Corrigé du devoir maison des vacances de Noël des 1S2

Corrigé du devoir maison
des vacances de Noël des 1S2
Exercice 1 : Révision chapitre 4
Le fabricant d’un article de grande consommation a procédé à une étude pour évaluer le nombre de
défauts mineurs constatés sur chaque article mis à la vente. Les résultats sont donnés dans le tableau
suivant :
Nombre de défauts
Effectif
ECC
0
59
59
1
83
142
2
92
234
3
81
315
4
75
390
5
38
428
6
12
440
1) Donner en justifiant la moyenne, la médiane et les quartiles de cette série.
Pour calculer la moyenne on fait :
x=
0 × 59 + 1 × 83 + ... + 6 × 12 1072
=
2, 436
440
440
Pour avoir la médiane on prend entre la 220ème et la 221ème valeur, qui valent toutes deux 2 donc Me=2
1
× 440 = 110 donc Q1 est la 110ème valeur, c’est-à-dire Q1 = 1
4
3
Pour avoir le troisième quartile : on calcule × 440 = 330 donc Q3 est la 330ème valeur, soit Q3 = 4
4
2) Donner sans justification une valeur approchée à 10 −2 près de l’écart-type de cette série.
Pour avoir le premier quartile : on calcule
σ 1,62
3) Construire un diagramme en bâtons pour cette série.
4) Construire un diagramme en boîte pour cette série.
5) Quelle proportion des valeurs de la série se situe dans l’intervalle [ Q1 ,Q3 ] ? (on donnera le résultat
sous forme de pourcentage, arrondi à 0,01% près)
[Q1 ,Q3 ] = [1; 4] contient 83+92+81+75=331 valeurs sur les 440 valeurs de la série, ce qui représente un
331
75 ,23%
441
6) Quelle proportion des valeurs de la série se situe dans l’intervalle  x − σ ,x + σ  ? (on donnera le
résultat sous forme de pourcentage, arrondi à 0,01% près)
pourcentage de
 x − σ ,x + σ  [ 0 ,816 ; 4 ,056] contient les mêmes valeurs que [ Q1 ,Q3 ] donc environ 75,23% des


valeurs de la série.
Exercice 2 : Révision chapitres 3 et 5
Une entreprise produit un objet en grande quantité. Le coût de production total, pour une production
inférieure ou égale à 10 000 unités, est constitué d’un coût fixe de 3 000€ et d’un coût variable de 15€ par
unité.
1. Exprimer le coût total de production C ( x ) en fonction du nombre x d’unités produites.
Soit x le nombre d’unités produites, le coût fixe (en euros) est 3000 et le coût variable est 15x , d’où
C ( x ) = 15 x + 3000
2. Pour x ∈ ]0;10 000] , le coût unitaire moyen f ( x ) est donné par : f ( x ) =
a. Vérifier que f ( x ) = 15 +
f ( x) =
3 000
x
C ( x ) 15 x + 3000 15 x 3000
3000
=
=
+
= 15 +
x
x
x
x
x
b. Déterminer en justifiant les variations de la fonction f sur ]0;10 000 ]
C ( x)
x
0
x
1
x
10000
Car la fonction inverse est
décroissante sur ]0;+∞[
0,0001
3000
x
f ( x ) = 15 +
0,3
Les variations sont inchangées
car on a multiplié par 3000 qui
est un nombre positif.
15,3
Les variations sont inchangées
car on ajouté un nombre (15)
3000
x
c. Calculer f ′ ( x ) pour x ∈ ]0;10 000 ]
Pour tout x ∈ ]0;10 000]
3 000
, donc
f ( x ) = 15 +
x
f ′ ( x ) = 0 + 3000 ×
f ′( x ) =
−1
x2
−3000
x2
d. Compléter les cases du tableau ci-dessous :
x
f ( x)
50
75
100
45
150
35
200
30
600
20
1000
18
2
1
−
-0,075
15
120
3. On note C f la courbe représentative de la fonction f , et A, B, C, D, E et F les points de C f
f ′( x)
-1,2
-0,3
−
d’abscisse respectives 50, 100, 150, 200, 600 et 1000.
Placer les points A, B, C, D, E et F sur le graphique ci-dessous.
