I N S A de RENNES Année universitaire 2007/2008 DEVOIR

I N S A de RENNES
Année universitaire 2007/2008
DEVOIR SURVEILLE MECANIQUE QUANTIQUE
3ème ANNEE MNT
( 3 pages)
3ème année département MNT
Date du D.S. : mardi 04 décembre 2007
Durée : 2 h
Document autorisé : Tous documents autorisés
Calculatrices autorisées : Casio FX 82 ou FX 92, Texas TI-30 ou TI-40 collège ou tout modèle d’une de
ces deux marques de numéro inférieur ou égal à ceux indiqués.
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=> Le barème est indiqué à titre indicatif et est susceptible d'
être modifié
Obligations : • Présenter votre copie avec clarté et concision.
• La numérotation des pages de votre copie est indispensable.
• Les notations utilisées dans les énoncés doivent être respectées.
• Lorsqu'
une question demande un développement littéral suivi d'
un calcul numérique, mener le
premier le plus loin possible.
• Les différentes étapes nécessaires à l'
obtention d'
un résultat numérique devront apparaître sur
votre copie.
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Formulaire à la fin
ENCADRER VOS RESULTATS !!
LES 3 EXERCICES SONT ENTIEREMENT INDEPENDANTS
EXERCICE N° 1 (4 points) : Questions de Cours (donner des réponses brèves)
1/ Qu’entend-t-on par « dualité onde-corpuscule » ? Quelles conséquences a cette dualité sur une
onde électromagnétique ? Sur un électron ? Quelles expériences ont été mises en œuvre pour
montrer cette dualité ?
2/ Qu’est-ce qu’une observable ?
3/ Qu’est-ce qu’un opérateur Hermitique ?
4/ Qu’est-ce qu’un ECOC, et quel est son intérêt ?
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EXERCICE N° 2 (8 points) : Etude des propriétés d’un opérateur, et changement de base.
Dans un espace vectoriel à deux dimensions, on considère l’opérateur dont la matrice dans une base
orthonormée {1 , 2 } , s’écrit :
Jˆ x
=
0 1
2 1 0
1/ Calculer le conjugué de la matrice transposée de Ĵ x et en déduire la matrice adjointe de Ĵ x .
Montrer que Ĵ x est hermitique.
2/ Déterminer les valeurs propres
1 et
2 de Ĵ x . L’opérateur Ĵ x est-il une observable ?
Déterminer les vecteurs propres (normés) {σ 1 , σ 2 } de Ĵ x dans la base {1 , 2 } .
3/ Calculer les opérateurs de projection (« projecteurs ») σˆ1 = σ 1 σ 1 et σˆ 2 = σ 2 σ 2
4/ Vérifier que {σ 1 , σ 2 } forme une base orthonormée, en utilisant la relation de fermeture.
5/ Donner la matrice Û de changement de base entre la base {1 , 2 } et la base {σ 1 , σ 2 }
6/ Calculer le produit Uˆ .Jˆ x .Uˆ −1 . Commenter le résultat trouvé.
EXERCICE N° 3 (8 points) : Niveaux d’énergie dans des fils quantiques
Les fils quantiques sont des nanostructures de faible dimension (quelques nanomètres), dont la forme est
allongée dans une direction de l’espace, et dans lesquels les électrons sont soumis à un confinement quantique.
Le fil quantique considéré ici a une forme parallélépipédique, avec une section carrée dans le plan (x,y), de
largeur a = b = 6 nm, et de hauteur c = 20 nm suivant la direction z. Pour réaliser ces nanostructures, une
association de 2 semi-conducteurs sont généralement utilisés, avec 1 matériau qui constitue le fil, et l’autre qui
constitue l’extérieur du fil, chacun ayant un potentiel différent. On va considérer dans cet exercice des fils
d’InAs dans du GaP. La différence entre les potentiels réels dans ces deux semi-conducteurs étant très grande,
on va donc considérer ici le potentiel comme étant nul dans le fil quantique (V=0), et infini à l’extérieur
(V=+ ).
Données :
= 1,055.10-34 J.s ; me = 9,109.10-31 kg ; e = 1,609.10-19 C ;
1) Dessiner de manière schématique le fil quantique si le fil est borné par 0<x<a, 0<y<b et
0<z<c. Ecrire les équations de Schrödinger à 3D en coordonnées cartésiennes à l’intérieur du
fil. Montrer que l’Hamiltonien s’écrit ici : Hˆ = Hˆ x + Hˆ y + Hˆ z , et que Ĥ x , Ĥ y , Ĥ z
commutent avec Ĥ et entre eux. Ecrire les équations de Schrödinger à 1 dimension pour les
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trois directions de l’espace pour un électron dans ce fil quantique. On supposera qu’il existe
des fonctions d’onde x(x), y(y) et z(z) telles que la fonction d’onde totale puisse s’écrire
(x, y, z) = x(x). y(y). z(z).
2) Résoudre les équations de Schrödinger 1 D, en se servant de conditions aux limites que vous
justifierez. En déduire l’expression générale des niveaux d’énergie en fonction de nx, ny et nz,
nombres entiers (nombres quantiques), et de a, b et c. Donner une expression générale de la
fonction d’onde à 3D. Après avoir justifié pourquoi on doit normaliser les fonctions d’onde,
effectuer le calcul de normalisation, et donner l’expression finale de la fonction d’onde à 3D.
Dans ce système, l’état fondamental est l’état de plus basse énergie pour lequel la fonction
d’onde n’est pas nulle. Quel est ici l’état fondamental du système ?
3) Dans notre cas précis où a = b = 6 nm et c = 20 nm, Donner les expressions littérales et
numériques des niveaux d’énergie Enx, ny, nz correspondant aux triplets (nx, ny, nz) suivants :
(1,1,2), (1,2,1), et (2,1,1). Les applications numériques seront données en eV. Comparer ce
résultats avec le cas où a = b = c. D’où vient la levée de dégénérescence ?
Donner finalement les trois premiers niveaux d’énergie E1, E2 et E3 et les nombres quantiques
associés
{}{
}{
}{
4) A partir des résultats de la question précédente, les ensembles Ĥ , Hˆ , Hˆ x , Hˆ , Hˆ y , Hˆ , Hˆ z
}
sont-ils des ECOCS ?
5) les niveaux d’énergie E1, E2 et E3 sont associés respectivement aux états orthogonaux
déterminés dans la question 2/ : 1 , 2 et 3 .
A l’instant t = 0, le système est dans l’état ψ =
1
(1 + 2 + 3 ).
3
(a) Donner la probabilité d’avoir à l’instant t = 0 le système dans l’état fondamental Ψ = 1 .
(b) Donner à l’instant t = 0, la probabilité d’avoir le système dans l’état Ψ =
1
( 2 + 3 ).
2
(c) Donner à l’instant t l’expression générale de la fonction d’onde, ainsi que de la densité de
probabilité. Le calcul n’a pas à être poussé jusqu’au bout. Se contenter de donner la forme
générale.
6) Pour injecter un électron dans le fil quantique, à partir d’un autre fil quantique, on utilise un
matériau de potentiel plus faible que GaP mais très supérieur à InAs, qu’on insère entre les deux
fils quantiques. Expliquer comment (par quel effet ?) l’électron peut passer d’un fil quantique à
l’autre. Sur quels paramètres peut-on jouer pour faciliter le transfert de l’électron d’un fil à
l’autre ?
Quelles applications utilisent cet effet ?
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