concours commun hecescpescl 1995 mathématiques ii

CONCOURS COMMUN H.E.C. E.S.C.P. E.S.C.L. 1995
MATHÉMATIQUES II
OPTIONS: ÉCONOMIQUE ET TECHNOLOGIQUE
Ce problème est consacré à l’étude de la loi de Pareto (ViIfredo Pareto 1848-1923).
La première partie étudie les propriétés de cette loi. On montre ensuite, sur un exemple, comment elle
permet de modéliser de façon très satisfaisante des phénomènes rencontrés en démographie. Les revenus
d’une population sont aussi très bien modélisés par une loi de Pareto, et on compare deux modes de calcul
d’impôts sur des revenus suivant une loi de Pareto. La seconde partie est l’étude de l’indice d’inégalité de
Gini dans le cas d’une loi de Pareto.
Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont à valeurs réelles.
PARTIE I. La loi de Pareto.
Dans tout le problème et x0 désignent deux nombres réels strictement positifs.
On dit qu’une variable aléatoire réelle X suit une loi de Pareto de paramètres et x0 si X, à valeurs dans
[x0 ; +1[, admet pour densité la fonction f dé…nie par :
(
f (x) = 0
8x < x0
x0
8x x0
f (x) =
x +1
On écrit alors que X suit V P ( ; x0 ).
A. Quelques résultats probabilistes.
1. Soit X une variable aléatoire suivant V P ( ; x0 ).
a) f est continue par morceaux sur R (x +1 6= 0 pour x x0 > 0) et positive.
R +1
f est impropre en 1:
R x1
R x0
0
f
=
0 converge et vaut 0.
1
1
Z M
Z M
M
x0
x0
x
x0
f =
dx =
+ 0 ! 1 quand M ! +1 car
=
+1
x
x x=x0
M
x0
x0
0
R x+1
f converge et vaut 1.
x0
R +1
Donc 1 f = 1 et f est bien une densité de probabilités.
Z x
b) On a F (x) =
f donc
1
Rx
pour x < x0 on a F (x) = 1 0 = 0 et
R x0
Rx
pour x x0 : F (x) = 1
0 + x0 f = 1
Pour x
x0 ; ln (1
F (x)) = ln
x0
x
=
x0
=1
x
ln (x0 )
x0
x
ln (x) car x et x0 > 0
2. Soit X une variable aléatoire suivant V P ( ; x0 ) :
R +1
a) X admet une espérance si 1 x f (x) dx converge (impropre en
R x0
R x0
x
f
(x)
dx
=
0=0
1
1
1)
> 0 donc
Z
+1
x f (x) dx =
x0
Et pour
> 1 :
Z
+1
x0
Z M
x0
dx intégrale de Rieman qui converge si et seulement si
x
x f (x) dx =
x0
quand M ! +1 car
x0
1x 1
>0
M
=
x=x0
1
x0
M
1
x0
x0 1
>1
!
x0
1
x0
1
b) X
admet une variance si et seulement si elle a une espérance ( > 1) et si X 2 en a une : si
R +1
x2 f (x) dx converge.
R x1
R x0
0
2
x
f
(x)
dx
=
0=0
1
1
Z +1
Z +1
x0
x2 f (x) dx =
dx intégrale de Rieman qui converge si et seulement si
1>1
x 1
x0
x0
Z M
M
x0
x0
x0
x20
x2 f (x) dx =
Et pour > 2 :
=
!
2 x 2 x=x0
2 M 2 x0 2
2
x0
quand M ! +1 car > 0
x20
2
2
Donc X a une espérance si et seulement si > 2 et E (X ) =
2
2
2
2
2
x0
x0
2 +1
+2
2
D’où, X a une variance ssi > 2 et V (X) =
= x0
=
2
1
(
2) (
1)2
x20
(
2) (
1)2
donc X a une espérance si et seulement si
> 1;et E (X) =
3. Soient une variable aléatoire X suivant V P ( ; x0 )
La fonction de répartition G de Y = X est dé…nie par G (x) = p (Y
x) = p ( X
p (X x= ) car > 0
= F (x= ) avec F la fonction de répartition de X: Donc
pour x= < x0 i.e. x
pour x
x0 on a G (x) = 0 et
x0 : G (x) = 1
x0
=1
(x= )
( x0 )
x
et on reconnait là, la fonction de répartition de V P ( ; x0 ) (avec
x0 > 0 ).
