Feuille d`exercises 7: Analyse vectorielle

Université Lille I
M2.SMI
Année 2013-2014
Outils mathématiques pour la mécanique
Feuille d’exercises 7: Analyse vectorielle
Exercise 1. Notons le produit scalaire standard de R3 sous la forme ( · · ), c.a.d. étant données
deux vecteurs a, b ∈ R3 , nous notons (a b) le produit scalaire évalué en a et b; nous rappelons
que nous désignons le produit vectoriel des deux vecteurs a et b de R3p
par a ∧ b.
Ci-dessous, x, y, z sont les coordonnées cartésiennes ordinaires et r = x2 + y 2 + z 2 ; en plus,
f et h sont des fonctions dans un ouvert de R3 et ϕ est une fonction dans un ouvert de R3 qui
ne dépend que de r; enfin, u, v et w désignent des champs de vecteurs. En voici une pléiade
de formules utiles.
1. grad(f h) = f grad(h) + h grad(f );
2. étant donnés deux ouverts U et V de R3 , une application lisse Φ : U → V , et une fonction
lisse f dans V , le gradient de la fonction composée f ◦ Φ : U → R se calcule par la formule
grad(f ◦ Φ) = grad(f ) ◦ Φ0 ;
étant donnée une fonction lisse ϑ : R → R et une fonction lisse f dans U , le gradient de
la fonction composée ϑ ◦ f : U → R se calcule par la formule
grad(ϑ ◦ f ) = ϑ0 grad(f );
3. div(rot(v)) = 0;
4. rot(grad(f )) = 0;
5. div(f v) = (v grad(f )) + f div(v);
6. div(f rot(v)) = (rot(v) grad(f ));
7. div(f grad(h)) = (grad(f ) grad(h)) + f ∆h;
8. div(v ∧ w) = (w rot(v)) − (v rot(w));
9. grad(v w) = (v grad) w + (w grad) v + v ∧ rot(w) + w ∧ rot(v);
ici la notation (v grad) w signifie que l’opérateur scalaire (v grad) est appliqué à chacune
des composantes de w, c.a.d. en coordonnées cartésiennes