4. Déterminer par le calcul l’ordonnée à l’origine de la tangente à C f , en chacun des points A à E et
les inscrire dans le tableau ci-dessous :
Points :
Ordonnée à l’origine de la tangente à C f en ce point :
A
B
C
D
E
135
75
55
45
25
(On détaillera sur la copie comment l’ordonnée à l’origine de la tangente à C f au point A a été
obtenue.)
Pour A : L’équation de la tangente à C f en ce point est du type y = −1,2 x + p , donc l’ordonnée à l’origine
est p = y + 1,2 x . Je sais que A(50 ;75) appartient à cette tangente, donc p = 75 + 1 ,2 × 50 = 81
5. A l’aide des questions 3 et 4, tracer C f sur le graphique précédent.
6. Une unité de ce produit est vendue 25€. Déterminer graphiquement la quantité à partir de laquelle
la production est rentable pour l’entreprise.
Il faut que le coût de production d’un objet soit inférieur à 25€ puisque c’est son prix de vente, il faut donc
que l’entreprise produise au minimum 300 objets pour que ce soit rentable.
Exercice 3 : Révision chapitres 1 et 5
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = 2 −
2 (1 − x )
, et on note C f
x2 + 1
1) Justifier que la fonction f est bien définie sur .
Il ne faut pas que le dénominateur soit nul. Or pour tout réel x , on a x 2 ≥ 0 donc x 2 + 1 ≥ 1 > 0 . Puisque le
dénominateur ne peut pas s’annuler, la fonction est bien définie sur .
2) Démontrer que pour tout x ∈ , on a f ′ ( x ) =
−2 ( x 2 − 2 x − 1 )
(x
2
2
+ 1)
.
Soit x ∈ , on pose
u ( x ) = −2 (1 − x ) = −2 + 2 x
v ( x ) = x2 + 1
On a alors
u′ ( x ) = 2
v′ ( x ) = 2 x
Donc
f ′( x ) = 0 +
f ′( x ) =
f ′( x ) =
f ′( x ) =
u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v′ ( x )
v ( x ) 
2
2 ( x2 + 1 ) − 2x ( −2 + 2 x )
(x
2
2
+ 1)
2 x2 + 2 + 4 x − 4 x2
(x
2
2
+ 1)
−2 x2 + 4 x + 2
(x
2
2
+ 1)
=
−2 ( x2 − 2x − 1 )
(x
2
2
+ 1)
3) Etudier le signe de f ′ ( x ) lorsque x décrit (sous forme de tableau de signe)
Je calcule le discriminant de x 2 − 2 x − 1 :
a =1
b = −2
c = −1
2
∆ = b2 − 4ac = ( −2) − 4 × 1 × ( −1 ) = 4 + 4 = 8 > 0
Donc il y a deux racines :
x1 =
−b − ∆ 2 − 8 2 − 2 2
−b + ∆ 2 + 8 2 + 2 2
=
=
= 1 − 2 et x2 =
=
=
=1+ 2
2a
2
2
2a
2
2
D’où le tableau de signe suivant :
x
−∞
1− 2
2
x − 2x − 1
−2 ( x2 − 2x − 1 )
f ′( x) =
+
-
0
-
−2 ( x2 − 2 x − 1 )
(x
2
2
+ 1)
+∞
1+ 2
0
0
+
0
+
-
0
+
0
-
4) Déterminer l’équation de la tangente T à C f au point A d’abscisse 1.
La tangente T à C f au point A d’abscisse 1 admet une équation du type y = mx + p avec
m = f ′ (1 ) =
−2 (12 − 2 × 1 − 1 )
(1
2
2
+ 1)
=
−2 × ( −2 )
=1
4
Donc y = x + p
Puisque le point A (1; f (1 ) ) = (1;2) ∈ T on a : 2 = 1 + p d’où p = 1
Donc finalement la tangente T à C f au point A d’abscisse 1 admet pour équation y = x + 1
5) On veut montrer qu’il existe un point B de C f tel que la tangente à C f au point B soit parallèle à la
droite ∆ d’équation y = − x .
a. Montrer que le problème revient à résoudre l’équation x 4 + 4 x + 3 = 0 :
Dire que la tangente à un point B de C f d’abscisse x est parallèle à la droite ∆ d’équation y = − x revient
à dire que f ′ ( x ) = −1 , ie.
Or,
−2 ( x2 − 2 x − 1 )
(x
2
2
+ 1)
= −1 .
