet photoélectrique.
Dans cet effet, de la lumière qui arrive sur un métal provoque l’éjection d’électrons présents
dans le métal. Hertz avait découvert l’effet en 1887, mais il fallut attendre 1899 pour que
J.J. Thomson comprenne qu’il y avait éjection d’électrons. On peut voir dans ce vidéo que
la lumière qui arrive sur la canette éjecte des électrons, ce qui change la charge de la canette
et qui fait que les petits bouts de papier ne se repoussent plus les uns les autres.
http://www.youtube.com/watch?v=WO38qVDGgqw
Une onde peut effectivement éjecter des
électrons, mais les expériences de Lenard
en 1902 avaient mis en évidence des faits
troublants.
Il découvrit premièrement que l’énergie
cinétique maximale des électrons émis est
indépendante de l’intensité de la lumière,
donc de l’amplitude de l’onde. Il découvrit
aussi que cette énergie maximale augmente
si la fréquence de la lumière augmente.
cnx.org/content/m39551/1.1/?collection=col11244/latest
Pour illustrer pourquoi ces résultats étaient troublants, prenons une analogie. Imaginons
que des vagues arrivant sur une plage poussent de petits cailloux sur cette plage. Le fait
que l’énergie est indépendante de l’amplitude de l’onde voudrait dire que la vitesse avec
laquelle les cailloux sont poussés est indépendante de l’amplitude de l’onde. Un vague de
1 cm de haut pousserait les cailloux avec la même vitesse qu’un vague de 20 mètres de
haut ! (Si  est identique pour les deux ondes.) Ce qui influencerait la vitesse des cailloux,
c’est la longueur d’onde de vague. Plus la longueur d’onde est petite, plus les cailloux
seraient poussés violemment. Une vague de 1 cm de haut, mais ayant une longueur d’onde
de 10 cm, pousserait les cailloux avec plus de force qu’une vague de 20 mètres de haut
ayant une longueur d’onde de 30 m. De toute évidence, ces résultats n’avaient pas de bon
sens.
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Einstein proposa donc l’explication suivante en 1905. Les électrons sont éjectés quand ils
absorbent un photon. En absorbant le photon, ils gagnent l’énergie qu’avait le photon, ce
qui leur permet d’être éjectés si le photon avait assez d’énergie.
On obtient alors le résultat suivant.
Énergie de l'électron = Énergie du photon - Travail pour sortir du métal
Une fois que l’électron est sorti du métal, son énergie est sous forme d’énergie cinétique.
L’énergie du photon est hf et le travail nécessaire pour sortir du métal est une constante qui
dépend uniquement du métal. Ce travail s’appelle le travail d’extraction . Par exemple, il
faut 4,08 eV pour sortir un électron d’un morceau d’aluminium.
On a alors l’équation suivante.
Effet photoélectrique
Ek max  hf  
Cette formule prévoit que l’énergie cinétique maximale des électrons éjectés augmente bel
et bien avec la fréquence. Elle prévoit aussi que cette énergie est indépendante de l’intensité
de l’onde puisque cette intensité ne se retrouve nulle part dans l’équation. Selon Einstein,
le nombre d’électrons éjectés augmente si on augmente l’intensité de la lumière (puisqu’il
y aura plus de photons pour éjecter des électrons), mais l’énergie de chaque électron reste
la même puisqu’un électron n’absorbe qu’un seul photon. Ceci était aussi en accord avec
les observations de Lenard en 1902.
On remarque aussi que cette équation prévoit l’existence d’une fréquence seuil. En bas
d’une certaine fréquence, les photons n’ont pas assez d’énergie pour éjecter des électrons.
S’il faut 4 eV pour sortir un électron du métal et que les photons n’ont que 3 eV, on se
doute bien qu’il ne se passera rien. L’éjection se produit si l’énergie des photons est
supérieure au travail d’extraction. Cela signifie qu’il y a des électrons éjectés seulement si
hf  
La fréquence seuil, qui est la fréquence minimale, est donc
Fréquence seuil pour l’effet photoélectrique
f0 

h
L’explication d’Einstein permet également de comprendre pourquoi on obtient l’énergie
cinétique maximum des électrons. L’électron a la valeur de l’énergie cinétique maximale
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s’il ne se passe rien de plus que l’absorption du photon et la sortie du métal. Il est possible
par contre que l’électron perde un peu d’énergie lors d’une collision avec un autre électron
ou un noyau atomique.
En 1905, on n’avait pas beaucoup de détails expérimentaux sur l’effet photoélectrique. On
savait que l’énergie des électrons augmentait avec la fréquence, mais on ne savait pas
comment elle augmentait. Il fallut attendre 1916 pour que Millikan fasse une expérience
pour vérifier comment augmente l’énergie des électrons en fonction de la fréquence de la
lumière. En fait, Millikan voulait montrer qu’Einstein avait tort et que son idée des photons
était ridicule. Sauf que, quand Millikan fit
l’expérience, il obtint un graphique suivant.
Or, c’est exactement ce qu’avait prévu
Einstein ! On voit l’éjection des électrons qui
commence à une fréquence seuil et l’énergie
cinétique des électrons qui augmente
linéairement avec la fréquence par la suite.
Selon Einstein, la pente est égale à la constante
de Planck et c’est exactement ce que Millikan
observa expérimentalement.
www.a-levelphysicstutor.com/quantphys-photo-elect.php
Exemple 11.3.1
De la lumière ayant une longueur d’onde de 310 nm arrive sur du sodium (travail
d’extraction = 2,46 eV).
a) Quelle est l’énergie cinétique maximale des électrons éjectés ?
L’énergie cinétique maximale est

