TD5 - M2 Statistiques

Master Mathématiques et Applications
Spécialité Statistique
Novembre 2016
TD 5
Chaı̂nes de Markov
Remarque : pour les simulations de chaı̂nes de Markov, on pourra utiliser le package markovchain.
I. Modèle de diffusion d’Ehrenfest
On considère deux urnes A et B, contenant M boules à elles deux, numérotées de 1 à M . A chaque
instant, on choisit un numéro j ∈ {1, . . . , M } de façon équiprobable et on change d’urne à la boule
numéro j. L’état Xn de la chaı̂ne est le nombre de boules à l’instant n dans l’urne A.
1. Donner le graphe de transition de la chaı̂ne (Xn ).
2. Cette chaı̂ne est-elle irréductible ? apériodique ?
3. Montrer que (Xn ) admet pour loi stationnaire π une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
4. En fixant par exemple M = 10, retrouver π par simulation grâce à une seule réalisation (très
longue) de la chaı̂ne. En d’autres termes, illustrer la loi des grands nombres du cours.
5. Toujours pour M = 10, retrouver π grâce à plusieurs réalisations de la chaı̂ne. En d’autres
termes, illustrer la convergence en loi du cours.
6. Supposons M grand. Approcher la loi π par une loi normale dont on précisera les paramètres.
En déduire un intervalle [m1 , m2 ] tel qu’asymptotiquement, la chaı̂ne passe 95% de son temps
entre ces deux valeurs.
7. Vérifier ce résultat par simulation.
II. Bistochasticité et Monopoly
1. On dit qu’une matrice de transition (ou matrice stochastique) P est bistochastique si la
somme de chaque colonne est aussi égale à 1. Soit (Xn ) une chaı̂ne de Markov dont la
matrice de transition est bistochastique : vérifier que la loi uniforme est une loi stationnaire.
Est-elle nécessairement unique ?
2. Un jeu du genre Monopoly a dix cases (voir figure 1 à droite). On part de la case 0 et on
lance un dé équilibré à six faces pour avancer le pion. Xn est la position du pion après le
n-ème lancer.
(a) Déterminer la matrice de transition de la chaı̂ne de Markov (Xn ).
(b) La chaı̂ne est-elle irréductible ? apériodique ?
(c) Déterminer la (ou les) loi(s) stationnaire(s).
III. Le scarabée
Un scarabée se déplace sur les arêtes d’un tétraèdre régulier (voir figure 1 à gauche). Quel que
soit le sommet où il se trouve à un instant donné, il choisit au hasard et de façon équiprobable le
sommet vers lequel il va se diriger. Il lui faut une unité de temps pour l’atteindre. On suppose de
plus que le scarabée se déplace en continu, c’est-à-dire qu’il ne s’arrête jamais en un sommet. Xn
est la position du scarabée à l’instant n.
1
A
2
3
4
1
5
6
D
B
0
9
8
7
C
Figure 1 – Tétraèdre et Monopoly.
1. Déterminer la matrice de transition de la chaı̂ne de Markov (Xn ). Loi(s) stationnaire(s) ?
2. A-t-on convergence en loi de (Xn ) ?
3. Illustrer cette convergence par simulation.
4. Le scarabée paye 1e chaque fois qu’il passe au sommet A, 2e chaque fois qu’il passe au
sommet B, 3e chaque fois qu’il passe au sommet C, 4e chaque fois qu’il passe au sommet
D. Soit CN le coût de sa trajectoire jusqu’à l’instant N . Que dire de la convergence de
CN /N ? L’illustrer par simualtion.
5. Supposons maintenant qu’en chaque sommet, le scarabée reste sur place avec probabilité
7/10 ou parte vers un des autres sommets de façon équiprobable. Quid de la convergence en
loi ?
6. On considère maintenant que les déplacements du scarabée sont régis par la matrice de
transition :


0 2/3 0 1/3
 1/3 0 2/3 0 

P =
 0 1/3 0 2/3  .
2/3 0 1/3 0
(a) La loi des grands nombres est-elle vérifiée ?
(b) Que dire de la convergence en loi ?
7. Tirer au hasard une matrice de transition P à l’aide de la fonction runif. Vérifier que la loi
des grands nombres et la convergence en loi permettent de trouver un même vecteur probabilité ligne π. Retrouver cette loi d’équilibre grâce à la fonction eigen et en utilisant sa
propriété caractéristique : π est un vecteur propre à gauche de P associé à la valeur propre 1.
IV. Le coup du parapluie
Un employé lambda, Franz Kafka, se rend chaque matin de son appartement à son bureau et fait
le contraire le soir. Il dispose en tout de 3 parapluies, certains chez lui, les autres au bureau. A
Prague, il pleut 2 fois sur 3 lorsqu’il fait le trajet, et ce indépendamment du passé. Soit Xn le
nombre de parapluies à son domicile durant la nuit.
1. Déterminer la matrice de transition de la chaı̂ne de Markov associée.
2. Quelle est la proportion du temps où Kafka est mouillé ?
3. Généraliser avec n parapluies.
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