   ∂wx
∂wx
x
+
v
vx ∂x + vy ∂w
wx
z
∂y
∂z
∂
∂    ∂wy
∂
∂wy 
y
+
v
wy = vx ∂x + vy ∂w
+ vy
+ vz
(v grad) w = vx
z ∂z  ;
∂y
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
z
z
z
wz
vx ∂x + vy ∂y + vz ∂w
∂z
10. grad(div(v)) − rot(rot(v)) = ∆v,
l’ópérateur de Laplace étant appliqué à chacune des composantes de v;
11. rot(f v) = f rot (v) + grad(f ) ∧ v;
12. rot(v ∧ w) = (w grad) v − (v grad) w + v div(w) − w div(v);
13. grad(ϕ(r)) = ϕ0 (r)er ;
1
14. notons Id : R3 → R3 le champ de vecteurs identité; étant donnée une fonction ϕ dans un
ouvert U de R3 qui ne dépend que de r, le produit ϕ Id est un champ de vecteurs dans
U ; alors
div(ϕ(r) Id) = ϕ(r) + rϕ0 (r).
Indication. À l’aide de la notation grad(f ) = ∇f , utiliser l’astuce standard
rot(v) = ∇ ∧ v, div(v) = (∇ v),
voir les identités (5.5) et (5.6) du cours et exploiter les identités standard comme par exemple
(u ∧ v) ∧ w = v (u w) − (u v) w.
Exercise 2. Dans R3 , avec coordonneées x, y, z, soit ϕ une fonction dérivable d’une variable
réelle, soit a0 le champ de vecteurs a0 (x, y, z) = (−y, x, 0), et soit a le champ de vecteurs
a = ϕa0 , c.a.d.
a(x, y, z) = ϕ(r)a0 (x, y, z) = ϕ(r)(−y, x, 0)
p
où r = x2 + y 2 + z 2 . Montrer que
rot(a) = (2ϕ + rϕ0 )ez .
En déduire: (i) Si a est interprété comme champ de vitesse d’une rotation d’un solide (nécessairement sur quel axe?), la direction de rot(a) coincide avec l’axe de rotation; et (ii) si, en
plus, ϕ(r) = ω (constante), alors |rot(a)| est le double de la vitesse angulaire ω.
Remarque. On peut pousser un peu plus loin: Le rotationnel du champ de vitesse d’un écoulement stationnaire d’un fluide représente le double de la vitesse instantanée de rotation en chaque
point du fluide. En particulier, si le champ de vitesse stationnaire d’un fluide a son rotationnel
nul l’écoulement ne présente pas de tourbillon.
Exercise 3. Soit v un champ de vecteurs dans le plan R2 tel que l’angle entre v(x, y) et le
vecteur lieu (x, y) soit égal à π4 quel que soit (x, y) et tel que la fonction |v| ne dépende que
p
de la distance r = x2 + y 2 . Déterminer v. Trouver en particulier le champ de vecteurs v
vérifiant div(v) = 0.
Correction. Le champ de vecteurs cherché v est de la forme
v(x, y) = f (r)(x − y, x + y)
où f est une fonction qui ne dépend que de r. Soit u le champ de vecteurs u(x, y) = (x−y, x+y).
La formule div(f u) = (u grad(f )) + f div(u) entraîne que ce champ de vecteurs a
div(f u) = (u grad(f )) + f div(u)
= (x − y, x + y)f 0 (r)er + 2f (r)
= f 0 (r) 1r (x − y, x + y)(x, y) + 2f (r)
= rf 0 (r) + 2f (r).
Ainsi, pour trouver le champ de vecteurs v dont la divergence est nulle, il reste à résoudre
l’équation différentielle
rf 0 (r) + 2f (r) = 0.
Sa solution est f (r) = rc2 , où c est une constante. Cette solution f n’est pas définie à l’origine.
De même, le champ de vecteurs v = f u qui en résulte n’est pas défini à l’origine.
2
Autre interprétation: La forme différentielle
α=
x−y
x+y
dy
−
dx
r2
r2
des deux variables x et y, définie dans R2 \ {0}, a dérivée extérieure nulle.
Exercise 4. Justifier les expressions pour les opérateurs standard suivants.
1. Le gradient:
— Coordonnées cartésiennes: ∇f =
∂f
e
∂x x
+
∂f
e
∂y y
+
∂f
e
∂z z
∂f
∂f
e + 1r ∂ϑ
eϑ + ∂f
e
∂r r
∂z z
∂f
∂f
1 ∂f
e + 1r ∂ϑ
eϑ + r sin
e
∂r r
ϑ ∂ϕ ϕ
— Coordonnées cylindriques: ∇f =
— Coordonnées sphériques: ∇f =
2. La divergence:
∂Fy
∂y
∂Fz
∂z
— Coordonnées cartésiennes: divF =
∂Fx
∂x
— Coordonnées cylindriques: divF =
1 ∂(rFr )
r ∂r
+
1 ∂Fϑ
r ∂ϑ
1 ∂(r2 Fr )
r2
∂r
+
1 ∂(sin ϑFϑ )
r sin ϑ
∂ϑ
— Coordonnées sphériques: divF =
+
+
+
∂Fz
∂z
+
1 ∂Fϕ
r sin ϑ ∂ϕ
−
∂Fz
∂x
3. Le rotationnel :
— Coordonnées cartésiennes: rotF =
∂Fz
∂y
−
∂Fy
∂z
ex +
∂Fx
∂z
ey +
∂Fy
∂x
−
∂Fx
∂y
ez
— Coordonnées cylindriques:
∂Fr ∂Fz )
1 ∂(rFϑ ) ∂Fr
1 ∂Fz ∂(rFϑ )
−
er +
−
eϑ +
−
ez
rotF =
r ∂ϑ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂ϑ
— Coordonnées sphériques:
1
∂(r sin ϑFϕ ) ∂(rFϑ )
rotF = 2 2
−
er
∂ϑ
∂ϕ
r sin ϑ
1
∂Fr ∂(r sin ϑFϕ )
+
−
eϑ
r sin ϑ ∂ϕ
∂r
1 ∂(rFϑ ) ∂Fr
−
eϕ
+
r
∂r
∂ϑ
4. Le Laplacien:
— Coordonnées cartésiennes: ∆f =
∂2f
∂x2
— Coordonnées cylindriques: ∆f =
1 ∂
r ∂r
r ∂f
+
∂r
1 ∂2
r2 ∂r2
(r2 f ) +
— Coordonnées sphériques: ∆f =
+
∂2f
∂y 2
+
∂2f
∂z 2
1 ∂2f
r2 ∂ϑ2
+
1
∂
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂2f
∂z 2
∂f
sin ϑ ∂ϑ
+
∂2f
1
r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
Exercise 5. Calculer div(er ) pour le champ de vecteurs er = ( xr , yr , zr ) dans R3 . Trouver un
potentiel pour er . Décrire div(er ) en fonction du potentiel.
3
Exercise 6. Une fonction f dans un ouvert U de Rn vérifiant l’identité ∆f = 0 est dite
n
harmonique.
p Montrer que la fonction suivante f , définie sur R \ {0} et qui ne depend que de
r = |x| = x21 + · · · + x2n , est harmonique:

n = 1,
 r,
f (|x|) = log(r), n = 2,
 1
, n > 3.
rn−2
Exercise 7. Calculer l’aire d’un disque de rayon r à l’aide de la formule de Riemann-Green.
De même, calculer l’aire du domaine plan bordé par la parabole y = x2 et la droite y = 1 à
l’aide de la formule de Riemann-Green.
Exercise 8. Soient a, b des nombres tels que 0 < a < b et soit
D = {(x, y) ∈ (R+ )2 | a 6 xy 6 b, y > x, y 2 − x2 6 1}.
En effectuant le changement de variables u = xy, v = y 2 − x2 , calculer
ZZ
I=
(y 2 − x2 )(x2 + y 2 ) dx dy.
D
Correction.
du = ydx + xdy
dv = −2xdx + 2ydy
dudv = 2(x2 + y 2 )dxdy
ZZ
I=
(y 2 − x2 )(x2 + y 2 ) dx dy
ZDZ
(y 2 − x2 )dudv
= 21
Z 1Z b
1
=2
vdudv
=
0
b−a
.
4
a
Exercise 9. La feuille de Déscartes est l’intérieur de la courbe
x3 + y 3 = 3axy,
a étant une constante réelle positive.
• Montrer que cette courbe admet le paramétrage γ(t) = (x(t), y(t)), avec
x(t) =
3at
3at2
,
y(t)
=
,
t3 + 1
t3 + 1
• Calculer l’aire de la feuille de Déscartes.
4
−∞ < t < −1; −1 < t 6 +∞.