TD : Chariot filoguidé

Sciences Industrielles de l’Ingénieur
CPGE - Saint Stanislas - Nantes
TD : Chariot filoguidé
1- Présentation
Mise en situation
Le chariot filoguidé est utilisé dans le domaine de la transitique
(mouvement de marchandises sans conducteur humain). Il suit le champ
magnétique d’un fil parcouru par un courant, et se déplace de poste de travail
en poste de travail suivant les ordres qu’il reçoit. Il est constitué d’un châssis
en aluminium et d’un carter en matière plastique. Il se déplace au moyen de
trois roues: deux roues libres en rotation situées à l’arrière, et une roue
motrice et directrice située à l’avant.
Pour suivre le champ
magnétique du fil, il faut :
contrôler l’avancement du
chariot (asservissement en
vitesse de la roue motrice)
contrôler la trajectoire de la
roue (asservissement en
orientation de la roue
motrice).
Notre étude se limite à l’étude de l’asservissement en vitesse de ce petit chariot filoguidé de
laboratoire qui a une masse totale de mC = 7,5 kg.
Présentation du système d’asservissement en vitesse du chariot
La carte de commande de l’asservissement en vitesse de la roue motrice reçoit une consigne de
vitesse vC(t) qui est transformée en tension de consigne uC(t) par un adaptateur qui est un gain pur KA.
Cette tension uC(t) est comparée à la tension um(t) image de la vitesse de rotation de l’arbre moteur ωm(p).
Le capteur tachymétrique délivrant cette tension um(t) est un gain pur KT = 0,015 V.s.rad−1.
Puis l’écart ε(t) entre ces deux
tensions est corrigé par un correcteur
pour obtenir une tension u(t) qui
alimente le moteur à courant continu
de cet asservissement.
La fonction de transfert du
correcteur de la carte de commande est
notée C(p).
Le moteur dont l’arbre tourne à la vitesse ωm(t) entraine, via un réducteur à engrenages de rapport
de transmission KR = 4,875.10−3, la roue motrice dont le rayon est de r = 40 mm. Cette roue roulant sans
glisser sur le sol, le mouvement de rotation de la roue à la vitesse ωR(t) est ainsi transformé en
mouvement de translation du chariot à la vitesse v(t).
Le moteur à courant continu de cet asservissement à une résistance interne de R = 3,51 Ω, et une
inductance négligeable. Les constantes de couple et de force contre-électromotrices de ce moteur sont de
KC = 0,0144 N.m.A−1 et KE = 0,0144 V.s.rad−1.
L’inertie de l’ensemble des pièces en mouvement de ce chariot et le frottement visqueux ramenés
sur l’arbre moteur sont respectivement de Jeq = 2,5.10−5 kg.m2 et de f = 2,5.10−6 N.m.s.rad−1.
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Modélisation de l’asservissement
La modélisation en fonction des constantes du système conduit au schéma bloc suivant :
Inc(p)
-mc.g.r.KR
Moteur
VC(p)
ε(p)
UC(p)
KA
Cr(p)
+
U(p)
C(p)
-
Adaptateur
+
KC
R
-
Correcteur
Cm(p)
+
+
1
f + Jeq.p
E(p)
Ωm(p)
ΩR(p)
V(p)
KR
r
Réducteur
Roue
KE
Um(p)
KT
Tachymètre
A partir des valeurs numériques (unités SI) données ci-dessus on en déduit le schéma bloc suivant :
Inc(p)
VC(p)
KA
Cr(p)
ε(p)
UC(p)
+
U(p)
C(p)
-
-0,0143
Cm(p)
+
4,1.10-3
-
+
+
1
2,5.10-6+2,5.10-5.p
Ωm(p)
V(p)
1,95.10-4
E(p)
0,0144
Um(p)
0,015
Cahier des charges de l’asservissement
Le cahier des charges précise les exigences suivantes sur les performances attendues.
Id.1- En réponse à un échelon de consigne sur un sol horizontal, l’asservissement doit avoir :
Id.1.1- Une erreur statique indicielle inférieure à 10%
Id.1.2- Un temps de réponse à 5% inférieur à 2 s
Id.1.3- Un dépassement maximal de la valeur finale inférieur ou égal à 5%.
Id.2- Pour une inclinaison de 20% la vitesse du chariot doit variée de moins de 5 mm.s−1.
Id.3- Pour un échelon de consigne de 0,2 m.s−1 l’accélération du chariot doit rester inférieure à 2 m.s−2.
Objectif de l’exercice
L’objectif est de dimensionner le correcteur afin que cet asservissement réponde aux différentes
exigences du cahier de charges précisées ci-dessus.
