Economie de l`incertain et de l`information Partie 1

Economie de l’incertain et de l’information
Partie 1 : Décision en incertain probabilisé
Chapitre 1 : Introduction à l’incertitude et théorie de
l’espérance d’utilité
Olivier Bos
[email protected]
Introduction
Ce que vous avez étudié jusqu’à présent:
Comment les agents économiques prennent-ils leurs décisions: de
consommation, de production, d’offre ou de demande de travail...
Comment inter-agissent ils sur un marché ⇒ Analyse de l’équilibre
offre-demande sur le marché des biens ou du travail.
Raisonnement en univers certain:
Chacun observe la valeur exact des quantités achetées ou vendues.
Chacun connaı̂t les conséquences de ses actions.
Introduction
En réalité, la plupart des décision économiques se prennent dans un
environnement incertain : les agents prennent des décisions dont les
conséquences ne sont pas connues avec certitude.
Exemple de l’assurance: sans incertitude, pas de recours à l’assurance
⇒ inutile de se couvrir contre un risque qui n’existe pas.
Exemple des décisions d’investissement: sans incertitude on choisit
toujours l’actif qui procure le rendement le plus haut.
Exemples des OGM: doit-on autoriser leur mise en circulation ?
Sont concernés les décideurs publics comme privés. La formalisation des
problèmes de choix en incertain est donc fondamentale en économie.
Premier approche : la notion de bien contingent de Debreu (1959)
Introduction
Objectifs du cours
1
Présenter une théorie des choix dans l’incertain.
2
Appliquer cette théorie à des choix pour lesquels la notion
d’incertitude est cruciale: assurance / placements financiers.
3
Introduire les problèmes d’informations liés à la présence d’incertitude.
4
Introduire une théorie de l’équilibre en univers incertain.
Plan de la séance :
Rappels de décision en incertain
Les différentes formes d’incertains
Introduction au risque, soit l’incertain probabilisé
Bibliographie:
Jean-Louis Cayatte, Microéconomie de l’incertitude, De Boeck
Octave Jokung, Microéconomie de l’incertain, Dunod
Mas-Colell, Whinston et Green, Microeconomic Theory, Chapitre 3,
Oxford University Press
http://bos.u-paris2.fr/eii.html
Prise de décision en certain
Décision en certain : Le point de départ pour tout problème de décision
individuel est un ensemble des alternatives possibles à partir duquel un
agent fait ses choix. Pour le moment cet ensemble peut être n’importe quoi,
noté E. Exemple : décision pour un métier potentiel : E = {étudier le droit,
étudier l’économie, apprendre à jouer de la guitard}. Dans la théorie du
consommateur, E est l’ensemble des choix de consommation possible.
Relations de préférences : propriétés élémentaires
Approche usuelle pour modéliser le comportement pour choix individuel :
Les goûts sont résumés par une relation de préférences, qui est sa principale
caractéristique. Hypothèse : les agents prennent des décision rationnelles.
On note la relation de préférences par . est binaire sur l’ensemble des
alternatives E et permet ainsi de comparer une paire d’alternatives x, y ∈ E.
On en déduit deux autres relations importantes :
La relation de stricte préférence, , définie par
x y ⇔ x y mais pas y x
La relation d’indifférence, ∼, définie par
x ∼ y ⇔ x y et y x
Relations de préférences : propriétés élémentaires
L’hypothèse centrale est que est une relation rationnelle. Cela suppose
plusieurs hypothèses :
Definition 1
La relation de préférence, est dite rationnelle si elle possède les deux
propriétés suivantes :
La complétude : pour tout x, y ∈ E, il suit que soit x y, soit y x ou
les deux.
La transitivité : pour tout x, y, z ∈ E, si x y et y z alors x z.
Remarque : Si une relation est complète elle est aussi
Réflexive : pour tout x ∈ E x ∼ x.
Symétrique pour l’indifférence : pour tout x, y ∈ E, si x ∼ y alors
y ∼ x.