Conclusion : Y suit la loi V P ( ; x0 ). Donc Y suit cette loi.
4. Soit une variable aléatoire W qui suit une loi exponentielle de paramètre
> 0:
Soient k un nombre réel strictement supérieur à 1 et x0 un nombre réel strictement positif.
La fonciton de répartition de T = x0 k W est G dé…nie par G (x) = p (T
x) = p x0 k W
On résout :
x0 k W
x
= k W x=x0 car x0 > 0
= (W ln (k) ln (x=x0 )) si x > 0 car x=x0 du signe de x
ln (x=x0 )
car ln (k) > 0 car k > 1 donc
=
W
ln (k)
Donc
si x
0 alors G (x) = 0
x
x) =
ln (x=x0 )
ln (k)
si 0 < x alors ln (x=x0 ) < 0 et G (x) = p W
=F
ln (x=x0 )
avec F la fonction
ln (k)
de répartition de W
On a alors le choix de chercher la fonction de répartition de la loi exponentielle ou de revenir au
théorème caractérisant les fonctions de répartitions de variables à densité :
Comme W est à densité, F est continue sur R et tend vers 0 en -1:
Donc G est continue sur ] 1; 0] et sur ]0; +1[
En 0+ : quand x ! 0 on a ln (x=x0 ) !
en 0+ donc sur R.
1 et donc F
ln(x=x0 )
ln(k)
! 0 = G (0) donc G est continue
Comme F est C 1 sur R alors G est C 1 sur R n fx0 g (le point pour lequel ln (x=x0 ) = 0 )
Donc T est à densité de densité
g (x) = G0 (x) = 0 sur ] 1; 0[ et
g (x) = F 0
ln (x=x0 )
ln (k)
1 1
=f
ln k x
ln (x=x0 )
ln (k)
1 1
pour x > 0 et x 6= x0
ln (k) x
– Pour 0 < x < x0 on a ln (x=x0 ) < 0 et donc g (x) = 0
– Pour x > x0 : g (x) =
e
ln(x=x0 )
ln k
Finalement on reconnait la densité de V P
Conclusion : T suit la loi P
ln(k)
1 1
=
ln k x
ln(k)
x0
x
= ln k
= ln k
1 1
x0
=
ln k x
ln k x = ln k+1
; x0 la fonction de répartition d’une variable à densité
; x0 .
5. Soit une variable aléatoire X suivant V P ( ; x0 ).
p
La probabilité que X soit dé…nie est de 1 car la densité de X est nulle sur R
p
Soit G la fonction de répartition de X, et F celle de X:
p
X x donc
G (x) = p
si x < 0 on a G (x) = 0
si x
0 on a G (x) = p (X
x2 ) = F (x2 ) =
8
<
: 1
0
si x2 < x0 i.e. 0
p
x0
x0
=
1
x2
x2
p
x0
p
si x
x0
x<
2
p
p
et on reconnait que la fonction de répartition de X est celle de V P 2 ; x0
p
p
Conclusion : Donc la loi de X est V P 2 ; x0
B. Propriété caractéristique de la loi de Pareto.
Soient
R +1 une variable aléatoire X de densité f , admettant une espérance, et un nombre réel x tel que
f (t) dt 6= 0:
x
R +1
t f (t) dt
.
