3 Grad,div,Rot - UN PEU PLUS LOIN

Grad. Div. Rot.
GRADIENT D'UNE FONCTION DE
CHAMP SCALAIRE
y
Soit T(x,y,z) un champ de scalaires
(température par exemple). On peut
facilement imaginer une surface sur laquelle
tous les points ont la même température, on
aurait par exemple dans le plan xoy la coupe
ci-contre.
Tous les points tels que T(x, y, z)=cte
constituent une surface isotherme. Dans le
cas d'un champ quelconque, on appelle ces
surfaces : surfaces de niveau. Le vecteur
rouge représente le déplacement de la
chaleur.
chaud
froid
x
y
Lorsqu'on passe d'un point P(r) tel que :
r
r r
r r
O P = r = xi + yj + zk
à un point voisin :
P
r
dr
O
r
r r
r
r
r
O Q = r + dr = ( x + dx )i + ( y + dy ) j + ( z + dz )k
Q
la variation dT de la fonction de champ T(x,
y, z) est:
∂T
∂T
∂T
dx +
dy +
dz
dT =
∂x
∂y
∂z
r+dr
x
z
Si on introduit l'élément différentiel :
r
r
r
r
dr = dxi + dy j + dz k , on a :
∂ T r ∂ T r ∂ T
dT = 
i+
j+
∂y
∂z
∂ x
(
r r
r
r
k  dxi + dy j + dz k

)
Le facteur entre crochets dépend uniquement de P, c'est le gradient du champ au
point P, ainsi
r
r
dT = grad T dr
r
∂T r ∂T r ∂T r
grad T = ∇T =
i+
y+
k
∂x
∂y
∂z
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Grad. Div. Rot.
Physiquement, GradT est le taux de variation d'une grandeur
scalaire. Grad T constitue un champ de vecteurs ⊥ aux surfaces de niveau,
dirigés vers les valeurs scalaires les plus grandes.
Exemple : Dans un domaine de l'espace où la température est fonction des
coordonnées telle que T ( x, y, z ) = 3 x 2 y − y 3 z 2 °C , le gradient de T vaut :
(
)
(
)
r
r
r
r
grad T = 6 xyi + 3 x 2 − 3 y 2 z 2 j − 2 y 3 z k
Au point P(1,2,1)
r
r
r
r
grad T = 12i − 9 j − 16k
Ce vecteur indique clairement le sens et la direction dans laquelle croît la
température, son module indique le taux de variation de T par unité de longueur.
Pour simplifier l’écriture, on utilise l’opérateur nabla :
r
r
r
Opérateur nabla : ∇ = ∂ i + ∂ j + ∂ k
∂x
∂y
∂z
∇T est un vecteur orthogonal à la surface T(x, y, z) =
cte
r
r r
r
Si r = xi + yj + zk est le vecteur position de tout point P(x,y,z), alors :
r
r
r
r
dr = dxi + dy j + dz k est dans le plan tangent à la surface en P.
Mais
dT =
∂T
∂T
∂T
dx +
dy +
dz ,
∂x
∂y
∂z
∂ T r ∂ T r ∂ T
dT = 
i+
j+
∂y
∂z
∂ x
(
)
r r
r
r
k  dxi + dy j + dz k =0

C'est-à-dire que ∇T .dr = 0, ainsi ∇T est perpendiculaire à dr.
La normale unitaire à la surface T(x, y, z) = cte est :
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r
r
Grad. Div. Rot.
DIVERGENT D'UN VECTEUR
face A
(arrière)
z
dz
face B
(avant)
dx
dy
y
Considérons un cube imaginaire de
volume dxdydz=dv traversé par un
fluide de masse volumique ρ, qui
circule à la vitesse
r r r r
v = vx + v y + vz
x
Considérons d’abord le sens Ox, en comptant positif ce qui sort du volume, on a :
La masse de liquide qui entre par la face A en un temps dt est :
− ρ A v xA dy . dz . dt
(kg .s −1 )
La masse de liquide qui sort par la face B en un temps dt est :
ρ B v xB dy.dz.dt
Il peut exister une différence entre ce qui entre et ce qui sort du volume dv, la variation
de masse est:
dm x = ( ρ B v xB − ρ A v xA )dy.dz.dt =
∂ ( ρvx )
dx.dy.dz.dt
∂x
En effectuant le même calcul par rapport aux autres axes, le bilan sur les six faces
donne :
∂ ( ρvx ) ∂ ( ρv y ) ∂ (ρvz ) 
dm = 
+
+
 dx.dy.dz.dt
∂y
∂z 
 ∂x
Si il n'existe pas de perte, dm=0, la partie entre crochets = 0. De plus, si le fluide est
incompressible, ρ=cte, donc
∂ vx ∂ vy ∂ vz
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
On écrit cette expression sous la forme condensée:
r ∂ vx ∂ vy ∂ vz
div v =
+
+
= ∇•v = 0
∂x ∂y ∂z
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Grad. Div. Rot.
r
D’une manière générale, div v représente la variation de la quantité de fluide par
unité de volume, quand le volume tend vers zéro.
Div v=
∂ v x ∂ v y ∂ vz
+
+
est une grandeur Scalaire
∂x ∂y ∂z
Un vecteur dont le divergent est nul est appelé Solénoïdal
r
r
r
r
Exemple. Soit un fluide en mouvement avec une vitesse v = x 2 z i − 2 y 3 z 2 j + xy 2 z k
Le divergent du vecteur v est:
r
divv = 2 xz − 6 y 2 z 2 + xy 2
Au point P(1,-1,1) div V=-3
Ce résultat s'interprète comme une diminution de masse du fluide au point P.
Ceci est dû à un puits de masse en ce point. Un résultat positif aurait révélé la présence
d'une source de masse au point P. Nous verrons dans les applications une utilisation
importante de cette notion.
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Grad. Div. Rot.
ROTATIONNEL D'UN VECTEUR
r
Le rotationnel d'un vecteur A est un autre vecteur, les composantes de ce
nouveau vecteur sont telles que :
 ∂A ∂Ay
r r
ro t A = ∇ ∧ A =  z −
∂y ∂z
r  ∂Ax ∂Az
i + 
−
 ∂z ∂x
 r  ∂Ay ∂Ax
 j + 
−
 ∂x ∂y
r
k