Relations de préférences : propriétés élémentaires
On représente les préférences par une fonction d’utilité. Une fonction U (x)
alloue à chaque élément x ∈ E une valeur numérique, classant ainsi les
éléments de E en accord avec .
Definition 2
Une fonction d’utilité U : X → R est une fonction représentant la relation
si
∀ (x, y) ∈ E, x y ⇔ U (x) ≥ U (y)
Elle n’a pas d’existence concrète, ce qui existe, ce sont les préférences, et la
fonction d’utilité ne fait que les représenter. D’où qu’une fonction d’utilité
n’est pas la seule représentation possible de . Pour toute fonction
strictement croissante f : R → R, V (X) = f (U (x)) représente les mêmes
préférences que U .
Proposition 1
Une relation de préférence peut être représentée par une fonction d’utilité
seulement si est rationnelle.
Relations de préférences : propriétés élémentaires
Axiome 1 (Monotonicité)
La relation de préférence est monotone si (x, y) ∈ E et yi ≥ xi pour tout
i ∈ {1, ..., L} implique y x.
Axiome 2 (Convexité)
La relation sur E est convexe si pour tout x ∈ E l’ensemble
{y ∈ E : y x} est convexe. Autrement dit, si y x et z x alors pour
tout λ ∈]0, 1[, λy + (1 − λ)z x.
L’hypothèse qui assure l’existence d’une fonction d’utilité est que la relation
de préférence soit continue.
Axiome 3 (Continuité)
n
n
Pour toutes suites de paires {(xn , y n )}+∞
n=1 telles que x y pour tout n,
n
n
limn→+∞ x = x et limn→+∞ y = y, on a x y.
Proposition 2
Supposons que la relation de préférence rationnelle soit continue et
monotone. Alors il existe une fonction d’utilité continue qui représente la
relation .
Theorie de l’espérance d’utilité
Il est naturel d’étendre cette démarche aux problèmes de choix en
environnement incertain ⇒ beaucoup de situations économiques font
intervenir de l’incertitude. Il nous faut donc développer une théorie plus
spécifique.
Les différentes formes d’incertain
On peut résumer une situation d’incertitude par 3 éléments:
Les états de la nature = situations qui peuvent se produire
Les actions réalisables par l’agent
Les conséquences des actions pour un état de la nature donné
Toutes les situations présentant de l’incertain ne sont pas également
incertaines. On distingue traditionnellement le risque de l’incertitude
(Knight, 1921) :
Risque ?
Exemple : jeux de poker, risque de maladie génétique; on peut calculer
les probabilités des différents évènements aléatoires.
Incertitude ?
Exemple : faut-il ou non autoriser les OGM ? : le principe de
précaution est un principe de droit mais qui se justifie par certains
modèles de théorie de la décision en incertain.
Les différentes formes d’incertain
Deux types d’incertitude :
on peut éventuellement utiliser des probabilités subjectives,
probabilités qu’on se fabrique soit même, à partir de sa propre
information, observation, expérience... Ces probabilités peuvent
s’écarter fortement des probabilités objectives. Néanmoins, on pourra
utiliser les mêmes raisonnements pour prendre ses décisions que dans
les situations risquées.
incertitude est totale : la situation est tellement complexe qu’on ne
peut même pas décrire l’ensemble des conséquences possibles des
évènements, et encore moins les probabiliser.
Prise de décision en incertain : matrice d’information
On peut résumer une situation d’incertitude par 3 éléments:
Les états de la nature = situations qui peuvent se produire
Les actions réalisable par l’agent étudié
Les conséquences des actions pour un état de la nature donné
Prise de décision en incertain : matrice d’information
Nous supposerons que:
Le décideur connaı̂t tous les états de la nature possibles.
Le décideur connaı̂t les conséquences de ses actions dans chaque état
de la nature ⇒ Dans la grande majorité des cas, ces conséquences
pourront se ramener à des sommes monétaires.