hc


1240eV  nm
 2, 46eV
310nm
 1,54eV

b) Quelle est la vitesse maximale des électrons éjectés ?
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Avec l’énergie cinétique maximale, on trouve la vitesse maximale.
Ek max 
1 2
mvmax
2
1
2
2, 467  1019 J  9,11  1031 kg  vmax
2
vmax  7,36  105 ms
Vous remarquez surement qu’il fallait mettre l’énergie en joule avant de la mettre
dans l’équation. Vous remarquez surement qu’on pouvait prendre ½mv² pour
l’énergie cinétique, car la vitesse des électrons n’est pas près de celle de la lumière.
c) Quelle est la longueur d’onde seuil de ce métal ?
La longueur d’onde seuil se trouve avec la fréquence seuil.
0 
c
f0

hc

(car f 0 

h
)
1240eV  nm
2, 46eV
 504nm

Allait-on voir renaitre la théorie corpusculaire de la lumière ? Le problème, c’est que l’effet
photoélectrique était le seul phénomène expliqué par cette théorie. Il n’y avait aucune autre
preuve expérimentale de cette théorie alors qu’il y en avait une multitude pour la théorie
ondulatoire. Il n’est donc pas étonnant que l’idée des photons n’eût que très peu de partisans
avant 1923. Einstein avait lui-même des réserves jusqu’en 1917 environ. Tout changea en
1923 quand on expliqua de l’effet Compton avec les photons.
On étudiait depuis le début du 20e siècle le passage
des rayons X (découvert en 1895) à travers la
matière. À la fin des années 10, on savait que les
rayons diffusés (déviés de leur trajectoire initiale)
avaient une longueur d’onde un peu plus grande que
la longueur d’onde des rayons incidents (’ > ).
en.wikipedia.org/wiki/Compton_scattering
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(En réalité, il y a des rayons x diffusés dans toutes les directions en même temps. On ne
montre ici que la lumière dans une seule direction.)
Les expériences ont montré que le changement de longueur d’onde ne dépendait que de
l’angle de diffusion selon la formule
  0,0024263nm  1  cos  
Cette valeur de 0,0024263 nm porte le nom de longueur d’onde de Compton et est notée
.
La diffusion elle-même n’est pas mystérieuse. L’onde incidente fait un champ électrique
oscillant qui fait osciller les électrons dans la substance. Le rayonnement diffusé vient de
ces oscillations puisque les électrons qui oscillent émettent du rayonnement
électromagnétique. C’est le changement de longueur d’onde qui était mystérieux. Selon la
théorie ondulatoire, l’oscillation des électrons devait se faire à la même fréquence que
l’onde initiale et l’onde émise par les électrons devait se faire à la même fréquence que
l’oscillation des électrons. L’onde diffusée aurait donc dû avoir la même fréquence, et donc
la même longueur d’onde, que l’onde initiale. Ce n’est toutefois pas ce qu’on observait…
En 1923, Arthur Compton découvrit la solution en supposant que la lumière est composée
de photons et que les photons incidents entrent en collision parfaitement élastique avec des
électrons dans la substance. Cette collision fait perdre une partie de l’énergie aux électrons,
ce qui fait baisser leur fréquence et donc monter leur longueur d’onde. Examinons si cette
hypothèse de collision nous donne le bon changement de longueur d’onde.
Voici ce que nous avons avant et après la collision.
Dans une telle collision élastique, l’énergie cinétique et la quantité de mouvement sont
conservées. Dans ces équations,  représentera le photon et e l’électron. Les équations sont
donc
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Équations de conservation pour l’effet Compton
E  E  Ek e
p  p cos   pe cos 
0  p sin   pe sin 
Conservation de l'énergie
Conservation de la quantité de mouvement en x
Conservation de la quantité de mouvement en y
On va premièrement éliminer . Pour y arriver, on va isoler ′ cos  et ′ sin  dans les
équations de la quantité de mouvement.
pe cos   p  p cos 
pe sin   p sin 
Et on utilise ensuite sin² + cos² = 1 pour obtenir
 pe cos  
2
  pe sin     p  p cos     p sin  
2
2
2
pe2 cos ²  pe2 sin ²  p2  2 p p cos   p2 cos ²  p2 sin ²
pe2  cos ²  sin ²   p2  2 p p cos   p2  cos ²  sin ² 
pe2  p2  2 p p cos   p2
Cette équation est notre première équation.
Par la suite, on utilise la formule reliant l’énergie relativiste et la quantité de mouvement
pour l’électron.
E 2  pe2c 2  m 2c 4
E
 mc 2   pe2c 2  m 2c 4
2
k
En utilisant la formule de la conservation de l’énergie lors de la collision (Ek =E -E' ),
cette équation devient
E

 E  mc 2   pe2c 2  m2c 4
2
Comme pour le photon on a E = pc, on obtient
E

 E  mc 2   pe2 c 2  m 2 c 4
2
 p c  p c  mc   p c  m c
 p  p  c  2mc  p  p   m c  p c
 p  p   2mc  p  p   p

2


2 2

2
2 2
2 4
e
3

2 4

2 2
e
2

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


 m 2c 4
2
e
Luc Tremblay
Cette équation est notre deuxième équation.
On a maintenant 2 équations nous donnant la quantité de mouvement de l’électron après la
collision.
pe2  p2  2 p p cos   p2
pe2   p  p   2mc  p  p 
2
Les deux côtés droits de ces équations doivent être égaux.
p
 p   2mc  p  p   p2  2 p p cos   p2
p
 p   2mc  p  p   p2  2 p p cos   p2

2
Ce qui nous donne

2
p2  2 p p  p '2  2mc  p  p   p2  2 p p cos   p2
2 p p  2mc  p  p   2 p p cos 
mc  p  p   p p 1  cos  
Cette quantité de mouvement du photon est reliée à la longueur d’onde de la lumière par
p
On a donc
E hf h


c
c 
mc  p  p   p p 1  cos  
h h  h h
mc    
1  cos  
     
mc        h 1  cos  
Ce qui nous donne
Effet Compton
 
h
1  cos  
mc
Comme
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h
6,62607  1034 J  s