On appelle moyenne de X sur [x; +1[ le nombre réel M (x) égal à Rx +1
f (t) dt
x
1. (M (x) x) ()
non nul et positif)
R +1
x
t f (t) dt
x
R +1
x
f (t) dt car le dénominateur est strictement positif. (puisque
On doit donc comparer deux intégerales x
contenus :
R +1
x
f (t) dt =
R +1
x
x f (t) dt et donc on compare leurs
RN
Pour t
x on a t f (t)
x f (t) car f (t)
0 donc en intégrant pour N
x; x t f (t) dt
RN
x f (t) dt
x
R +1
R +1
f
(t)
dt
converge
car
f
est
une
densité
et
t f (t) dt car X a une densité.
1
1
R +1
R +1
Donc par passage à la limite dans les inégalités quand N ! +1, x t f (t) dt
x f (t) dt =
x
R +1
R +1
t f (t) dt
x x f (t) dt d’où Rx +1
x et
f
(t)
dt
x
Conclusion : M (x)
x pour tout réel x
2. Dans cette question on suppose que la variable X suit V P ( ; x0 ) avec > 1.
R +1
Pour tout x 2 R on a x f (t) dt = 1 F (t) 6= 0: (avec F la fonction de répartition de X )
Z +1
x
x0
f (t) dt = 0
et
Pour x x0 ; F (x) = 1
x
x
x
Z
N
t f (t) dt =
x
x
=
!
et M (x) =
x0
1x 1 =
x0
x
Z
1
N
N
x0
x0
dt =
t
1 t 1 t=x
x0
x0
1
1 N
x 1
Z +1
x0
t f (t) dt
=
1x 1
x
x
3. Réciproquement soient un nombre réel x0 strictement positif et une variable aléatoire X à valeurs
dans [x0 ; +1[, (i.e. p (X < x0 ) = 0)
de densité f (donc f = 0 sur ] 1; x0 [ )
continue (donc sa fonction de répartition est C 1 )
et à valeurs strictement positives sur [x0 ; +1[ (donc ,
R +1
x
f (t) dt 6= 0)
admettant une espérance et telle qu’il existe un réel k > 1 tel que : M (x) = k x 8x
x0
On se propose d’établir que X suit une loi de Pareto à deux paramètres.
R +1
R +1
On pose, pour x x0 ; G (x) = x f (t) dt, et H (x) = x t f (t) dt on remarque que M (x) =
H(x)
G(x)
R +1
R +1
Rx
a) G (x) = x f (t) dt = x0 f (t) dt
f (t) dt et comme f est continue sur [x0 ; +1[ alors g
x0
0
est dérivable sur R et G (x) = f (x)
De même H est dérivable sur [x0 ; +1[ et H 0 (x) = x f (x)
b) pour x
x0 ;Comme M (x) = k x alors H (x) = k x G (x) donc H 0 (x) = k (x G0 (x) + G (x))
et x f (x) = k (x G0 (x) + G (x)) avec G0 (x) = f (x) donc x G0 (x) = k (x G0 (x) + G (x)) et
x (1 k) G0 (x) = kG (x)
Conclusion : G (x) =
1 k
x G0
k
(x) pour tout x 2 [x0 ; +1[
c) Pour x
k
x0 , on pose I (x) = x k 1 G (x) :
I est dérivable sur [x0 ; +1[ et I 0 (x) =
k
k
x k 1 1 G (x)
k 1
paraître la relation précédente I 0 (x) = x k
k
1
k
1
k
1
k
+ x k 1 G0 (x) dans laquelle on fait réap1 k 0
G (x)
xG (x) = 0
k
k
k
Donc
R x0 sur [x0 ; +1[ et vaut donc sa valeur en x0 : x0
R +1 I est constante
f (t) dt = 1
f (t) dt = 1
1
x0
k
Donc G (x) =
x0k
G (x0 ) avec G (x0 ) =
k
1
k
1
et p (X
x) = 1
G (x) = 1
x0k
1
k
xk 1
xk 1
d) Donc la fonction de répartition de X est celle de V P k k 1 ; x0 sur [x0 ; +1[ est nulle sur ] 1; x0 [
par hypothèse.