Le décideur connaı̂t est capable d’attribuer une probabilité de
réalisation à chaque état de la nature ⇒ Nous sommes dans une
situation de risque.
Avec ces hypthèses, une situation d’incertitude peut-être résumée sous la
forme d’une matrice d’information.
Prise de décision en incertain : matrice d’information
N états de la nature: {s1 , s2 , . . . , sN }
L actions: {a1 , a2 , . . . , aL }
Il y a donc N × L conséquences ⇒ On note cn` la conséquence de
l’action ` l’état de la nature n
Matrice d’information associée:
a1
a2
...
aL
s1
c11
c12
...
c1L
s2
c21
c22
...
c2L
...
...
...
...
...
sN
cN 1
cN 2
...
cN L
Prise de décision en incertain : matrice d’information
Exemple:
Etats de la nature: accident (acc) / pas d’accident (non acc)
Actions: s’assurer (assur) / ne pas s’assurer (non assur)
Conséquences (valeur de la voiture dans chacun des cas):
non acc + non assur: v
non acc + assur: v − b
acc + non assur: 0
acc + assur: z − b
assurance
pas d’assurance
accident
z−b
0
pas d’accident
v−b
v
Il manque une information pour que le décideur puisse faire son choix
(choisir une action): la probabilité d’occurence de chaque état de la
nature.
Prise de décision en incertain : les loteries
En univers risqué, on connaı̂t la distribution de probabilité sur les états
de la nature (l’important n’est pas que ce soit la vraie distribution
mais que le décideur la croı̂t vraie) ⇒ On note pn la probabilité
d’occurence de l’état de la nature sn .
a1
a2
...
aL
s1
p1
c11
c12
...
c1L
s2
p2
c21
c22
...
c2L
...
...
...
...
...
...
sN
pN
cN 1
cN 2
...
cN L
Prise de décision en incertain : les loteries
Exemple (suite).: La probabilité d’avoir un accident est 1/10
assurance
pas d’assurance
accident
p(acc)=1/10
z−b
0
pas d’accident
p(non acc)=9/10
v−b
v
Choisir une action consiste à choisir des possibilités de gain auxquelles
sont associées des probabilité ⇒ revient à chosir entre des loteries.
Prise de décision en incertain : les loteries
Simplifions les notations en considérant une action donnée: ensemble
des conséquences est C = (x1 , . . . , xN ) à laquelle on associe la
distribution de probabilité P = (p1 , . . . , pN ).
La loterie correspondante est notée:
X = [(p1 , . . . , pN ), (x1 , . . . , xN )]
avec
pn ≥ 0
∀n = 1, . . . , N
et
N
X
pn = 1
n=1
Dans ce cas l’ensemble des conséquences est dénombrable ⇒ une
loterie X est une variable aléatoire (v.a.) discrète.
Prise de décision en incertain : les loteries
Une v.a. discrète X est définie par sa loi de probabilité:
f (x) = Prob(X = x)
et sa fonction de répartition:
F (x) = Prob(X ≤ x)
Nous pouvons calculer son espérance:
E(X) = p1 x1 + . . . + pN xN =
N
X
p n xn
n=1
et sa variance:
2
V(X) = σX
=
N
X
n=1
pn (xn − E(X))2 = E(X 2 ) − (E(X))2
Prise de décision en incertain : les loteries
Dans certaine situation, l’ensemble des conséquences n’est pas
dénombrable.
Par exemple cet ensemble peut correspondre à un interval de la droite
des réels: [a, b].
Dans ce cas une loterie correspond à une variable aléatoire continue X
caractérisée par une fonction de densité de probabilité que nous
noterons f (x) , avec:
Z b
f (x)dx = 1
a
ou, de façon équivalente, par une fonction de répartition:
Z t
F (t) = P(X ≤ t) =
f (x)dx
a
Prise de décision en incertain : les loteries
Considérons la loterie X décrite par la fonction de densité f (x), nous
pouvons définir:
son espérance mathématique:
b
Z
E(X) =
xf (x)dx
a
sa variance:
2
V(X) = σX
=
Z
a
b
(x − E(X))2 f (x)dx = E(X 2 ) − (E(X))2
Prise de décision en incertain : les loteries
Remarques:
Dans le cas dénombrable, une loterie est souvent représentée sous
forme d’arbre.
