Courbes de Bézier

Courbes de Bézier
F-IRIS2-06.tex
Courbes de Bézier
1)
Forme réalisée par la jonction de deux arcs de courbes de Bézier :
→
− →
−
Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; i , j
(unité graphique 2 cm)
On considère dans ce repère les points A (4; 10) , B (2; 5) , M (3; 10) et N (2; 9).
L’objectif du problème est de relier les points O et A à l’aide de deux courbes de Bézier C1 et C2 qui se
raccordent en B.
C1 est la courbe de Bézier définie à partir des points de définition A, M , N , B.
C2 est une courbe de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l’axe des ordonnées et en
O une tangente qui a pour équation y = x
a)
Justifier que la tangente en A à C1 est parallèle à l’axe des abscisses.
b)
Justifier que les courbes C1 et C2 qui satisfont aux conditions données admettent bien la même
tangente au point B.
Tracé de C1
x(t) = t3 − 3t + 4
pour t ∈ [0; 1]
y(t) = −2t3 − 3t2 + 10
Etudier les variations des deux fonctions et résumer les résultats dans un tableau.
c)
On considère la courbe définie par :
d) Montrer que la courbe ainsi définie passe par les points A et B et préciser les tangentes en ces points.
On admettra que cette courbe est la courbe de Bézier C1 associée aux points de définition A, M , N , B.
e)
Tracer C1 . La représentation graphique sera la plus précise possible.
Tracé de C2
La courbe C2 satisfait aux conditions de l’introduction et est contrôlée par les trois points O, T et B
f)
Caractériser géométriquement le point T , et déterminer ses coordonnées.
g) Construire les points M1 et M2 de C2 qui correspondent à t = 0, 25 et t = 0, 5 et donner l’allure
de la courbe C2 .
2)
Courbe de Bézier définie par points et polynômes de Bernstein
Par définition, n étant un entier et k un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômes de
Bernstein de degré n, les fonctions Bk,n définies sur [0; 1] par :
Bk,n (t) = Cnk tk (1 − t)n−k
a)
Donner les expressions de ces polynômes lorsque n = 4
premier degré, puis sous forme développée et ordonnée.
sous forme de produit de polynômes du
Bk,4 (t) = 0 pour
0 6 k 6 4.
→
− →
−
Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; i , j , on considère les points de contrôle : P0 (3; 0) ,
b)
Résoudre chacune des équations
P1 (0; 1) , P2 (−1; 0) , P3 (0; −1) , P4 (3; 0) et la courbe C ensemble des points M (x, y) tels que :
4
−−−−−→ X
−−−→
OM (t) =
Bk,4 (t)OPk
k=0
On prendra pour unité graphique 3 cm sur chaque axe pour le tracé .
♣ ♥♠
♦
1/2
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
c)
F-IRIS2-06.tex
Soit les fonctions f et g définies pour pour 0 6 k 6 4 par :
f (t) = 12t2 − 12t + 3
g(t) = 8t3 − 12t2 + 4t
Vérifier qu’une représentation paramétrique de C est :
d)
x
y
= f (t)
= g(t)
Etudier les variations des fonctions f et g, et résumer les études dans un tableau commun.
−−−→
−−−→
e) Montrer que les vecteurs P0 P1 et P3 P4 sont des vecteurs directeurs des tangentes à la courbe aux
points correspondants aux valeurs 0 et 1 du paramètre t.
→
− →
−
f)
Construire la courbe dans le repère orthonormal O ; i , j , en précisant les points où la tangente
est parallèle à l’un des axes du repère.
3)
Courbe de Bézier définie point par point avec les barycentres
→
− →
−
Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; i , j
(unité graphique 2 cm)
On considère la courbe de Bézier C de points de définition :
P0 (−1; −1) ;
P1 (2; 5) ;
P2 (5; 2)
Pour tout réel t tel que 0 6 k 6 1, on note G1 (t) le barycentre des points pondérés (P0 , 1 − t) et (P1 , t) ,
et G2 (t) le barycentre des points pondérés (P1 , 1 − t) et (P2 , t).
On rappelle que le barycentre M (t) des deux points pondérés (G1 (t), 1 − t) et (G2 (t), t) est un point de la
courbe C et que la tangente à cette courbe au point M (t) est la droite (G1 (t)G2 (t)).
a)
Placer les points G1 (t) , G2 (t) et M (t) sur une même figure pour les valeurs suivantes de t :
t = 0;
b)
t=
1
;
4
t=
1
;
3
t=
1
;
2
t=
2
;
3
t=
3
;
4
t=1
En déduire l’allure de la courbe C.
On rappelle que la courbe de Bézier a pour représentation paramétrique :
2
−−−−−→ X
−−−→
OM (t) =
C2k tk (1 − t)2−k OPk
avec
06k61
k=0
c)
Déterminer les coordonnées x = f (t) et y = g(t) du point M (t).
d)
Étudier les variations des fonctions f et g, et résumer les études dans un tableau commun.
e)
Quelle information supplémentaire apporte le tableau de variation ?
f)
Tracer la courbe C.
♣ ♥♠
♦
2/2
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
F-IRIS2-06.tex
Courbes de Bézier
1)
(Solutions)
Forme réalisée par la jonction de deux arcs de courbes de Bézier :
A (4; 10) , B (2; 5) , M (3; 10) et N (2; 9)
C1 est la courbe de Bézier définie à partir des points de définition A, M , N , B.
C2 est une courbe de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parallèle à l’axe des ordonnées et en
O une tangente qui a pour équation y = x
−−→
a)
La tangente en A à C1 est le vecteur AM de coordonnées (−1; 0) qui est donc parallèle à l’axe des
abscisses.
−−→
b)
La tangente en B à C1 est le vecteur BN de coordonnées (0, 4) qui est donc parallèle à l’axe des
ordonnées comme la tangente en B à C2 .
Tracé de C1
c)
C1 :
x(t)
y(t)
= t3 − 3t + 4
= −2t3 − 3t2 + 10
t
x(t)
x0 (t)
y 0 (t)
y(t)
y0
x0
pour t ∈ [0; 1]
0
4
−3
0
10
x0 (t) = 3t2 − 3
= 3(t − 1)(t + 1)
y 0 (t) = −6t2 − 6t = −6t (t + 1)
1
2
0
−12
5
←
−
−
↓
↔
l
d) On constate que la courbe C1 passe bien :
– par le point A, pour t = 0 on a x(0) = 4 et y(0) = 10 avec une tangente horizontale
– par le point B, pour t = 1 on a x(1) = 2 et y(1) = 5 avec une tangente verticale
e)
Représentation graphique de C1 .
x
M
10
N
×
A
×
×
×B
5
×
T
→
−
j
x
O
→
−
i
2
4
Tracé de C2
La courbe C2 satisfait aux conditions de l’introduction et est contrôlée par les trois points O, T et B
♣ ♥♠
♦
3/7
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
F-IRIS2-06.tex
f ) Caractérisation géométrique du point T : La droite OT est la droite d’équation y = x et la droite
T B est la verticle d’équation x = 2 donc, T est le point de coordonnées (2, 2)
g) Construire les points M1 et M2 de C2 qui correspondent à t = 0, 25 et t = 0, 5 et donner l’allure
de la courbe C2 .
x
x
×B
×B
×
×
t = 0, 25
t = 0, 5
M2
×
T
→
−
j
M1
×
→
−
j
×
O
→
−
i
×
×
T
×
x
O
2)
x
→
−
i
Courbe de Bézier définie par points et polynômes de Bernstein
Par définition, n étant un entier et k un entier inférieur ou égal à n, on appelle fonctions polynômes de
Bernstein de degré n, les fonctions Bk,n définies sur [0; 1] par :
Bk,n (t) = Cnk tk (1 − t)n−k
a)
b)
Expression des polynômes de Bernstein :