 0,0024263nm
mc 9,1094  1031 kg  2,99792  108 ms
on obtient exactement ce qu’on observait expérimentalement ! Une collision entre un
photon et un électron explique donc l’effet Compton.
Exemple 11.4.1
Des rayons X, ayant une longueur d’onde de 0,01 nm, entrent en collision avec des
électrons. Pour les rayons X diffusés à 30° …
a) quelle est la longueur d’onde des rayons X ?
Le changement de longueur d’onde est
  2, 43  10 3 nm 1  cos 30 
 3, 2  10 4 nm
(Remarquez que toutes les ondes électromagnétiques subissent ce changement de
longueur d’onde. On peut cependant dire qu’un tel changement ne serait pas
facilement observable pour de la lumière visible vu la faiblesse du changement.)
La longueur d’onde des rayons x diffusés à 30° est donc
       0, 01nm  0, 00032 nm  0, 01032 nm
b) quelles sont les énergies des photons avant et après la collision ?
L’énergie des photons avant la collision est
E
hc


1240eV  nm
 124keV
0, 01nm
L’énergie des photons après la collision est
E 
hc 1240eV  nm

 120,155keV
  0,01032nm
On voit que le photon a perdu un peu d’énergie lors de la collision.
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c) quelle est l’énergie cinétique de l’électron après la collision ?
On trouve l’énergie cinétique de l’électron avec la formule de la conservation de
l’énergie dans la collision.
E  E  Eke
124keV  120,155keV  Eke
Ek e  3,845keV
(Ce qui signifie que la vitesse de l’électron est 3,68 x 107 m/s.)
En réalité, il y a deux fréquences reçues à l’angle  parce que les photons peuvent être
déviés par un électron ou par le noyau atomique. Comme le changement de fréquence
dépend de la masse de ce qui a été frappé par le photon (selon h/mc dans la formule), le
changement de fréquence n’est pas le même. Le noyau étant tellement lourd, il ne reçoit
pratiquement pas d’énergie lors de la collision et la fréquence du photon n’est pratiquement
pas changée quand il frappe le noyau.
En résumé, les calculs de Compton montraient clairement que la lumière était composée
de photons. Une nouvelle preuve s’ajoutait pour supporter l’hypothèse d’Einstein. C’est à
partir de ce moment que l’idée des photons fut acceptée par la communauté scientifique.
L’effet photoélectrique et l’effet Compton montrent deux interactions différentes entre un
photon et un électron. Le photon peut être absorbé par l’électron, comme dans l’effet
photoélectrique, ou il peut simplement faire une collision élastique avec l’électron, comme
dans l’effet Compton.
Les raies spectrales
Au début du 20e siècle, la constante de Planck fit également son apparition dans
l’explication d’un autre phénomène : les raies spectrales.
Commençons par expliquer ce que sont les raies spectrales. Quand on chauffe (disons
3000 K) un gaz peu dense, il se met à émettre de la lumière. Cette lumière est cependant
un peu particulière. Il n’y a que certaines longueurs d’onde très précises qui sont émises.
Quand on fait le spectre de ce gaz, il n’y a que quelques lignes dans le spectre, plutôt qu’un
spectre continu. Ce sont ces lignes qu’on appelle des raies spectrales. Si on fait le spectre
de la lumière qui passe à travers ce même gaz peu dense, mais froid, on obtient cette foisci un spectre d’absorption. Le gaz a absorbé les mêmes longueurs d’onde que celles émises
par le gaz quand il est chaud.
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Luc Tremblay
physicscentral.com/experiment/askaphysicist/physics-answer.cfm?uid=20130604091958
William Wollaston observa le premier des raies spectrales en 1802 lors qu’il découvrit des
raies d’absorption dans le spectre su Soleil. Dès 1814, Joseph Fraunhofer avait catalogué
475 de ces raies d’absorption dans le spectre solaire. On peut voir ces raies d’absorption
dans la figure suivante qui nous montre le spectre du Soleil.
spiff.rit.edu/classes/phys230/lectures/spectrographs/spectrographs.html
En fait, chaque élément a un spectre particulier. Les longueurs d’onde émises par chacun
des éléments (évidemment sous forme de gaz) sont différentes.
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spiff.rit.edu/classes/phys230/lectures/spectrographs/spectrographs.html
Voyez quelques raies spectrales dans ce vidéo.
http://www.youtube.com/watch?v=2ZlhRChr_Bw
Explorez cet applet pour voir le spectre de plusieurs éléments.
http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/spectres/spectres.htm
Les études de spectroscopie devinrent nettement plus poussées avec les travaux de Gustav
Kirchhoff et Robert Bunsen vers 1850. Ces progrès menèrent à la découverte de nombreux
nouveaux éléments. Par exemple, on découvrit en 1868 des raies d’absorption dans le
spectre du Soleil qui ne correspondaient à aucun élément connu. On comprit alors qu’on
avait affaire à un élément auparavant inconnu, qu’on appela hélium (qui vient d’hélios, qui
veut dire Soleil en grec). On identifia ainsi 12 nouveaux éléments (césium, rubidium,
thorium, indium, gallium, scandium, germanium, hélium, néon, argon, krypton et xénon) à
partir de leur spectre.
C’est donc ainsi que l’on connait la composition de Soleil. Les raies d’absorption nous
indiquent tous les éléments présents dans le Soleil. On peut même faire le spectre des
étoiles et ainsi connaitre leur composition chimique malgré la très grande distance qui nous
sépare de ces étoiles.
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Le spectre de l’hydrogène
Voici à quoi ressemble le spectre de l’hydrogène.
astrodave.name
On peut y distinguer 4 raies dans le visible. Les longueurs d’onde de ces raies, mesurées
pour la première fois par Anders Jona Ångström en 1853, sont : 656,3 nm (rouge),
486,1 nm (bleu), 434,1 nm (violet) et 410,2 nm (violet, parfois difficile à voir). Il y a
beaucoup d’autres raies, mais elles sont en dehors du visible.
Au 19e siècle, on parvint à trouver une formule qui donne les longueurs d’onde émises par
l’hydrogène. En commençant avec les travaux de Balmer en 1884 jusqu’aux travaux de
Ritz en 1908 en passant par ceux de Rydberg en 1889, on arriva à la formule suivante,
appelée la formule de Balmer.
1 
 1
 RH  2  2 
m 