−2 ( x 2 − 2 x − 1 )
(x
2
2
+ 1)
2
= −1 ⇔ −2 ( x2 − 2 x − 1 ) = −1 ( x2 + 1 )
⇔ −2 x2 + 4 x + 2 = −1 ( x 4 + 2 x2 + 1 )
⇔ −2 x2 + 4 x + 2 = − x 4 − 2 x2 − 1
⇔ x 4 +2 x2 + 1 −2x2 + 4 x + 2 = 0
⇔ x4 + 4 x + 3 = 0
2
b. Vérifier que pour tout x ∈ , x 4 + 4 x + 3 = ( x + 1 ) ( x2 − 2x + 3) :
Il suffit de développer le membre de droite pour voir si on retrouve le membre de gauche :
2
( x + 1)
(x
2
− 2 x + 3) = ( x2 + 2 x + 1 )( x2 − 2 x + 3)
= x 4 −2 x3 + 3x2 +2 x3 − 4 x2 + 6 x + x2 − 2 x + 3
= x4 + 4 x + 3
Pour tout x ∈ on a :
c. Conclure. Vérifier à la calculatrice.
2
x 4 + 4 x + 3 = 0 ⇔ ( x + 1 ) ( x2 − 2 x + 3) = 0
2
⇔ ( x + 1 ) = 0 ou
⇔ x = −1
⇔ x = −1
x2 − 2 x + 3 = 0
ou impossible
Conclusion : il existe un seul point B de C f tel que la tangente à C f au point B soit parallèle à la droite ∆
d’équation y = − x et c’est le point d’abscisse -1 (et d’ordonnée f ( −1) = 0 )
Exercice 4 : Révision chapitre 2
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O;i; j .
(
)
1) Parmi les droites suivantes, lesquelles sont parallèles ? Justifier votre réponse.
d1 :
3x + 3 y + 5 = 0
d2 :
6 x − 12 y − 3 = 0
d3 :
27 x − 3 y + 2 = 0
d1 admet pour vecteur directeur u1 − 3 ;3
d2 admet pour vecteur directeur u2 12 ; 6
d3 admet pour vecteur directeur u3 3; 27
(
(
(
)
)
)
Calculons le déterminant des vecteurs u1 et u2 : −6 3 − 3 12 = −6 3 − 3 × 2 3 = −12 3 ≠ 0 donc d1 et
d2 ne sont pas parallèles.
Calculons le déterminant des vecteurs u2 et u3 : 12 × 27 − 6 × 3 = 2 3 × 3 3 − 18 = 18 − 18 = 0 donc
d2 et d3 sont parallèles.
Par suite, d1 et d3 ne sont pas parallèles.
2) a. Déterminer une équation de la droite passant par A(3 ;1) et B(-2 ; 0)
Un vecteur directeur de cette droite est AB ( −2 − 3; 0 − 1 ) = ( −5; −1 ) .
Donc la droite (AB) admet une équation cartésienne du type ax + by + c = 0 avec −b = −5 et a = −1 , donc
du type : − x + 5 y + c = 0 .
Puisque B ∈ ( AB ) , ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne d’où 2 + c = 0 donc c = −2.
Conclusion : une équation de la droite passant par A et B est − x + 5 y − 2 = 0
b. Le point C(-17 ;-3) est-il aligné avec les points A et B ? Justifier.
C est aligné avec A et B si et seulement si ses coordonnées sont une solution de l’équation de (AB).
Vérifions : − x + 5 y − 2 = − ( −17 ) + 5 × ( −3 ) − 2 = 17 − 15 − 2 = 0
Donc C est bien aligné avec A et B.
c. Calculer l’abscisse du point de la droite (AB) qui a pour ordonnée 2.
On cherche x tel que − x + 5 y − 2 = 0 et y = 2 . On résout donc l’équation :
− x + 5 × 2 − 2 = 0 ⇔ −x + 8 = 0 ⇔ x = 8
L’abscisse du point de la droite (AB) qui a pour ordonnée 2 est 8.
d. Calculer l’ordonnée du point de la droite (AB) qui a pour abscisse 13.
On cherche y tel que − x + 5 y − 2 = 0 et x = 13 . On résout donc l’équation :
−13 + 5 y − 2 = 0 ⇔ 5 y = 15 ⇔ y = 3
L’ordonnée du point de la droite (AB) qui a pour abscisse 13 est 3.