B0,4 (t) = C40 t0 (1 − t)4−0 =




 B1,4 (t) = C41 t1 (1 − t)4−1 =
Bk,2 (t) = C42 t2 (1 − t)4−2 =


Bk,3 (t) = C43 t3 (1 − t)4−3 =



Bk,4 (t) = C44 t4 (1 − t)4−4 =
(1 − t)4
4 t (1 − t)3
6 t2 (1 − t)2
4 t3 (1 − t)
t4
Résoudre chacune des équations Bk,4 (t) = 0

(1 − t)4 = 0




 4 t (1 − t)3 = 0
6 t2 (1 − t)2 = 0


4 t3 (1 − t) = 0



t4 = 0
=
=
=
=
=
t4 − 4t3 + 6t2 − 4t + 1
−4t4 + 12t3 − 12t2 + 4t
6t4 − 12t3 + 6t2
−4t4 + 4t3
t4
pour 0 6 k 6 4.
t=1
t=0
t=0
t=0
t=0
t=1
t=1
t=1
→
− →
−
Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; i , j , on considère les points de contrôle : P0 (3; 0) , P1 (0; 1)
, P2 (−1; 0) , P3 (0; −1) , P4 (3; 0) et la courbe C ensemble des points M (x, y) tels que :
4
−−−−−→ X
−−−→
OM (t) =
Bk,4 (t)OPk
k=0
On prendra pour unité graphique 3 cm sur chaque axe pour le tracé .
♣ ♥♠
♦
4/7
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
c)
d)
F-IRIS2-06.tex
Vérification de la représentation paramétrique de C :
x = (1 − t)4 × 3 + 4 t (1 − t)3 × 0 + 6 t2 (1 − t)2 × (−1) + 4 t3 (1 − t) × 0 + t4 × 3
y = (1 − t)4 × 0 + 4 t (1 − t)3 × 1 + 6 t2 (1 − t)2 × 0 + 4 t3 (1 − t) × (−1) + t4 × 0
Etude des variations des fonctions f et g.