n
1
où n et m sont des entiers (n’importe quels entiers qui respectent la condition n < m) et RH
est la constante de Rydberg qui vaut
RH  1, 09737  107 m 1
Par exemple, si m = 3 et n = 2, on obtient 656,1 nm, qui est la raie rouge dans le spectre de
l’hydrogène. Cette formule n’est pas basée sur une théorie, c’est uniquement du gossage
de formule pour arriver à une formule qui nous donne les bonnes valeurs des longueurs
d’onde.
Bien sûr, on chercha à expliquer pourquoi les atomes émettent certaines couleurs précises
et pourquoi la formule de Balmer était bonne pour l’hydrogène, mais on n’avait en réalité
aucune chance d’y parvenir au 19e siècle. Pour y arriver, il faut connaitre la structure interne
des atomes et on en était encore à simplement tenter de prouver que les atomes existent.
Ultimement, les valeurs des raies spectrales émises par l’hydrogène vont servir de guide
pour connaitre la structure de l’atome. Mais à cette époque, c’était un peu comme essayer
de faire le plan d’un piano en connaissant uniquement les fréquences des notes qu’il
produit.
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L’atome de Rutherford
Après 1905, il ne reste pratiquement plus de scientifiques qui doutent de l’existence des
atomes. (Un des arguments finaux fut fait par Einstein en 1905 avec sa thèse de doctorat
sur le mouvement brownien. C’est aussi durant cette même année qu’il publia ses articles
sur la relativité et l’effet photoélectrique. Il avait également un fils de 1 an, Hans-Albert.
Pas étonnant qu’on appelle 1905 l’année miraculeuse d’Einstein.)
Toutefois, à cette époque, on a très peu de détails concernant la structure interne de l’atome.
On se doute qu’il y a des électrons (découvert en 1897) dans l’atome, mais on ne sait pas
grand-chose de plus. Après 1906, on commence à se douter que le nombre d’électrons dans
l’atome correspond au numéro atomique de l’élément.
En 1908, Marsden et Geiger font passer des noyaux d’hélium (appelé aussi particule alpha)
à travers une feuille d’or très mince et observent comment dévient ces noyaux. Ils
obtiennent des résultats très différents de ce qui était
attendu. Alors qu’on s’attendait toujours à des déviations
peu importantes, on obtient parfois des déviations très
importantes pouvant aller jusqu’à 180°. C’est Ernest
Rutherford qui trouva, en 1911, une explication aux
résultats de cette expérience : dans l’atome, il y a un noyau
positif très petit (environ 10-14 m) où on retrouve
pratiquement toute la masse de l’atome et il y a des électrons
négatifs autour du noyau. On représente souvent ce modèle
comme sur la figure de droite. (Plusieurs personnes pensent
que cette image représente correctement le modèle
atomique actuel, mais ce n’est pas tout à fait ça.)
simple.wikipedia.org/wiki/Atom
Remarquez que Rutherford n’a jamais dit que les électrons tournaient autour du noyau, un
peu comme les planètes autour du Soleil. Il savait qu’il y avait de graves problèmes avec
un tel modèle. Hantaro Nagaoka avait déjà proposé un tel modèle en 1904, mais on s’est
vite aperçu que les électrons en orbite émettraient alors un rayonnement électromagnétique
(car les charges qui accélèrent émettent un tel rayonnement) qui leur ferait perdre de
l’énergie. Cette perte d’énergie, qui rapproche les électrons du noyau, se fait si vite que les
électrons s’écraseraient sur le noyau en un millionième de seconde ! On peut dire que le
résultat n’est pas un atome très stable. Rutherford savait cela et a évité la question en disant
simplement qu’il y avait des électrons autour du noyau, sans préciser leur mouvement ou
leur position.
Les postulats de Bohr
En 1913, Niels Bohr réussit à obtenir la formule de Balmer en partant de ce qu’avait
découvert Rutherford, c’est-à-dire un noyau positif entouré d’électrons.
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Bohr apprend l’existence de la formule de Balmer au début de 1913. En quelques mois, il
parvint à obtenir cette formule, mais il a dû faire quelques postulats pour y arriver. Les
voici
Postulats de Bohr
1) Les électrons sont sur des orbites circulaires stables autour du noyau.
2) Les orbites stables sont celles où
mvr  n
h
2
où n est un entier appelé nombre quantique (qui correspond au niveau de l’orbite,
comme on le verra plus loin).
3) Quand l’électron change d’orbite, l’énergie de l’électron change. L’énergie perdue
par l’électron est émise sous forme de rayonnement électromagnétique dont la
fréquence est donnée par
E  hf
Le premier postulat est en désaccord avec les lois de l’électromagnétisme puisque selon
cette théorie, un électron en orbite perdrait de l’énergie par rayonnement et s’écraserait sur
le noyau.
On voit également la constante h apparaître dans les deuxième et troisième postulats.
C’était la troisième fois que h était utilisé après le rayonnement des corps chauds et l’effet
photoélectrique.
Le troisième postulat ne signifie pas que Bohr était partisan de l’hypothèse de photons
d’Einstein. Il affirmait qu’il y a du rayonnement d’énergie hf, mais il n’a jamais dit que ce
rayonnement devait être sous forme de photons. Nous allons utiliser les photons ici, même
si Bohr ne l’a pas fait (ils furent incorporés au modèle plus tard).
On peut se demander comment Bohr a bien pu penser à ces postulats. En fait, on va montrer
que ces postulats mènent directement à la formule de Balmer. Bohr, lui, a fait le
raisonnement inverse : il est parti de la formule de Balmer pour ensuite aller déduire quels
postulats on doit faire pour y arriver.
Même si les postulats ne sont pas plausibles ou ne sont pas justifiés, on espère que de
futures découvertes permettront de les prouver ou de les justifier. Bohr n’était pas certain
que ce qu’il avait fait était bon puisque les postulats ne reposaient sur absolument rien
d’autre que le fait qu’ils permettaient d’arriver à la formule de Balmer. Il demandait
d’ailleurs à tous les physiciens qu’il rencontrait en 1913 et 1914 s’ils croyaient en sa
théorie. Il y avait beaucoup de réactions et plusieurs émettaient des réserves, mais on voyait
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bien que les idées de Bohr prédisaient correctement les longueurs d’onde émise par
l’hydrogène et qu’il y avait surement quelque chose d’important dans cette théorie. Après
les travaux de Bohr, peu doutaient que l’hydrogène était bel et bien formé d’un noyau et
d’un électron.
Examinons maintenant comment ces postulats nous amènent à la formule des longueurs
d’onde émises par l’hydrogène.
La force et l’énergie électrique
Toute la preuve commence avec la force électrique, car c’est cette force qui garde l’électron
avec le noyau atomique.
La grandeur de la force électrique entre deux charges est
F
k q1q2
r²
À partir de cette force, on peut trouver l’énergie (potentielle) électrique de deux charges.
U
kq1q2
r
Dans ces formules, q1 et q2 sont les charges électriques (mesurées en coulomb), r est la
distance entre les charges et k est une constante dont la valeur est très près de
k  9  109
Nm ²
C²
On va faire ici le cas d’un atome avec un seul
électron. Le noyau pourra cependant compter
plusieurs protons (on dira qu’il y a Z protons
dans le noyau). Si Z = 1, c’est un atome
d’hydrogène. Si Z = 2, c’est un atome d’hélium
ionisé une fois (He+). Si Z = 3, c’est un atome de
lithium ionisé deux fois (Li2+) et ainsi de suite.
La valeur absolue de la charge électrique de
l’électron et du proton est e = 1,602 10-19 C
(l’électron a une charge de –e et le proton une
charge de +e). Les charges électriques sont donc
q1  e (électron)
q2  Ze (noyau)
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La force et l’énergie dans l’atome à un seul électron sont donc
F
k  Ze  e 
k  Ze  e 
r
kZe 2
U 
r
U
r²
kZe 2
F
r²
Le rayon des orbites
Si l’électron fait un mouvement circulaire, c’est qu’une force centripète agit sur l’électron.
Comme la seule force qui agit sur l’électron est la force électrique, cette dernière doit être
la force centripète. On a donc (on note la masse de l’électron me )
me v 2 kZe2
 2
r
r
kZe2
me v 2 
r
Mais le deuxième postulat nous dit que
me rv  n
h
2
On va utiliser la notation suivante pour alléger un peu les équations.