Pour comprendre la signification physique de ce vecteur, prenons un exemple concret
facile à imaginer.
1- Considérons l'écoulement de l'eau dans une rivière où le vecteur vitesse du
r r
fluide comprend uniquement une composante selon x, soit : v = v x + 0 + 0 .
2-
y
La vitesse est constante et possède une
seule composante sur x, en appliquant
la relation encadrée, le calcul du
rotationnel de ce vecteur donne :
V
r r
ro tV = 0
x
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Grad. Div. Rot.
3- Reprenons le cas précédent en imposant à la composante de vitesse vx
r
une proportionnalité par rapport à y, par exemple: v x = ay. i
4y
Dans ce cas, le vecteur
vitesse est:
r
r
v = ayi + 0 + 0
Il augmente avec y.
Le calcul du rotationnel donne
maintenant :
r
r r  ∂ v r
ro tV =  − x k = − ak
 ∂y
V=ayi
x
rot V, orienté selon Oz est donc ⊥ à x
et y, (k négatif). Si on imagine que le
fluide est composé de strates
moléculaires et que chacune d'elle est
liée à la suivante avec des forces de
frottement, alors il se produit un
enroulement des strates supérieures
autour des strates profondes de vitesse
moindre. D'où un mouvement de
rotation ou de tourbillon, autour de
l’axe z comme indiqué sur la figure cicontre.
y
-k
x
Dans le mouvement le plus général, la répartition des vitesses dans un
élément de volume est celle qui résulte de la superposition d’une
translation, d’une déformation et d’une rotation.
Lorsque le fluide possède une vitesse à trois composantes, le rotationnel et orienté
différemment mais traduit toujours un caractère tourbillonnaire du fluide en
mouvement.
Si ∇ ∧ V = 0, Le champ de vecteur est dit
lamellaire
i
∂
∇∧V =
∂x
V1
j
∂
∂y
V2
k
∂
∂z
V3
r
Application. En électromagnétisme, le vecteur densité de courant J qui
circule dans un conducteur est le rotationnel du champ magnétique que ce courant
crée autour du conducteur. C’est le théorème d’Ampère sur lequel nous reviendrons
en détail plus loin.
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Grad. Div. Rot.
EXERCICES
On sait que si le rotationnel d’un
champ de vecteurs est nul, ce champ
dérive d’un potentiel Φ.
Par exemple, en électricité :
r
rr
Ro t E = 0 ⇒ E dérive d ' un potentiel V
Exemple de calcul :
Montrer que le champ vectoriel
défini par
F = (2xy + z 3 )i + x 2 j + 3xz 2k
F = Fx i + Fy j + Fz k
Solution
On vérifie que rot F=0, alors F dérive
d’un potentiel Φ qu’on se propose de
trouver.
Donc :
r
r
∂Φ
∂Φ
∂Φ
F = Grad Φ =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
∂Φ
= 2 xy + z 3 ⇒ Φ = x 2 y + xz 3 + f ( y, z)
∂x
∂Φ
= x2
⇒ Φ = x 2 y + g ( x , z)
∂y
∂Φ
= 3xz 2
⇒ Φ = xz 3 + h ( x , y)
∂z
Par identification, on trouve :
est un champ de gradient et trouver
le potentiel scalaire Φ dont il dérive.
∂Fy r
r r  ∂F
i
rot F =  z −
 ∂y

∂
z


 ∂F
∂F r
+  x − z  j
∂x 
 ∂z
 ∂Fy ∂Fx  r
k
+
−
 ∂x

∂
y


f ( y, z) = 0
g( x, z) = xz 3
h ( x , y) = x 2 y
Donc
Φ = x 2 y + xz 3
r
r
On peut vérifier que F = Grad Φ
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