Conclusion : La loi de X est V P
k
; x0
k 1
C. Un exemple statistique : la démographie.
Des statistiques sur la démographie du département des Ardennes en 1962 indiquent la répartition de la
population des 450 communes de ce département.
On note :
x : Nombre d’habitants,
N (x) : Nombre de communes possédant plus de x habitants,
et on dispose du tableau suivant :
x
1800
1300
700
380
250
180
140
110
85
60
N (x)
20
30
50
100
150
200
250
300
350
400
Ces données sont représentées dans le graphique …gurant sur la page 5 (sur papier ln ln) de l’énoncé,
graphique qui n’est pas à reproduire sur la copie.
Le graphique représente les points d’abscisse In (x) et d’ordonnée In N (x) pour les valeurs x du tableau.
Une étude statistique permet d’estimer que ce nuage de points peut être modélisé par une droite D (…gurant
sur le graphique)
1. Lire, sur le graphique, le coe¢ cient directeur de D.
2. Expliquer pourquoi on peut modéliser la distribution de la taille des communes par une loi de Pareto
à deux paramètres V P ( ; x0 )
3. Donner, d’après le graphique, une valeur approchée de a.
D.Comparaison de deux modes d’imposition sur le revenu.
Soient X une variable aléatoire de densité f , g une fonction continue sur R et Y la variable aléatoire dé…nie
par Y = g (X).
Z
+1
g (x) f (x) dx est absolument convergente, alors Y admet une espérance
On admet que si l’intégrale
1
E (Y ) donnée par la valeur de cette intégrale.
Dans cette partie, X représente la valeur du revenu d’un individu d’une population donnée. On suppose
que X est une variable aléatoire qui suit V P ( ; x0 ) avec > 1.
Y représente la valeur de l’impôt correspondant, fonction du revenu X. On désire que l’impôt ne touche
que les revenus supérieurs ou égaux à h, h réel donné tel que h x0 .
1. Calcul d’un impôt proportionnel.
2. Soient p un nombre réelstrictement compris entre 0 et 1 et g1 la fonction dé…nie sur R par
g1 (x) = 0
8x < h
g1 (x) = p (x h) 8x h
On pose Y1 = g1 (X).
g1 est continue sur ] 1; h[ et sur [h; +1[ : En h on a : g (x) = 0 ! 0 = g (h) quand x ! h donc
g1 est continue sur R:
R +1
Donc d’après la propriété donnée par l’énnoncé, si 1 g1 (x) f (x) dx converge absolument alors Y1
a une espérance :
Et comme g1 0 et f 0 sur R; la convergence équivaut à l’absolue convergence.
R +1
g (x) f (x) dx est impropre en 1 et
1 1
Rh
Z
g (x) f (x) dx =
1 1
+1
Rh
g1 (x) f (x) dx =
0 dx = 0
1
+1
Z
p (x
x0
dxcar h
x +1
h)
h
h
Z
h
M
p (x
x0
h)
dx = p x0
x +1
Z
h
= p x0
! p x0
Donc l’intégrale est
une espérance.
R +1
1
Conclusion : E (Y1 ) =
(
jg1 (x) f (x)j dx =
p x0
1) h
M
x0
1
h
1
1
1 h
+
dx = p x0
+1
1
x
x
1x
x
1
1
1 h
1
1
1 1
+
+
1
1
1M
M
1h
h 1
1
1
1 1
p x0
=
1
1
1h
h
(
1) h 1
R +1
1
M
h
g1 (x) f (x) dx est absolument convergente et Y1 a
1
3. Calcul d’un impôt progressif.
On dit que l’impôt est progressif si le quotient de l’impôt par le revenu est une fonction croissante
du revenu.
Soit m 2 ]0; 1[ et, q un réel strictement positif.