h
2
On a alors
me rv  n
v
n
rme
Si on remplace dans l’équation de la force centripète, on a
kZe 2
me v 
r
2
2
 n 
kZe 2
me 


r
 me r 
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On peut simplifier pour obtenir
n2 2
r
me kZe2
Il y a dans cette formule, une multitude de constantes. On peut donc définir le rayon de
Bohr avec la formule suivante.
Rayon de Bohr (a0 )
a0 
2
 0, 05292nm
me ke2
Les rayons des orbites sont donc
Rayon des orbites dans le modèle atomique de Bohr
n2
n2
rn  a0  0, 05292nm
Z
Z
On a ajouté un indice à r pour indiquer la valeur de n. Ainsi, r2 est la valeur de r quand n
vaut 2.
La vitesse de l’électron sur une orbite
On peut alors trouver la vitesse avec la formule suivante.
me rv  n
v
n
rme
En utilisant la formule du rayon trouvée précédemment, on a
vn 
n me kZe 2
me n 2 2
vn 
kZe 2
n
La vitesse de l’électron par rapport à celle de la lumière est
vn kZe 2

c
nc
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Trouvons leur valeur de cette vitesse pour le niveau n = 1 de l’hydrogène.
v ke 2
1


c c 137, 04
Cette valeur de 1/137,04 qui n’a pas d’unité, porte le nom de constante de structure fine et
elle est notée .
La vitesse de l’électron dans l’atome de Bohr est donc
Vitesse de l’électron dans le modèle atomique de Bohr
vn 
Z
c

n 137,04
L’énergie de l’électron sur une orbite
L’énergie mécanique de l’électron sur son orbite est
E  Ek  U
kZe2
1
2
E  mev 
r
2
Or, l’équation de la force centripète
me v 2 
kZe2
r
nous permet d’écrire l’énergie cinétique sous la forme suivante.
1
kZe2
me v 2 
2
2r
(Notez qu’on a pris la formule non relativiste de l’énergie cinétique puisqu’on sait, par le
calcul de la vitesse à la section précédente, que la vitesse de l’électron sur l’orbite, bien
que grande, est 137 fois plus petite que la vitesse de la lumière.)
On a donc
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E  Ek  U
kZe 2 kZe 2

r
2r
2
kZe

2r

Si on utilise maintenant la formule du rayon de l’orbite, on a
E
kZe 2
2r
me kZe 2
2n 2  2
m k 2 Z 2e4
 e 2 2
2n 
 kZe 2
Encore une fois, on peut simplifier en calculant la valeur de toutes ces constantes (qui est
la valeur du premier niveau de l’hydrogène).
Énergie du premier niveau de l’hydrogène
EH 1  
me k 2 e 4
 13, 605692eV
2 2
Les énergies des différents niveaux atomiques sont donc
Énergie des niveaux dans le modèle atomique de Bohr
En 
Z2
Z2
E


