Exercices de Microéconomie

Exercices de Microéconomie
Première Année de Magistère
CERDI-Université d’Auvergne, Année 2010-2011
Risque et incertitude (1)
Exercice 1 - On considère un monde dans lequel la température peut prendre 3
valeurs, +15◦ C, +5◦ C ou −5◦ C, et le temps peut être décrit par “Beau Temps”,
“Pluie” ou “Neige”. Ces données sont les seules qui importent pour le décideur.
Lister les états de la Nature, sachant qu’il ne neige jamais au-dessus de 0◦ C et qu’il
ne pleut jamais au-dessous de 0◦ C.
Exercice 2 - On considère les deux loteries monétaires suivantes. Dans la première,
notée L1 , les gains peuvent prendre les valeurs {0, 5, 15} et les probabilités associées
sont {1/3, 1/3, 1/3} ; dans la seconde, notée L2 , les gains peuvent prendre les valeurs
{0, 5, 15} et les probabilités associées sont {1/6, 2/3, 1/6}. Calculer les espérances
de gain de ces deux loteries. Les représenter dans le triangle de Machina. Montrer
que la loterie L2 peut être obtenue comme loterie composée à partir de la loterie L1
et d’une loterie L3 qui met une probabilité égale à 1 sur le gain 5. En déduire que si
un agent économique, dont les préférences sur les loteries peuvent être représentées
par une fonction d’utilité de type von Neumann-Morgenstern, est indifférent entre
L1 et L3 , alors il est indifférent entre L1 et L2 .
Exercice 3 - Calculez l’espérance et la variance des variables aléatoires suivantes :
– variable aléatoire x, où x suit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle
[0, 1].
– variable aléatoire x2 , où x suit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle
[0, 1].
– variable aléatoire x, où x suit une loi normale de moyenne µ et de variance σ 2
(refaire les calculs).
– variable aléatoire x, où x suit une loi exponentielle sur R+ de densité f (x) =
λe−λx .
Exercice 4 - On considère un univers certain et un agent économique dont les
préférences sont représentées par la fonction d’utilité suivante :
u1 (x1 , x2 ) = xα1 xβ2 ,
1
c
V.
Dequiedt 2010
2
où x1 représente sa consommation de bien 1 et x2 sa consommation de bien 2. La
fonction d’utilité
u2 (x1 , x2 ) = αln(x1 ) + βln(x2 )
représente-t-elle les mêmes préférences ? On considère maintenant un univers risqué
et on suppose que les préférences de l’agent économique peuvent être représentées
par une fonction d’utilité de type von Neumann-Morgenstern. Les fonctions u1 et
u2 représentent-elles les mêmes préférences ?
Exercice 5 - Calculer la prime de risque dans les cas suivants :
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = −x2 , le niveau de richesse initial est w0 = −2 et la loterie
est L1 = ({−2, 2}, {1/2, 1/2}).
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = ln(x), le niveau de richesse initial est w0 = 2 et la loterie
est L1 = ({−1, 1}, {1/2, 1/2}).
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = ln(x), le niveau de richesse initial est w0 = 2 et la loterie
L1 suit une loi uniforme sur [−1, 1].
Exercice 6 - Calculer la prime de probabilité dans les cas suivants :
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = −x2 , le niveau de richesse initial est w0 = −2 et la valeur
absolue des paiements de la loterie binaire est 1.
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von Neumann√
Morgenstern u(x) = x, le niveau de richesse initial est w0 = 2 et la valeur
absolue des paiements de la loterie binaire est 2.
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = ln(x), le niveau de richesse initial est w0 = 2 et la valeur
absolue des paiements de la loterie binaire est 1.
Exercice 7 - Déterminer, pour chaque niveau de richesse positif, l’indice absolu
d’aversion pour le risque dans les cas suivants :
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = ln(x),
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = 1 − e−x ,
– les préférences sont représentées par la fonction d’utilité de type von NeumannMorgenstern u(x) = −1/x.