On dé…nit la fonction g2 sur R par
8
<
g2 (x) = 0
x h
: g2 (x) = m
x
On pose Y2 = g2 (X)
8x < h
q
x 8x
h
a) Pour savoir si l’impôt est progressif, il faut étudier les variation de p (x) = g2 (x) =x pour x > 0
g2 est continue sur R+ (en h car g2 (h) = 0 car q > 0 ) donc p également.
p est constante sur ]0; h]
q
q 1
x h
x (x h)
x h
0
et p est dérivable et p (x) = m q
=
sur ]h; +1[ et p (x) = m
x
x
x2
q 1
x h
h
mq
>0
x
x2
Donc le quotient de l’impôt par le revenu est une fonction croissante du revenu et
Conclusion : l’impôt est bien progressif
Quand x ! +1; on a
x
h
x
q
! 1 donc g2 (x) s m x: et
Conclusion : m est le taux d’imposition asymptotique quand le revenu tend vers +1
b) Montrer que g2 est continue et que Y2 admet une espérance. À l’aide du changement de variable
x h
u=
; prouver que :
x
Z
m x0 1 q
u (1 u) 2 du
E (Y2 ) =
1
h
0
c) En intégrant par parties, calculer E (Y2 ) pour q 2 N .
4. On suppose encore dans cette question que q est un entier strictement positif.
p
Déterminer le quotient , en fonction de et q, de sorte que E (Y1 ) = E (Y2 )
m
PARTIE II. Courbe de concentration et inégalité des revenus.
La Courbe de concentration est une courbe statistique introduite par Lorentz et développée par Gini pour
rendre compte de l’inégalité de la distribution des revenus.
On désigne par Fx la proportion des individus d’une population donnée ayant un revenu inférieur ou égal
à x et par Qx le quotient de la masse des revenus de ces mêmes individus par la masse totale des revenus
de la population.
On appelle courbe de concentration la représentation graphique de la fonction C donnant Qx en fonction
de Fx .
Dans toute la suite , X est une variable aléatoire qui représente le revenu d’un individu de cette population.
On suppose que X suit V P ( ; x0 ) avec > 1.
Z x
1
t f (t) dt
On note F la fonction de répartition de X, E (X) son espérance et on pose Q (x) =
E (X) x0
pour x x0 .
On appelle indice d’inégalité de Gini de la variable X le réel I (x) qui est égal à deux fois l’aire située entre
la courbe de
concentration de X et la première bissectrice.
C’est à dire : I (x) = 2
Z
1
(t
C (t)) dt.
0
On estime que plus I (x) est grand, plus l’inégalité des revenus est grande.
1.
a) Calculer Q (x) pour x
x0 .
1
b) On pose C (t) = 1 (1 t)
pour t 2 [0; 1[ et C (1) = 1
Véri…er que (C F ) (x) = Q (x) pour x x0 :
Ainsi la courbe représentative de C est la courbe de concentration de X.
c) Étudier les variations de C et tracer son graphe dans un repère orthonormé en précisant les
tangentes aux deux extrémités.
d) Prouver que : C (t) t 8t 2 [0; 1].
Cette inégalité n’était-elle pas prévisible sans calcul ?
e) Déterminer si on sait que 30% des individus ayant les plus hauts revenus se partagent 60%
de la masse des revenus.
Dans la suite n’est plus supposé égal à cette valeur.
1
.
f) Montrer que I (x) =
2
1
2. On prélève sur tous les revenus un impôt proportionnel au revenu c’est à dire que, si Y désigne le
revenu disponible après imposition, Y = (1
) X avec 2 ]0; 1[.
a) Calculer I (Y ). On pourra utiliser les résultats de I.A.3.
b) Quel est l’e¤et de cette imposition sur l’inégalité des revenus ?
3. On prélève sur tous les revenus
un impôt progressif tel que, si T désigne le revenu disponible après
p
imposition, on ait T = h X (h désignant un réel positif).
a) À l’aide de la partie I, déterminer la loi de T et calculer I (T ).
b) Quel est l’e¤et de cette imposition sur l’inégalité des revenus ?