13, 61eV
H1
n2
n2
Les énergies des premiers niveaux (c’est-à-dire des orbites) de l’hydrogène sont donc
13, 61eV
 13, 61eV
1
13, 61eV
 3, 40eV
EH 2  
4
13, 61eV
 1,51eV
EH 3  
9
13, 61eV
 0,85eV
EH 4  
16
EH 1  
On peut représenter ces énergies par le diagramme suivant.
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www.ac-grenoble.fr/loubet.valence/userfiles/file/Disciplines/Sciences/SPC/1S/Cours/smartphone/co/emission_lumiere.html
Dans ce diagramme, il n’y a qu’un seul axe qui est l’axe vertical utilisé pour l’énergie.
On peut remarquer que l’énergie des niveaux augmente (de moins en moins négatif) à
mesure que n augmente.
L’énergie des niveaux est négative puisque l’électron est lié au noyau. Comme l’énergie
électrique U est nulle loin du noyau, l’électron ne peut pas quitter le noyau, car il ne peut
être aux endroits où l’énergie U est plus grande que l’énergie mécanique.
Ainsi, pour arracher un électron de l’atome, on doit lui fournir de l’énergie. L’énergie
minimale de l’électron loin du noyau est 0 (énergie cinétique nulle et U = 0 loin du noyau).
Si l’énergie de l’électron sur son orbite est de -13,61 eV, on doit donc lui fournir au moins
13,61 eV pour que son énergie soit au moins 0. Ainsi, les valeurs absolues des énergies
calculées correspondent aux énergies nécessaires pour arracher l’électron de l’atome.
La formule de Balmer
On peut maintenant voir comment arriver à la formule de Balmer. Au départ, l’énergie de
l’électron sur son orbite de départ Ei . Après le changement d’orbite, l’énergie de l’électron
est Ef . Selon le principe de conservation de l’énergie, on a
E  E
Ei  E f  E photon
E photon  Ei  E f
Si on utilise les valeurs de l’énergie de l’électron, on a
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E photon  Ei  E f
E photon  
hf 
13, 605692eV
13, 605692eV

2
ni
n 2f
13, 605692eV 13, 605692eV

n 2f
ni2
 1
1 
 13, 605692eV  2  2 
n


 f ni 
hc
1


13, 605692eV
hc
 1 1 
 2  2 
 n f ni 
13, 605692eV  1 1 
  
 1239,84eV  nm  n 2f ni2 
 1
1
1 
 0, 0109737 nm 1  2  2 
n


 f ni 
 1 1 
1
 1, 09737 107 m1  2  2 
n


 f ni 
1

Ce qui est bien la formule de Balmer ! On comprend maintenant que les fameux entiers de
la formule de Balmer sont les niveaux atomiques de l’électron avant et après la transition
et qu’on doit avoir ni > nf pour qu’il y ait de l’énergie libérée. (Si l’électron monte de
niveau, on doit lui fournir de l’énergie.)
Le spectre d’émission de l’hydrogène
On peut maintenant voir comment l’hydrogène produit un spectre selon Bohr. À basse
température, tous les électrons sont au niveau n = 1 dans leur atome. Impossible alors
d’émettre des photons, car les électrons ne peuvent descendre de niveau. Cependant, si on
chauffe le gaz, cette situation va changer. À mesure que la température augmente, la vitesse
des atomes augmente et les collisions entre les atomes sont de plus en plus violentes. À
partir d’une certaine température (aux environs de 3000 K), l’énergie des atomes lors des
collisions devient assez grande pour parfois provoquer une augmentation de niveau de
l’électron. Quand l’électron redescendra de niveau par la suite, il y aura un photon qui sera
produit. Le gaz devient lumineux et émet son spectre caractéristique.
Le niveau n = 1 est appelé le niveau fondamental. Les autres niveaux ne sont accessibles
que si une source d’énergie permet à l’électron d’acquérir exactement l’énergie pour
atteindre ces niveaux. Quand l’électron n’est pas au niveau fondamental, on dit que l’atome
est excité. Le niveau n = 2 est le premier niveau excité, le n = 3 est le deuxième niveau
excité et ainsi de suite.
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Pour l’hydrogène, ces transitions ont des
noms spécifiques. Toutes les transitions qui
se terminent au niveau n = 1 font partie de la
série de Lyman. Toutes les transitions qui se
terminent au niveau n = 2 font partie de la
série de Balmer. Toutes les transitions qui se
terminent au niveau n = 3 font partie de la
série de Paschen.
astro.unl.edu/naap/hydrogen/transitions.html
Exemple 11.5.1
Un électron passe du niveau n = 4 au niveau n = 2. Quelle est la longueur d’onde du photon
émis ?
L’énergie du photon est (en utilisant les énergies des niveaux calculées
précédemment)
E photon  E4  E2
 0,85eV  3, 40eV
 2,55eV
La longueur d’onde du photon est donc
E
hc

hc
E

1240eV  nm
2,55eV
  486nm

Ceci correspond à la raie spectrale bleue du spectre de l’hydrogène. (Toutes les raies
spectrales visibles de l’hydrogène font partie de la série de Balmer.)
Version 2016b
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Exemple 11.5.2
Dans l’atome d’hélium ionisé une fois (He+)…
a) quelle est l’énergie d’ionisation si l’électron est au niveau fondamental ?
L’énergie de l’électron au premier niveau est
Z2
13,61eV
n2
22
E1   2 13,61eV
1
 54, 44eV
En  
On doit donc fournir 54,44 eV pour arracher cet électron.
b) quel est le rayon de l’orbite au niveau fondamental ?
Le rayon de l’orbite au premier niveau est
n2
0,05292nm
Z
12
r1  0,05292nm
2
 0,02646nm
rn 
c) quelle est la vitesse de l’électron au premier niveau ?
La vitesse est
Z
c

n 137,04
2
c
v1  
1 137,04
vn 
 4,378  106 ms
d) quelle est la longueur d’onde du photon quand l’électron passe de troisième au
deuxième niveau ?
On trouve la longueur d’onde avec
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
hc
E
où E est l’énergie du photon, qui correspond au changement d’énergie de l’électron.
On doit donc premièrement trouver la variation d’énergie de l’électron.
L’énergie du troisième niveau est
22
13,61eV
32
 6,05eV
E3  
L’énergie du deuxième niveau est
22
13,61eV
22
 13,61eV
E2  
L’énergie du photon est donc
E photon  E3  E2
 6, 05eV  13, 61eV
 7,56eV
Ainsi, la longueur d’onde du photon est