3) Déterminer une équation de la droite passant par E(-1 ;3) et parallèle à la droite d’équation
2x + 3 y − 4 = 0
Un vecteur directeur de cette droite est ( −3; 2 ) .
Donc la droite d cherchée admet une équation cartésienne du type ax + by + c = 0 avec −b = −3 et a = 2 ,
donc du type : 2 x + 3 y + c = 0 .
Puisque E ∈ d , ses coordonnées vérifient l’équation cartésienne d’où 2 × ( −1 ) + 3 × 3 + c = 0 donc c = −7.
Conclusion : une équation de la droite cherchée est 2 x + 3 y − 7 = 0
Exercice 5 : Révision chapitre 5
Sur l'écran du jeu vidéo que montre la figure ci-dessous, on peut voir des avions qui descendent de gauche
à droite en suivant la trajectoire indiquée et qui tirent au rayon laser selon la tangente à leur trajectoire en
direction des cibles placées sur l'axe aux abscisses 1, 2 , 3 et 4.
On sait que la trajectoire de l'avion a pour équation
2 + 1
a. La cible n° 4 sera-t-elle touchée si le joueur tire au moment où l'avion est en (1 ; 3) ?
2x + 1
1
Notons f ( x ) =
=2+ .
x
x
La fonction f est définie et dérivable sur *
1
Et on a pour tout x ∈ * , f ′ ( x ) = − 2
x
Donc la tangente au point de la trajectoire ayant pour abscisse 1 est du type :
1
y = mx + p avec m = f ′ (1 ) = − 2 = −1 donc du type y = − x + p
1
Et puisque le point de coordonnées (1 ;3) appartient à cette droite, on a : 3 = −1 + p , donc p = 4 .
Donc la tangente au point de coordonnées (1 ;3) a pour équation y = − x + 4 .
Le centre de la cible n°4 a pour coordonnées (4 ;0), ce couple est solution de l’équation y = − x + 4 , donc le
laser va toucher la cible.
b. Déterminez l'abscisse de l'avion permettant d'atteindre la cible n° 2 en plein centre.
On cherche x0 tel que (2 ;0) appartienne à la tangente à la trajectoire au point d’abscisse x0 .
=
1
1
donc du type y = − 2 x + p .
2
x0
x0
1
1
2
est solution de l’équation donc 2 +
= − 2 x0 + p ⇔ p = 2 + .
x0
x0
x0
Cette tangente a pour équation y = mx + p avec m = f ′ ( x0 ) = −
On sait que ( x0 ; f ( x0 ) )
Donc la tangente à la trajectoire au point de coordonnées ( x0 ; f ( x0 ) ) a pour équation
1
2
x +2+
2
x0
x0
Et on veut que (2 ;0) soit solution de l’équation donc
−2 + 2x0 2 + 2 x0
2
2
0 = − 2 +2 +
⇔0=
⇔ 2 x0 2 + 2 x0 − 2 = 0 ⇔ x02 + x0 − 1 = 0
x0
x0
x02
Calculons le discriminant de ce trinôme du second degré :
∆ = 12 − 4 × 1 × ( −1 ) = 5 .
y=−
−1 − 5
−1 + 5
et
. La première est négative donc ne convient pas ici (l’avion
2
2
−1 + 5
est au-dessus des cibles). Donc x0 =
0 ,618 est l’abscisse permettant de toucher la cible en
2
plein centre.