Les loteries associant une probabilité à chaque élément de l’ensemble
de conséquences sont appelées des loteries simples. Nous pouvons
définir une loterie composée qui est une loterie dont l’ensemble des
conséquences sont des loteries simples.
On notera X = αX1 + (1 − α)X2 la loterie composée donnant la loterie
X1 avec une probabilité α et X2 avec une probabilité 1 − α.
Une loterie composée peut toujours être ramenée à une loterie simple.
Prise de décision en incertain : les loteries
Exercice 1 (Propriétés des opérateurs espérance et variance)
Soit X et Y deux variables aléatoires et a et b deux réels:
E(aX + b) = aE(X) + b
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )
V(aX + b) = a2 V(X)
Prise de décision en incertain : les loteries
Question: Comment comparer deux loteries entre elles?
Dans le cas où l’ensemble des conséquences est consitué de gains
monétaires, il existe une réponse intuitive: comparons les gains moyens
des différentes loteries.
Prise de décision en incertain : l’exemple de l’assurance
Reprenons l’exemple précédent:
Valeur de la voiture v et probabilité d’accident p.
En cas d’accident la voiture est detruite ⇒ valeur nulle.
L’assuré reçoit une indeminité z en échange du paiement d’une prime
d’assurance (z ≤ v).
La prime d’assurance (ou prix de l’assurance) est proportionnelle à
l’indémnité reçue: b = βz.
Loterie associée:
A = [(p, 1 − p), ((1 − β)z, v − βz)]
Remarque: Ici action = choix d’un niveau d’assurance z ∈ [0, v].
Prise de décision en incertain : l’exemple de l’assurance
Critére de l’espérance de gain ⇒ l’individu choisit z de façon à
maximiser:
E(A) = p(1 − β)z + (1 − p)(v − βz) = (1 − p)v + (p − β)z
3 cas possibles:
1
p < β: espérance de richesse decroı̂t avec z ⇒ z ∗ = 0.
2
p > β: espérance de richesse croı̂t avec z ⇒ z ∗ = v.
3
p = β: espérance de richesse indépendante de z ⇒ z ∗ ∈ [0, v].
Problèmes:
Cas 1 et 2: “tout ou rien”.
Cas 3: indétermination du montant assuré.
Prise de décision en incertain : l’exemple de l’assurance
Problèmes (suite):
1
p < β ⇒ pz < βz: espérance de remboursement inférieur à la prime
versée ⇒ rentable pour l’assureur MAIS l’individu ne s’assure pas...
2
p > β ⇒ pz > βz: l’assureur fait des pertes ⇒ Il n’offrira pas
d’assurance alors même que l’individu souhaite s’assurer...
3
p = β ⇒ pz = βz: l’assureur ne fait aucun profit. Si on admet que
l’assurance coûte c à mettre en oeuvre (salaire de l’assureur...) on a
pz + c > βz, l’assureur fait des pertes ⇒ On se retrouve dans le cas 2.
Prise de décision en incertain : le paradoxe de Saint-Petersbourg
Règle du Jeu: On tire à pile ou face et le jeu se poursuit jusqu’à ce que
pile apparaisse. Au 1er lancé, le joueur gagne 2 euros, la somme gagnée
est doublée à chaque lancé.
La valeur de cette loterie en terme d’espérance de gain est infinie.
Paradoxe: Personne n’est prêt à payer une somme d’argent importante
pour jouer à ce jeu.
Pb: Quand on compare deux loteries on ne s’interresse pas seulement à
leurs gains espérés mais aussi à leur risque.
Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz
Qui est Markovitz?
