Examen terminal de la partie ! Analyse numérique " de l`UE 34

Examen terminal de la partie ! Analyse numérique " de l’UE 34
- durée : 3 heures Tous les fichiers faisant partie des réponses proposées devront figurer sur la clé USB fournie à chacun
d’entre vous en début d’épreuve.
Exercice I : Marche aléatoire
On étudie la marche aléatoire d’un mobile sur un cube dont les sommets sont notés ABCDEF GH
(voir figure ci-dessous). Si on note M le mobile, à chaque instant n P N, M est situé sur l’un des sommets
du cube Sn et passe à l’instant n ` 1 sur l’un des sommets du cube adjacent à Sn . On suppose que la
probabilité de passage d’un sommet à un autre est l’équiprobabilité.
a) Définir M la matrice de transition de la marche aléatoire de M .
b) À l’instant n “ 0, M est en A. Proposer un calcul - que vous effectuerez dans fichier Xcas qui permette de conjecturer le comportement asymptotique de la marche aléatoire du mobile M .
Expliciter en une phrase le résultat conjecturé.
c) Donner tous les détails mathématiques qui permette de justifier la conjecture formulée précédemment.
On explicitera ces détails sur le fichier Xcas crée pour répondre à la question a).
Si on note Vn le vecteur rpn pAq, pp Bq, ¨ ¨ ¨ , pn pHqs - où, pour chaque sommet S du cube, pn pSq
désigne la probabilité que M soit en S à l’instant n - les calculs menés sous Xcas devront permettre
d’expliciter Vn .
d) On suppose maitenant qu’à chaque instant n, la position de M sur les sommets du cube rapporte
une somme d’argent :
0 euro si M “ A, 1 euro si M “ B, ¨ ¨ ¨ , 7 euros si M “ H.
On note Xn la variable aléatoire qui donne la somme rapportée à l’instant n par la position du
mobile. Expliciter EpXn q en fonction des coordonnées de Vn , puis déterminer EpXn q en fonction
de n et enfin déterminer lim EpXn q.
nÑ`8
La matrice M est symétrique et réelle. Elle est donc diagonalisable dans R (ce qui signifie que ses vp
sont réelles et qu’il existe une base de R8 formée de vecteurs propres de M à coordonnées réelles). La
symétrie de M s’explique par le fait que la probabilité pour aller d’un sommet à un sommet qui lui est
1
adjacent, est égale à quel que soit le sens du déplacement.
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Pour le reste du corrigé, voir le fichier ExamEx1.xws (notamment les commentaires insérés entre les lignes
de calculs).
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Exercice II : Courbes de Bézier
On dispose de 7 points A, B, C, D, E, F, G, distincts deux à deux. On souhaite tracer une courbe de
Bézier controlée par ces 7 points qui ait la forme de la lettre ! C majuscule cursive " :
a Définissez une telle courbe de Bézier et représentez-la en utilisant le logiciel GeoGebra.
b On décide de compléter la courbe précédente en ajoutant la lettre ! e minuscule " à la suite du ! C
majuscule " déjà tracé. On souhaite que, comme dans une écriture manuscrite classique, les deux
lettres soient reliées de façon harmonieuse.
Définissez une nouvelle courbe de Bézier qui permette de réaliser cela. Vous expliquerez en détails
comment procéder et citerez explicitement les résultats du cours qui justifient la technique utilisée.
c) Représenter sous GeoGebra le dessin des deux lettres.
a) Par définition, la courbe de Bézier contrôlée par les 7 points A, B, C, D, E, F, G est la courbe dont
une équation paramétrique est :
ˆ ˙
ˆ ˙
ˆ ˙
6
6
6
M ptq “ p1´tq6 A`6p1´tq5 t B`
p1´tq4 t2 C`
p1´tq3 t3 D`
p1´tq2 t4 E`6p1´tqt5 F `t6 G, t P r0 ; 1s.
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Voir la représentation de cette courbe dans le fichier GeoGebra ”Cmajbis.ggb”.
b) Pour réaliser le tracer demandé par l’énoncé, il faut (et il suffit) que la courbe de Bézier associée à
la lettre ”e” se raccorde au ”C majuscule cursive” de façon lisse. Pour cela, il faut et il suffit que les
points de contrôle de cette courbe soient A, H, I, J, ... avec B, A et H alignés. D’après un résultat
du cours, cette condition d’alignement garantit un raccordement lisse (dérivable) des deux courbes
de Bézier. Voir fichier ”Cmajbis.ggb”.
c) Voir fichier ”Cmajbis.ggb”.
Exercice III : Résolution approchée d’équations numériques
Dans cet exercice, on pourra utiliser le logiciel Xcas pour effectuer :
– les calculs (numériques et formels) nécessaires aux justifications des questions posées.
– les courbes illustrant certaines réponses proposées.
1. Soit f la fonction définie pour x ą 0 par f pxq “ lnpxq ´ arctanpxq.
a) Montrer que l’équation : f pxq “ 0, x P R˚` , possède une unique solution. On note ℓ cette solution
dans la suite. Déterminer un entier naturel n tel que ℓ P rn ; n ` 1s.
b) On définit la suite pxn q par :
x0 P I, xn`1 “ gpxn q, avec gpxq “ x ´ lnpxq ` arctanpxq.
Vérifier que cette suite est correctement définie. Déterminer sup |g 1 pxq|. En déduire que la suite
xPI
pxn q converge vers ℓ.
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c) Déterminer un nombre d’itérations n qui assure que |xn ´ ℓ| ă 10´6 .
2. Un de vos élèves mentionne sur sa copie :
@x P I, lnpxq ´ arctanpxq “ 0 ô tanplnpxqq “ x.
Et il propose d’étudier la suite définie par
y0 “ 3, @n P N, yn`1 “ tanplnpxn qq
pour déterminer le point fixe de x ÞÑ tanplnpxqq. Qu’en pensez-vous ?
3. On définit la suite pzn q par z0 P I, @n P N, zn`1 “ earctanpzn q .
Cette suite converge-t-elle vers ℓ ? Justifier votre réponse. Si la suite converge, pour quelles valeurs
de n a-t-on |zn ´ ℓ| ď 10´6 ?
L’ensemble des réponses et des justifications (en commentaires) sont sur le fichier ”Equation.xws”. Pour
la réponse à la question 2, il convient de remarquer que l’équivalence mentionnée par l’élève est fausse. En
p2k`1qπ
effet, la fonction x ÞÑ tanplnpxqq n’est pas définie sur R˚` . Elle n’est pas définie pour x “ e˘ 2 , k P Z.
De plus, lors des itérations définissant la suite pyn q, l’intervalle I n’est pas stable et la suite n’est donc
pas correctement définie.
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