Travail demandé
1- Dimensionnement de l’adaptateur
Lorsque la vitesse du chariot v(t) est égale à la vitesse de consigne vC(t), l’écart ε(p) à l’entrée du
correcteur est également nul. Déterminer la valeur numérique en V.s.m−1 du gain KA de l’adaptateur.
2- Expression de la fonction symbolique de sortie : V(p)
On note H1(p) la fonction de transfert entre la consigne et la réponse lorsque le chariot est sur un sol
horizontal : Inc(p) = 0. On note également H2(p) la fonction de transfert entre l’inclinaison du sol et la
réponse lorsque la consigne est nulle : VC(p) = 0.
Donner l’expression symbolique de la réponse V(p)en fonction de H1(p), H2(p), VC(p) et Inc(p).
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3- Choix d’un correcteur proportionnel.
Dans cette partie on suppose que le correcteur est un gain pur KP. On a donc : C(p) = KP
3.1- Calculer les fonctions de transfert H1(p) et H2(p). Ces fonctions de transfert seront données
numériquement (unités SI) sous leur formes canoniques et en fonction du gain du correcteur KP.
3.2- Donner l’ordre et les éléments caractéristiques de ces deux fonctions de transfert. Les éléments
caractéristiques de ces fonctions de transfert, gain statique etc…, seront donnés sous une forme numérique
en fonction du gain du correcteur : KP.
3.3- Déterminer la condition sur le gain du correcteur KP permettant de satisfaire à l’exigence Id.1.1
du cahier des charges : Erreur statique indicielle inférieure à 5%.
3.4- Pour la valeur minimale du gain KP répondant à l’exigence Id.1.1, dire en justifiant votre
réponse si les exigences Id. 1.2 (temps de réponse inférieur à 2s) et Id.1.3 (Dépassement de la valeur
finale inférieure ou égal à 5%) sont satisfaites.
3.5- Pour cette même valeur du gain KP, dire en justifiant votre réponse si l’exigences Id.2
(variation de moins de 5 mm.s−1 de la réponse dans une pente de 20%) est satisfaite.
3.6- Déterminer la condition sur le gain du correcteur KP permettant de satisfaire à l’exigence Id.3
du cahier des charges : Accélération maximale du chariot aMax inférieure à 2 m.s−2 pour un échelon de
consigne de 0,5 m.s−1.
3.7- Conclure sur la possibilité de répondre au cahier des charges avec un correcteur proportionnel.
4- Choix d’un correcteur intégral.
Dans cette partie on suppose que le correcteur est un intégrateur de gain KI. On a donc : C(p) =
KI
p
4.1- Calculer les fonctions de transfert H1(p) et H2(p). Ces fonctions de transfert seront données
numériquement (unités SI) sous leur formes canoniques et en fonction du gain du correcteur KI.
4.2- Donner l’ordre et les éléments caractéristiques de la fonction de transfert H1(p). Les éléments
caractéristiques de cette fonction de transfert, gain statique etc…, seront donnés sous une forme
numérique en fonction du gain du correcteur : KI.
4.3- En justifiant votre réponse, dire si avec un correcteur intégral l’exigence Id.1.1 est satisfaite.
4.4- En justifiant votre réponse à partir du théorème de la valeur finale, dire si avec un correcteur
intégral l’exigence Id.2 est satisfaite. Conclure sur l’intérêt du correcteur intégral pour cet asservissement.
4.5- Déterminer la valeur du gain du correcteur KI permettant d’obtenir le temps de réponse à 5% le
plus petit possible. Avec cette valeur l’exigence Id.1.3 est-elle satisfaite ?
4.6- Pour cette valeur de KI déterminer la valeur
numérique des éléments caractéristiques de la fonction
H1(p). Puis en justifiant votre réponse à partir de l’abaque
ci-contre, dire si avec cette valeur de KI l’exigence Id.1.2 est
satisfaite.
4.7- On admet le résultat suivant : L’accélération
maximale en réponse à un échelon de consigne VC0 est de :
 − m.arccos(m) 


1 − m2 

K.VC0.ω0.e
aMax =
(car 2nd ordre avec m<1)
2
1−m
En justifiant votre réponse, dire si avec cette valeur de
KI l’exigence Id.3 est satisfaite.
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