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Reproduction, représentation et diffusion interdites. Loi 92.597 du 1er juillet 1992
Correction du devoir 7
DEVOIR 7 – CORRECTION
Correction des exercices sur les systèmes d’équations
Résoudre les systèmes d’équations suivants :
A)
(a)
X + Y = 20


3X + 5Y = 78 (b)

Deux méthodes de résolution :
- par combinaison :
(a) × 3 : 3X + 3Y = 60 (a’)
(b) – (a’) : 3X – 3X + 5Y – 3Y = 78 – 60
2Y = 18
18 2/ × 9
Y=
=
2
2/
Y = 9 (b’)
On injecte ensuite (b’) dans (a) : X + 9 = 20
X = 20 – 9
X = 11
- par substitution :
X = 20 – Y (a’)
On remplace X dans (b) avec la valeur trouvée par (a’) : 3 × (20 – Y) + 5Y = 78
3 × 20 – 3Y + 5Y = 78
60 + 2Y = 78
2Y = 78 – 60 = 18
18 2/ × 9
Y=
=
2
2/
Y = 9 (b’)
On injecte ensuite (b’) dans (a) : X + 9 = 20
X = 20 – 9
X = 11
 X + 2Y = 18 (a)

B) 
5X + 4Y = 66 (b)

Deux méthodes de résolution :
- par combinaison :
(a) × 2 : 2X + 4Y = 36 (a’)
(b) – (a’) : 5X – 2X + 4Y – 4Y = 66 – 36
3X = 30
30 3/ × 10
X=
=
3
3/
X = 10 (b’)
On injecte ensuite (b’) dans (a) : 10 + 2Y = 18
2Y = 18 – 10
2Y = 8
8 2/ × 4
Y= =
2
2/
Y=4
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Correction du devoir 7
par substitution :
X = 18 – 2Y (a’)
On remplace X dans (b) avec la valeur trouvée par (a’) : 5 × (18 – 2Y) + 4Y = 66
5 × 18 – 5 × 2Y + 4Y = 66
90 – 10Y + 4Y = 66
90 – 6Y = 66
90 – 66 = 6Y
24 = 6Y
6Y= 24
24 6/ × 4
Y=
=
6
6/
Y = 4 (b’)
On injecte ensuite (b’) dans (a) : X + 2 × 4 = 18
X + 8 = 18
X = 18 – 8
X = 10
5
7
3
10 X + 6 Y = 10 (a)

C) (S1) 

31
(b)
3X + 7Y = 5

Résolution par combinaison uniquement :
Nous cherchons à supprimer les dénominateurs de l’équation (a)
PPCM(10,6,10) = PPCM(10,6) = 2 × 3 × 5 = 30
(a) × 2 × 3 × 5 : 9X + 25Y = 21 (a’)
Nous cherchons à supprimer les dénominateurs de l’équation (b)
(b) × 5 : 15X + 35Y = 31 (b’)
Nous avons donc le nouveau système d’équations ci dessous (qui est équivalent à S1)
(a' )
 9X + 25Y = 21


15X + 35Y = 31 (b' )

Nous voulons annuler les X donc nous cherchons le PPCM(15,9) = 3 × 3 × 5
(a’) × 5 : 45X + 125Y = 105 (a’’)
(b’) × 3 : 45X + 105Y = 93 (b’’)
(a’’) – (b’’) : 45X – 45X + 125Y – 105Y = 105 – 93
20Y = 12
12 4/ × 3
Y=
=
20 4/ × 5
3
Y = (b' ' ' )
5
3
3
On injecte Y = dans (b’) : 15X + 35 × = 31
5
5
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5/ × 7 × 3
= 31
5/
15X + 21 = 31
15X = 31 – 21
15 X = 10
10 2 × 5/
X=
=
15 3 × 5/
2
X=
3
15X +


 (a) × 3 : 6X + 21Y = 6 (a' )
 2X + 7Y = 2 (a)


D) 
⇒


31
31
3X + 5Y = 14 (b)
(b) × 2 : 6X + 10Y = 7 (b' )

(a) - (b) : 6X − 6X + 21Y − 10Y = 6 −
6 × 7 31
−
7
7
42 − 31
11Y =
7
11
11Y =
7
11
Y=
7 × 11
1
Y=
7
1
1
On injecte Y = dans (a) : 2X + 7 × = 2
7
7
2X + 1 = 2
2X = 2 –1
2X = 1
1
X=
2
Problèmes à résoudre :
31
7
11Y =
Problème 1
Un VRP est payé X€ (salaire de base) et pour chaque nouveau contrat il a une prime de Y€. Le
premier mois de l’année il a eu 7 nouveaux contrats et il a été payé 2035€. Le mois suivant, il a
eu 10 nouveaux contrats et il a été payé 2350€.
Quels sont son salaire de base et le montant de la prime pour un nouveau contrat ?
Les équations correspondant à ce système (avec X le salaire de base et Y le montant de la prime)
sont :
X + 7Y = 2035 (a)


X + 10Y = 2350 (b)

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(b) – (a) : X – X + 10Y – 7Y = 2350 – 2035
3Y = 315
315 3/ × 105
Y=
=
3
3/
Y = 105
On injecte la valeur de Y dans (a) : X + 7 × 105 = 2035
X + 735 = 2035
X = 2035 – 735
X = 1300
Le salaire de base de ce VRP est donc de 1200€ et ses primes pour un nouveau contrat de 105€.
Problème 2
Dans un troupeau composé de dromadaires (une bosse) et de chameaux (deux bosses), nous
avons comptabilisé 279 bosses et 200 têtes. Combien ce troupeau comporte-t-il de chameaux et
de dromadaires ?
Les équations correspondant à ce système (avec X le nombre de dromadaires et Y le nombre de
chameaux) sont :
 X + 2Y = 279 (a)


X + Y = 200 (b)

(a) – (b) : X – X + 2Y – Y = 279 – 200
Y = 79 (a’)
On injecte la valeur de Y dans (b) : X + 79 = 200
X = 200 – 79
X = 121
Il y a 121 dromadaires et 79 chameaux dans le troupeau.
Problème 3
Dans un hôtel le prix de la chambre simple est de 20€ et celui de la chambre double est de 35€.
Le gérant a constaté qu’il a loué 102 chambres pour une somme de 2205€ hier. Combien de
chambres doubles a t-il loué hier ?
Les équations correspondant à ce système (avec X le nombre de chambres simples et Y le
nombre de chambres doubles) sont :
20X + 35Y = 2205 (a)


X + Y = 102
(b)

(b) × 20 : 20X + 20 Y = 2040 (b’)
(a) – (b’) : 20X – 20X + 35 Y – 20 Y = 2205 – 2040
15 Y= 165
165 15 × 11
Y=
=
15
15
Y = 11
On injecte la valeur de Y dans (b) : X + 11 = 102
X = 102 – 11
X = 91
Le gérant de cet hôtel a donc loué 11 chambres doubles et 91 chambres simples.
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