corrigé brevet blanc mai 2010

BREVET BLANC: 04/05/2010
MATHEMATIQUES
Remarques :
Tous les exercices sont issus de sujets de brevets de l’année derniére !
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points
Exercice 1
1. réponse C : 6− 4(x −2) = 6 – 4x −8
= -2 – 4x
2. réponse C : 4x² −12x +9 = (2 x)² - 2 x 2 x x 3 + (3)²
= (2x−3)²
3. réponse A : Pour x = −2, l’expression 5x2 + 2x −3 = 5 x ( -2)2 + 2 x (-2) −3
= 5 x 4- 4 – 3
= 20 – 7
= 13
4. réponse C : (3x +7)(3x −7) = (3x)² - (7)²
= 9x² - 49
5. réponse B : 75 − 48 = 3 x 25 – 3 x 16
= 3 x (5)²- 3 x (4)²
= 3 x (5)²- 3x (4)²
=5 3 -4 3
= 3
Exercice 2
1
Soit A = [(a +b)² – (a – b)²].
4
a = 1 et b = 5.
a = − 2 et b = − 3.
1
1
1
1
= [(1 +5 )² – (1 – 5 )²]
= [(-2 -3 )² – (-2 +3 )²]
[(a +b)² – (a – b)²] = [(a² + 2ab + b²) – (a² - 2ab + b²)]
4
4
4
4
1
1
1
= [(6 )² – ( – 4 )²]
= [(-5 )² – ( 1 )²]
= [a² + 2ab +b² – a² + 2ab - b²]
4
4
4
1
1
1
1
1
= [36 – 16] = [20] = 5 = [25– 1] = [24] = 6
= [4ab ] = ab Alex a raison
4
4
4
4
4
Exercice 3
P( « le nombre à deux chiffres obtenu est pair ») =
nombre d’issues favorables 21 3
= = ≈ 0,43
nombre d’issues possibles 49 7
P( « le nombre à deux chiffres obtenu est multiple
7 1
de 5 ») = = ≈ 0,14
49 7
P( « le nombre est formé de deux chiffres
42 6
distincts ») = = ≈ 0,86
49 7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
11 21
12 22
13 23
14 24
15 25
16 26
17 27
3
31
32
33
34
35
36
37
4
41
42
43
44
45
46
47
5
51
52
53
54
55
56
57
6
61
62
63
64
65
66
67
1
7
71
72
73
74
75
76
77
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points
Exercice 4
1. Dans le triangle JKL,
JK² = 6² = 36
JL² + KL² = 3,6² + 4,8² = 36
On a JK² = JL² + KL², alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
JKL est rectangle en L.
2. IJM est inscrit dans le cercle ( C ). [IJ ] est un diamétre de ( C ) .
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamétre de ce cercle alors il est
rectangle. Le diamétre est son hypoténuse.
Alors IJM est un triangle rectangle en M.
3. D’après les questions précèdentes, on sait que (IM) et (JM) sont perpendiculaires, de même
pour ( LM) et (LK).
Or quand deux droites sont perpendiculaires à une même 3éme alors elles sont paralléles entre
elles.
On en déduit que (IM) et (LK) sont paralléles.
Les droites (KI) et (LM) sont sécantes en J.
Les points K,J,I ainsi que L, J, M sont alignés et dans le même ordre.
Les droites ( IM) et ( KL) sont paralléles
JK JL LK
=
=
JI JM IM
Avec JK = 6 cm ; JI = 9 cm et JL = 3,6 cm
JI x JL 9 x 3,6
JM =
=
= 5,4
JK
6
Conclusion : JM = 5,4cm
Alors d’après le théoréme de Thalés :
Exercice 5
Le polygone FIGURE est un
hexagone
2
Exercice 6
1.
Les points R,E , D sont alignés dans cet ordre.
Les points R, C , U sont alignés dans cet ordre
3
3
6 2
RE
=
=
= =
RD
3 + 1,5 4,5 9 3
RC 2
=
RU 3
RE RC
=
donc d’après la réciproque du théorème de Thalés, les droites ( EC) et (DU)
RD RU
sont paralléles.
On a
RU 3
= dont le rapport d’agrandissement permettant de passer du triangle REC au triangle
RC 2
3
RDU est k = = 1,5.
2
3. Lorsque les longueurs sont multipliées par un facteur k , les aires sont multipliées par k².
k² = 1,5² =2,25
L’aire du triangle RDU est égale à 2,25 fois l’aire du triangle REC.
2.
PROBLEME 12 points
Partie 1
Dans cette partie, la hauteur SO est égale à 12 cm.
1.a) VABCDEFGH = EF x FG x CG
VABCDEFGH = 10 x 10,5 x 14
VABCDEFGH = 1470 cm3
1
x aire de la base x hauteur
3
1
VSABCD= x AB x BC x SO
3
1
VSABCD= x 10 x 10,5 x 12
3
VSABCD
= 420 cm3
1. b)
VSABCD =
1. c)
VLANTERNE = VSABCD + VABCDEFGH
VLANTERNE = 420 + 1470
VLANTERNE = 1890 cm3
2. [OH]est la hauteur de la pyramide donc SOC est un triangle rectangle.
OC
tana
OSC =
SO
7,25
tan a
OSC =
12
a
OSC = 31,1° à 0,1° près
3
Partie 2
Dans cette partie, on désigne par x la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD.
1. Montrer que le volume en cm3 de la lanterne est donné par :V (x) = 1470 + 35x
1
VSABCD = x aire de la base x hauteur
3
1
VSABCD= x AB x BC x SO
3
1
VSABCD= x 10 x 10,5 x x
3
VSABCD
= 35 x cm3
Rappel : VLANTERNE = VSABCD + VABCDEFGH avec VABCDEFGH = 1470 cm3
V (x) = 1470 + 35x
2. formule à écrire : =1470+35*A2
1862 – 1470
= 11,2
35
le volume de la lanterne est de 1 862 cm3 pour soit x = 11,2 cm
3. 1862 = 1470 + 35x soit x =
Partie 3
3. L’aire de la surface vitrée est de 910cm² soit 0,091 m² .
0,091 x 90 = 8,19
Il envisagé pour réaliser une lanterne dont la hauteur est de 10 cm un budget de 8,19€
f(11) = 930
Pour une hauteur de
11cm, l’aire de la surface
vitrée est de 930cm²
f(6,5) = 850cm² pour une
surface vitrée de 850cm²,
la hauteur de la pyramide
est de 6,5 cm
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
V(x)
1510
1545
1580
1615
1650
1685
1720
1755
1790
1825
1860
1895
1930
1965
2000
4