Nous avons vu que l’espérance de gain n’était pas un critère suffisant
pour évaluer une loterie.
Il faut également prendre en compte le risque associé à cette loterie.
Une mesure naturelle du risque associé à une variable aléatoire est sa
dispersion ⇒ Variance de la loterie.
Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz
Ainsi, Harry Markowiz propose de mesurer l’utilité d’une loterie comme
une fonction de l’espérance de gain et de la variance de cette loterie.
Considérons un individu dont la richesse totale (W ) est composé d’une
partie certaine ω et d’une partie aléatoire X:
W =ω+X
L’utilité que l’agent retire de sa richesse est donnée par
U (W ) = f (E(W ), V(W ))
avec
E(W ) = ω + E(X)
et
V(W ) = V(X)
Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz
Hypothèse:
∂U (W )
>0
∂E(W )
⇒ A risque donné, l’individu préférera toujours la richesse qui a l’espérance
de gain la plus élevée.
Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz
Plusieurs attitudes vis-à-vis du risque sont possibles :
L’individu n’aime pas le risque, ou est dit risquophobe si:
∂U (W )
<0
∂V(W )
L’individu est indifférent au risque, ou neutre au risque si:
∂U (W )
=0
∂V(W )
L’individu aime le risque, ou est dit risquophile si:
∂U (W )
>0
∂V(W )
Prise de décision en incertain : les fonctions de Markowitz
Spécification linéaire:
U (W ) = E(W ) − kV(W )
ici, k est une mesure directe de l’aversion pour le risque de l’individu :
k > 0: individu risquophobe.
k = 0: individu neutre au risque.
k < 0: individu risquophile.
Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de
Markowitz
Nous reprenons notre exemple de l’assurance avec une fonction d’utilité de
type Markowitz linéaire:
On connaı̂t l’espérance E(A), il reste à déterminer la variance:
V(A)
=
=
p[(1 − β)z − E(A)]2 + (1 − p)[v − βz − E(A)]2
p(1 − p)(v − z)2
L’utilité de l’individu en fonction de z est donc:
u(z) = (1 − p)v + (p − β)z − k × p(1 − p)(v − z)2
Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de
Markowitz
On se place dans le cas où p < β ⇒ L’assureur fait des bénéfices.
Utilité marginale d’un euro de couverture en plus:
u0 (z) = p − β + 2kp(1 − p)(v − z)
Si k ≤ 0 (individu risquophile ou neutre au risque): ∂u/∂z < 0 ⇒
z ∗ = 0: pas d’assurance possible.
Si k > 0 (individu risquophobe):
u0 (z) = 0
⇔
z∗ = v −
β−p
2kp(1 − p)
Prise de décision en incertain : assurance avec une fonction de
Markowitz
Si les agents sont risquophobes, il peut exister un marché de
l’assurance.
La demande d’assurance possède des évolutions de bon sens par
rapport aux paramètres du modèle :
croissant en la valeur de la voiture v
croissant avec le degré d’aversion vis à vis du rique k
croissant avec la probabilité de sinistre p
décroissant avec le montant de la prime β
Théorie de l’Espérance d’Utilité : définition
Le concept d’espérance d’utilité a été introduit par John von Neumann
et Oskar Morgenstern en 1944. Qui sont von Neumann et Morgenstern?
Les préférences (et donc l’utilité) se définissent sur des loteries.
Définition: Selon la théorie de l’espérance d’utilité, l’utilité d’une
richesse aléatoire W est égal l’espérance mathématique de l’utilité de la
richesse:
U (W ) = E(u(W ))
L’espérance d’utilité de la richesse sera alternativement noté U (W ),
E(u(W )) ou parfois Eu(W).
Théorie de l’Espérance d’Utilité : définition
Il est important de distinguer :
La fonction d’utilité espérée U (.) définie sur l’ensemble des loteries (et
donc sur des richesses aléatoires), souvent dénommé espérance d’utilité
VNM;
La fonction d’utilité u(.) (dite élémentaire) définie sur des montants
monétaires certains, également áppelés fonctions de Bernouilli ou de
VNM.