hc 1240eV  nm

 164nm
7,56eV
E
Le spectre d’absorption de l’hydrogène
Quand de la lumière blanche traverse le gaz froid, les photons qui ont exactement la bonne
énergie pourront être absorbés par l’atome. Ces photons doivent avoir une énergie qui
correspond à la différence d’énergie entre deux niveaux. Par exemple, dans l’hydrogène, il
y a 10,17 eV entre le premier niveau et le deuxième niveau. Si un photon a exactement
cette énergie, il pourra être absorbé par l’électron et il fera passer ce dernier du premier
niveau au deuxième niveau. Comme les photons ayant cette énergie sont absorbés, ils
disparaissent du spectre, ce qui crée les raies d’absorption. Toutes ces raies sont exactement
à la même place que les raies d’émission dans le spectre puisque les énergies des photons
absorbées sont les mêmes que les énergies des photons émis dans le spectre d’émission.
Dans les deux cas, les énergies sont égales aux différences d’énergie entre les niveaux.
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L’électron qui est monté de niveau à cause de l’absorption d’un photon va finir par
redescendre de niveau en émettant un photon. Toutefois, cette lumière sera réémise dans
n’importe quelle direction. Il a donc peu de chance que le photon soit émis dans la même
direction que la direction de la lumière qui traverse le gaz. La lumière qui traverse le gaz
sera donc beaucoup moins intense aux longueurs d’onde absorbée, ce qui donnera le
spectre d’absorption. Dans les autres directions, on va capter uniquement la lumière
réémise par les électrons
qui redescendent de
niveaux. On verra alors
un spectre d’émission.
www.ualberta.ca/~pogosyan/teaching/ASTRO_122/lect6/lecture6.html
C’est ce que le vidéo suivant vous montre.
http://www.youtube.com/watch?v=myjIsdmdtlI
Les débuts de la physique quantique montraient que la lumière agit parfois comme une
particule d’énergie hf. Pouvait-on réconcilier cette idée avec toutes ces expériences et ces
théories faites au 19e siècle et qui montraient que la lumière était une onde ? On peut
résumer ainsi la situation en 1923.
Les éléments suivants montrent que la lumière est une onde :
Interférence
Diffraction
Équations de Maxwell
Polarisation
Les éléments suivants montrent que la lumière est une particule :
Effet Compton
Il y a un sérieux problème puisqu’il est absolument impossible d’expliquer l’interférence,
la diffraction et la polarisation avec une théorie corpusculaire et il est absolument
impossible d’expliquer l’effet photoélectrique et l’effet Compton avec une théorie
ondulatoire.
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En 1909, Einstein, alors seul partisan des photons, justifia ses idées en disant que la
prochaine phase consistera à trouver un nouveau modèle plus complexe. Avec ce nouveau
modèle, on pourrait voir que, dans certaines situations, la lumière semble agir comme une
onde et que, dans certaines autres situations, la lumière semble agir comme une particule.
On ne trouva toutefois jamais ce modèle qui pourrait combiner ces deux aspects.
En fait, la situation était sur le point de se compliquer encore plus. Ce problème ne se
limitait pas uniquement à la lumière…
Longueur d’onde du pic d’émission (Loi de Wien)
 pic 
2,898 103 mK
T
Puissance rayonnée par un corps chaud (loi de Stephan-Boltzmann)
P   A T 4  T04 
Quanta d’énergie pour un atome en oscillation
E  hf
Constante de Planck
h  6, 626 1034 J  s
Énergie émise par un atome en oscillation
E  nhf
Hypothèse des photons d’Einstein
La lumière est composée de particules (les photons) dont l’énergie est
E  hf 
1240eV  nm

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Fréquence seuil pour l’effet photoélectrique
f min 

h
Effet Compton
h
1  cos  
mc
  0, 0024263nm 1  cos  
 
Équations de conservation pour l’effet Compton
Conservation de l'énergie
Conservation de la quantité de mouvement en x
Conservation de la quantité de mouvement en y
E  E  Ek e
p  p cos   pe cos 
0  p sin   pe sin 
Postulats de Bohr
1) Les électrons sont sur des orbites circulaires stables autour du noyau.
2) Les orbites stables sont celles où
mvr  n
h
2
où n est un entier appelé nombre quantique (qui correspond au niveau de l’orbite,
comme on le verra plus loin).
3) Quand l’électron change d’orbite, l’énergie de l’électron change. L’énergie perdue
par l’électron est émise sous forme de rayonnement électromagnétique dont la
fréquence est donnée par
E  hf
Rayon de Bohr (a0 )
a0 
2
 0, 05292nm
mke2
Rayon des orbites dans le modèle atomique de Bohr
rn 
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n2
n2
a0  0, 05292nm
Z
Z
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Vitesse de l’électron dans le modèle atomique de Bohr
vn 
Z
c

n 137,04
Énergie du premier niveau de l’hydrogène
EH 1  
mk 2 e 4
 13, 605692eV
2 2
Énergie des niveaux dans le modèle atomique de Bohr
En  
Z2
Z2
13, 61eV
E