Il y a donc deux racines :
Exercice 6 : Révision chapitre 5
= + − 3 + 1
1)
= ² −
1
D f = D f ′ = *
Df = Df ′ = f ′ ( x ) = 5 x 4 + 3x2 − 3
f ′ ( x ) = 2x +
= 5 − 3²
2)
9)
1
x2
= + 2
− 1
10)
Df = Df ′ = Df = Df ′ = f ′ ( x ) = −6 x
f ( x ) = x 3 − x2 + 2 x − 2
f ′ ( x ) = 3x2 − 2 x + 2
= 3)
= 8 − 11)
Df = Df ′ = Df = Df ′ = f ′ ( x ) = 8x7
f ( x ) = 8x − x4
f ′ ( x ) = 8 − 4 x3
4)
=
D f = D f ′ = *
f ′( x) =
−1
x2
1
12)
=
Df = Df ′ = f ( x) =
f ′ ( x) =
f ′ ( x) =
−2 x
x2 + 1
− 2 ( x2 + 1 ) + 2 x × 2 x
(x
2
2 x2 − 2
(x
2
2
+ 1)
2
+ 1)
−2
² + 1
5)
=
3
−3
x2
f ( x) =
f ′ ( x) =
f ′ ( x) =
= √
6)
D f = +
f ′( x) =
1
f ′ ( x) =
= 5√ 7)
4x + 7
2
( x + 1)
= 3 −
2
+1
2x
x +1
−2 ( x + 1 ) + 2 x
5
f (x) =
2 x
f ′( x) =
=
+
*
−1
2x x
−2
2
( x + 1)
=
2 + 4
+1
D f = D f ′ = − {−1}
D f ′ = *+
8)
2
( x + 1)
15)
f ′( x) =
f ′( x) =
2
( x + 1)
f ( x) = 3−
2 x
Df = Df ′ = 2x + 5
x +1
2 ( x + 1) + 2x + 5
14)
f ′ ( x) =
f ′( x) =
2 + 5
+1
D f = D f ′ = − {−1}
D f ′ = *+
D f = +
=
D f = D f ′ = − {−1}
Df = Df ′ = f ′( x) =
13)
1
2 x3 + 8 x
x +1
6
( x + 8 )( x + 1 ) − 2 x3 − 8 x
2
( x + 1)
−2 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 8
2
( x + 1)
16)
=
√
2
+ 1
²
D f = D f ′ = − {−1}
f ( x) =
f ′( x) =
f ′( x) =
2x
x + 2x + 1
2 ( x2 + 2 x + 1 ) − 2 x ( 2 x + 2 )
2
( x + 1)
− 2 x2 + 2
( x + 1)
4
4
17)
=
1
+1
18)
D f = D f ′ = − {−1}
+ + 1
− 1
+2
D f = D f ′ = − {−2}
−1
f ′( x) =
=
f ( x) =
2
( x + 1)
f ′ ( x) =
f ′ ( x) =
x 5 + x2 − x − 1
x +1
4
( 5 x + 2 x − 1 ) ( x + 1 ) − x 5 − x2 + x + 1
2
( x + 1)
4 x5 + 5 x 4 + x2 + 2 x
2
( x + 1)
= − 3 + 2
19)
Df = Df ′ = f ( x ) = ( x2 − 3x 4 + 2)( x2 − 3 x 4 + 2)( x2 − 3x 4 + 2)
f ( x ) = ( x 4 − 3x6 + 2x2 − 3 x6 + 9 x8 − 6 x 4 + 2 x2 − 6 x 4 + 4 )( x2 − 3 x 4 + 2 )
f ( x ) = ( 9 x8 − 6 x6 − 11 x 4 + 4 x2 + 4 )( −3x 4 + x2 + 2 )
f ( x ) = −27 x12 + 9 x10 + 18 x8 + 18 x10 − 6 x8 − 12 x 6 + 33 x8 − 11 x 6 − 22 x 4 − 12 x6 + 4 x 4 + 8 x2 − 12 x 4 + 4 x2 + 8
f ( x ) = −27 x12 + 27 x10 + 45 x8 − 35 x6 − 30 x 4 + 12 x2 + 8
f ′ ( x ) = −324 x11 + 270 x9 + 360 x 7 − 210 x5 − 120 x3 + 24 x
20)
=
2
+1
21)
D f = D f ′ = − {−1}
f ′( x) =
Df = Df ′ = f ( x ) = ( 4 x2 + x − 5 )( 4 x2 + x − 5 )
2 ( x + 1) − 2x
f ′( x) =
2
( x + 1)
f ( x ) = 16 x 4 + 4 x3 − 20 x2 + 4 x3 + x2 − 5 x − 20 x2 − 5 x − 25
2
f ( x ) = 16 x 4 + 8 x3 − 39 x2 − 10 x − 25
2
( x + 1)
f ′ ( x ) = 64 x3 + 24 x2 − 78 x − 10
= + − 1
√
22)
Df = +
D f ′ = *+
f ( x ) = ( x2 + x − 1 ) x
f ′ ( x ) = ( 2 x + 1 ) x + ( x2 + x − 1 ) ×
f ′( x) =
= 4 + − 5
²
(2 x + 1 )
2 x
x × 2 x + ( x + x − 1)
2
2 x
4 x + 2x + x + x − 1
f ′( x) =
2 x
2
5 x + 3x − 1
f ′( x) =
2 x
2
1
2