 f (t) = 12t2 − 12t + 3

= 12t2 − 12t + 3
= 8t3 − 12t2 + 4t
donc :
g(t) = 8t3 − 12t2 + 4t
t
x(t)
x0 (t)
y 0 (t)
y(t)
y0
x0
 0
 f (t)
=
24t − 12
=
12(2t − 1)
g 0 (t)
=
24t2 − 24t + 4
=
4(t − α)(t − β)

0
3
−12
4
0
α
1
←
−
+
↑
0
√
2 3
9
− 13
1/2
0
0
←
−
−
↓
0
↔
→
+
−
↓
β
1
0
√
−293
l
√
α= 3− 3
6√
avec : 3+ 3
β=
6
1
3
12
4
0
→
+
+
↑
1
3
↔
−−−→
−−−→
e)
Les vecteurs P0 P1 et P3 P4 sont des vecteurs directeurs des tangentes à la courbe aux points
correspondants aux valeurs 0 et 1 du paramètre t.
−−−→
1
y 0 (0) 1
−
Le vecteur P0 P1 de coordonnées (−3, 1) de coefficient directeur correspont à t = 0
3
x0 (0) 3
−−−→
1
y 0 (1)
1
Le vecteur P3 P4 de coordonnées (3, 1) de coefficient directeur − correspont à t = 1
=
3
x0 (1)
3
f)
Courbe C.
y
→
− ×P1
j
P2
×
P0 = P4 x
×
→
−
i
O
×
P3
3)
Courbe de Bézier définie point par point avec les barycentres
→
− →
−
Le plan est muni d’un repère orthonormal O ; i , j
(unité graphique 2 cm)
On considère la courbe de Bézier C de points de définition :
P0 (−1; −1) ;
P1 (2; 5) ;
P2 (5; 2)
Pour tout réel t tel que 0 6 k 6 1, on note G1 (t) le barycentre des points pondérés (P0 , 1 − t) et (P1 , t) ,
et G2 (t) le barycentre des points pondérés (P1 , 1 − t) et (P2 , t).
On rappelle que le barycentre M (t) des deux points pondérés (G1 (t), 1 − t) et (G2 (t), t) est un point de la
courbe C et que la tangente à cette courbe au point M (t) est la droite (G1 (t)G2 (t)).
♣ ♥♠
♦
5/7
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
a)
F-IRIS2-06.tex
Placer les points G1 (t) , G2 (t) et M (t) sur une même figure pour les valeurs suivantes de t :
t = 0;
b)
t=
1
;
4
t=
1
;
3
t=
1
;
2
t=
2
;
3
t=
3
;
4
t=1
t
0
1
4
1
3
1
2
2
3
3
4
1
G1 (t)
(−1, −1)
(− 14 , 21 )
(0, 1)
( 12 , 2)
(1, 3)
( 54 , 72 )
(2; 5)
G2 (t)
(2, 5)
(3, 4)
11
( 17
4 , 4 )
( 72 , 47
16 )
(5; 2)
(−1, 0)
( 72 , 72 )
(2, 11
4 )
(4, 3)
M (t)
17
( 11
4 , 4 )
23
( 12 , 16
)
(1, 2)
(3, 3)
(5; 2)
En déduire l’allure de la courbe C.
y
P1
5
×
×
×
×
×
t = 32
×
×
×
t=
×
×
t=
×
t=
1
2
×
×
t = 43
×
×
P2
1
3
1
4
→
−×
j
×
x
O
P0
c)
5
×
Calcul des fonctions f et g.

 f (t) = 6t − 1

♣ ♥♠
♦
→
−
i
g(t) = −9t2 + 12t − 1
donc :
 0
 f (t)

g 0 (t)
6/7
=
6
= −18t + 12
=
6(−3t + 2)
LATEX 2ε
Courbes de Bézier
d)
F-IRIS2-06.tex
Etude des variations des fonctions f et g.
t
x(t)
x0 (t)
y 0 (t)
y(t)
y0
x0
0
0
6
12
−1
2/3
3
6
0
3
→
+
+
↑
↔
2
→
+
−
↓
1
5
6
−6
2
−1
e)
Quelle information supplémentaire apporte le tableau de variation ?
2
On voit que pour t = on a un sommet de coordonnées (3, 3).
3
f)
Tracer la courbe C.
y
P1
5
×
×
P2
→
−
j
x
O
P0
♣ ♥♠
♦
→
−
i
5
×
7/7
LATEX 2ε