H1
n2
n2
me = 9,11 x 10-31 kg
1 eV = 1,602 x 10-19 J
11.1 Le rayonnement émis par les corps chauds
1. Un objet a une température de 3000 °C. Quelle est la longueur d’onde du pic
d’émission de cet objet ?
2. Le pic d’émission du Soleil a une longueur d’onde de 502 nm. Quelle est la
température de surface du Soleil ?
3. L’étoile Polaire a un rayon de 32 000 000 km et une température de surface de
6015 K. Quelle est la puissance du rayonnement émis par cette étoile ?
4. Vous vous retrouvez tout nu dehors. Votre corps a une surface de 1,8 m² et une
température de surface de 37 °C. Quelle est la puissance émise par votre corps si la
température de l’air est de…
a) 20 °C
b) -30 °C
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5. La puissance du rayonnement émis par une ampoule est de 60 W. Cette lumière
provient d’un filament chaud cylindrique ayant une longueur de 10 cm et un
diamètre de 1 mm. Quelle est la température du filament (en °C) quand la lampe
est allumée ? (Le milieu ambiant est à 20 °C.)
11.2 L’hypothèse des photons d’Einstein
6. Quelle est l’énergie des photons de la lumière verte ayant une longueur d’onde de
550 nm ?
7. Un laser émet de la lumière rouge ayant une longueur d’onde de 632 nm et a une
puissance de 1 mW. Combien de photons par seconde sont émis par le laser ?
8. De la lumière jaune ( = 585 nm) ayant une intensité de 50 W/m² arrive sur un mur
ayant une surface de 3 m². Combien de photons arrivent sur le mur en 20 secondes ?
9. De la lumière bleue ( = 470 nm) ayant une intensité de 200 W/m² pénètre dans un
œil. Combien de photons entrent dans l’œil par seconde si la pupille a un diamètre
de 5 mm ?
11.3 L’effet photoélectrique
10. On éclaire du mercure avec de la lumière ultraviolette ayant une longueur d’onde
de 150 nm. Quelle est l’énergie maximale des électrons éjectés du métal (en eV) si
le travail d’extraction du mercure est de 4,5 eV ?
11. La longueur d’onde seuil du césium est de 686 nm. Quelle est l’énergie maximale
des électrons éjectés du métal si on l’éclaire avec une lumière ayant une longueur
d’onde de…
a) 690 nm ?
b) 450 nm ?
12. Le travail d’extraction d’un métal est de 3,2 eV.
a) Quelle est la longueur d’onde seuil de ce métal ?
b) Quelle est la vitesse maximale des électrons éjectés si on l’éclaire avec une
lumière ultraviolette ayant une longueur d’onde de 250 nm ?
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13. Des électrons ayant une vitesse maximale de 500 000 m/s sont éjectés d’un métal
quand on l’éclaire avec de la lumière ayant une longueur d’onde de 400 nm. Quelle
est la longueur d’onde seuil de ce métal ?
14. De la lumière ayant une longueur d’onde de 450 nm et une intensité de 40 W/m²
arrive sur un métal. Combien d’électrons sont éjectés par seconde et par centimètre
carré de surface si seulement 3 % des photons qui arrivent sur le métal éjectent un
électron ?
11.4 L’effet Compton
15. Des photons ayant une énergie de 62 keV sont diffusés par des électrons.
a) Quel est le changement de longueurs d’onde des photons diffusé à un angle de
45° ?
b) Quelle est la longueur d’onde des photons diffusés à 45° ?
c) Quelle est l’énergie (en keV) des photons diffusés à 45° ?
d) Quelle est l’énergie cinétique des électrons après qu’ils aient provoqué la
diffusion des photons avec un angle de 45° ?
e) À quel angle sont projetés les électrons après qu’ils aient provoqué la diffusion
des photons avec un angle de 45° (Angle sur la figure) ?
16. Un photon ayant une énergie initiale de 50 keV est diffusé par effet Compton par
des électrons. Après la diffusion, l’énergie du photon est de 49,5 keV. À quel angle
ce photon a-t-il été diffusé ?
11.5 Le modèle atomique de Bohr
17. Dans l’atome de lithium ionisé deux fois (Li++), calculez, selon le modèle de
Bohr,…
a) le rayon de l’orbite au deuxième niveau.
b) l’énergie du niveau fondamental (n = 1).
c) l’énergie d’ionisation.
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18. Quelles sont la vitesse et l’accélération de l’électron quand il est au premier niveau
excité (n = 2) de l’atome de lithium ionisé deux fois (Li++)?
19. Un électron passe du niveau n = 5 au niveau n = 3 dans l’atome d’hydrogène. Quelle
est la longueur d’onde du photon émis ?
20. On bombarde des atomes d’hydrogène avec des photons pour faire monter les
électrons de niveaux. Quel doit-être la longueur d’onde de la lumière pour que les
électrons montent du niveau n = 1 au niveau n = 6 ?
21. On bombarde des atomes d’hydrogène avec des photons ayant une énergie de
12 eV. Sur quel niveau montent les électrons si tous les électrons étaient
initialement au niveau fondamental dans leur atome ?
22. De la lumière ayant une longueur d’onde de 250 nm est absorbée par un atome. En
absorbant le photon, l’électron passe du niveau fondamental à un niveau d’énergie
supérieur. Toutefois, l’électron redescend en deux étapes en allant premièrement à
un niveau d’énergie intermédiaire, puis en allant ensuite au niveau fondamental.
Lors de la première transition, la longueur d’onde de la lumière émise est de
800 nm. Quelle sera la longueur d’onde de la lumière émise lors de la deuxième
transition ?
23. Quel est le rapport entre l’énergie cinétique et l’énergie mécanique
Ek
E
pour un électron en orbite autour du noyau dans l’atome de Bohr (pour n’importe
quelle valeur de n et Z) ?
11.1 Le rayonnement émis par les corps chauds
1. 885 nm
2. 5773 K
3. 9,55 x 1029 W
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4. a) 190,4 W
5. 1082 °C
b) 586,7 W
11.2 L’hypothèse des photons d’Einstein
6.
7.
8.
9.
2,25 eV
3,182 x 1015
8,835 x 1021
9,291 x 1015
11.3 L’effet photoélectrique
10. 3,767 eV
11. a) pas d’électrons éjectés b) 0,948 eV
12. a) 387,5 nm b) 7,868 x 105 m/s
13. 519 nm
14. 2,718 x 1014
11.4 L’effet Compton
15. a) 0,0007106 nm
b) 0,0207106 nm
c) 59,873 keV
d) 2127 eV
e) 65,1°
16. 26,3°
11.5 Le modèle atomique de Bohr
17. a) 0,07056 nm b) -122,49 eV c) 122,49 eV
18. v = 3,284 x 106 m/s a = 1,528 x 1023 m/s²
19. 1281 nm
20. 93,71 nm
21. L’électron ne peut pas monter de niveau.
22. 363,6 nm
23. -1
Version 2016b

De la lumière ayant une longueur d`onde de 310 nm arrive sur du

Transcription

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