Exercices de Microéconomie

Exercices de Microéconomie
Première Année de Magistère
CERDI-Université d’Auvergne, Année 2010-2011
Risque et incertitude (2)
Exercice 8 - On considère un agent économique averse au risque dont les préférences
sont représentées par une fonction d’utilité de Von Neumann-Morgenstern u(·) strictement concave, deux fois dérivable. L’indice absolu d’aversion pour le risque, fonction du niveau de richesse x de l’agent, est donné par
rA (x) = −
u00 (x)
.
u0 (x)
Cet agent a une richesse initiale x0 et fait face à une loterie monétaire L dont les
gains aléatoires x̃ sont répartis selon la densité f . On supppose que la loterie L est un
risque, i.e. l’espérance des gains de L est égale à zéro, on suppose également que ce
risque a pour variance σ 2 . On s’intéresse aux préférences de l’agent lorsque x̃ prend
des valeurs uniquement dans un voisinage de 0, i.e. lorsque le risque est “petit”, ce
que l’on définit par σ 2 proche de 0 et des moments d’ordre supérieur négligeables
par rapport à σ 2 .
1. Faites un développement limité de u(x0 + x) en x0 au second ordre,
2. Exprimez l’utilité espérée de l’agent qui joue L avec une richesse initiale x0 , à
l’aide de ce développement limité,
3. En déduire que cette utilité espérée vaut
u(x0 ) +
σ 2 00
u (x0 ) + o(σ 2 ).
2
4. Notons p la prime de risque associée à la loterie L, faites un développement
limité au premier ordre de u(x0 + p) en x0 .
5. En déduire que pour des “petits” risques, p peut être approximé par
σ2
rA (x0 ).
2
1
c
V.
Dequiedt 2010
2
Exercice 9 - Considérez un agent économique dont les préférences sont représentées
√
par la fonction d’utilité u(x) = x, et dont le niveau de richesse initiale est x0 = 2.
Cet agent fait face à la loterie L définie par L = ({−1, 1}, {1/2, 1/2}). Calculez la
prime de risque associée à cette loterie de manière exacte (prenez votre calculatrice
si nécessaire) et à l’aide de l’approximation fournie à l’Exercice 8 (on appelle cette
approximation “approximation de Arrow-Pratt”).
Exercice 10 - Soit une famille de fonctions d’utilité uα (x) = xα pour α ∈]0, 1[.
Montrez que si α1 < α2 , l’agent dont les préférences sont représentées par uα1 est
plus averse au risque que celui dont les préférences sont représentées par uα2 .
Exercice 11 - Considérons les deux loteries L1 et L2 suivantes :
– L1 = ({3, 5, 10}, {1/3, 1/3, 1/3}) et
– L2 = ({1, 7}, {1/6, 5/6}).
Peut-on ordonner ces deux loteries à l’aide de la dominance stochastique au premier
ordre ? au deuxième ordre ?
Exercice 12 - Mêmes questions qu’à l’Exercice 11 pour les loteries L1 et L2
suivantes : L1 = ({0, 5, 10}, {1/3, 1/3, 1/3}) et L2 = ({1, 7}, {1/3, 2/3}).
Exercice 13 - On considère le problème de choix de portefeuille suivant. Les
√
préférences de l’agent sont représentées par la fonction d’utilité u(x) = x, l’actif
sans risque a un rendement donné par le taux d’intérêt r = 0.1, l’actif risqué vendu
au prix p = 1 est défini par la loterie L = ({0, 2}, {1/3, 2/3}). La richesse totale que
l’agent doit investir est w0 = 100. Déterminez le montant optimal investi par l’agent
dans l’actif risqué.