Théorie de l’Espérance d’Utilité : définition
En pratique:
Considérons un individu dont la fonction d’utilité élémentaires est noté
u(.) et considérons la loterie X = [(p1 , . . . , pn ), (x1 , . . . , xN )].
A chaque élèment de l’ensemble de conséquence C = (x1 , . . . , xN ) on
peut associer un niveau d’utilité: (u(x1 ), . . . , u(xN )).
L’espérance d’utilité correspond à l’espérance mathématique de ces
niveaux d’utilité:
U (X) = p1 u(x1 ) + . . . + pn u(xN ) =
N
X
i=1
pi u(xi )
Théorie de l’Espérance d’Utilité : définition
Espérance d’utilité dans le cas continu
Prenons un individu dont les préférences sont représentées par la fonction
d’utilité u(.). Considérons une loterie X représentée par la fonction de
densité f sur l’ensemble des conséquences [a, b]. La loterie X peut être
évaluée par une fonction d’utilité espérée U (.) de la forme:
Z b
U (X) =
u(x)f (x)dx
a
Théorie de l’Espérance d’Utilité : définition
L’espérance d’utilité associe une valeur numérique à chaque loterie.
Permet de classer les loteries entre elles.
Un individu choisira la loterie lui rapportant l’utilité espérée la plus
forte ⇒ Il cherchera à maximiser son espérance d’utilité.
Théorie de l’Espérance d’Utilité : neutralité vis-à-vis du risque
Nous avons vu que l’agent neutre vis-à-vis du risque ne s’intéresse qu’à
l’espérance de gain (ou rendement) de la loterie.
Pour représenter les préférences d’un individu neutre au risque il suffit
donc de considérer n’importe quelle fonction linéaire comme fonction
d’utilité: u(x) = a.x + b (avec a > 0 et b ∈ R).
On aura alors:
U (W ) = E(u(W )) = a.E(W ) + b
Théorie de l’Espérance d’Utilité : fonctions de Markowitz
Considérons une loterie W et une utilité quadratique:
u(x) = a.x + b.x2
L’espérance d’utilité correspondante est donnée par:
E(u(W )) = aE(W ) + bE(W 2 )
or E(W 2 ) = V(W ) + E(W )2 . Ce qui donne:
E(u(W )) = aE(W ) + b V(W ) + E(W )2
On obtient donc une fonction de Markowitz (non linéaire)
Théorie de l’Espérance d’Utilité : exemple de l’assurance
Reprenons notre exemple de l’assurance, dans le nouveau cadre de
l’espérance d’utilité, en considérant un individu dont le fonction
d’utilité élémentaire est: u(x) = ln(x).
La loterie à laquelle fait face l’individu reste
A = [(p, 1 − p), ((1 − β)z, v − βz)] et l’espérance d’utilité associée à
cette loterie est:
U (A) = p. ln((1 − β)z) + (1 − p). ln(v − βz)
L’individu cherche donc le niveau de z ∈ [0, v] qui maximise cette
espérance d’utilité.
Théorie de l’Espérance d’Utilité : exemple de l’assurance
Condition de premier ordre:
∂U
(A) = 0
∂z
⇔
z∗ =
p
v
β
Donc, si p < β: z ∗ ∈]0, v[ ⇒ il existe un marché de l’assurance.
Théorie de l’Espérance d’Utilité : le paradoxe de Saint-Petersbourg
Considérons
un individu caractérisé par la fonction d’utilité élémentaire
√
u(x) = x. Quelle somme s est-il prêt à payer pour participer au jeu?
Soit X la loterie associée au jeu, on cherche s tel que: u(s) = Eu(X)
Exercice 2
Soit la suite dont le nème terme est: un = q n .
La somme de ses N premiers termes s’écrit:
N
X
n=1
un = u0 q
1 − qN
1−q