Université de Nice L1SV, année 2015

Université de Nice
Mathématiques pour la Biologie (semestre 1)
L1SV, année 2015-2016
14-18 septembre 2015
TD 2 : Initiation au calcul matriciel
Pour les cours, tds et corrigés voir http://math.unice.fr/~eyssette/L1SVs1_15_16
Exercice 1. :
1. Soit une chaı̂ne de Markov à 2 états de matrice de transition P telle que p12 = 0,2 et p21 = 0,6.
Calculer P et l’image π1 par la chaı̂ne de Markov de la distribution initiale π0 = (0,2 0,8).
2. Calculer le nombre α tel que π0∗ = (α (1 − α)) soit une distribution stationnaire.
En déduire que λ = 1 est une valeur propre à gauche de la matrice P. Expliquer.
3. Calculer le carré P2 , puis les deux produits π0 P2 et π1 P.
Que constate-t-on ? Expliquer.
Exercice 2. :

0
1. Soit la matrice P =  1
0
Calculer P2 , P3 et P4 . En

0 1
0 0 .
1 0
déduire les valeurs de Pk pour tout entier k > 0.
2. Est-il possible que l’une des puissances Pk de P pour un k > 1, soit une matrice dont tous les
coefficients sont strictement positifs, c’est-à-dire est-il possible que la matrice P soit primitive ?
Exercice 3. : On fait un modèle simple de la vie des globules rouges : on note S(n) le nombre de globules
rouges présents dans le sang au début du jour n et M (n) le nombre de globules rouges relachés dans le
sang par la moelle osseuse le jour n.
On suppose que chaque jour la rate retire un pourcentage p des globules rouges présents dans le sang et
que la moelle produit la même quantité qui est relachée le jour suivant.
1. Écrire S(n+1) et M (n+1) en fonction de S(n) et M (n). Écrire cette relation sous forme matricielle.
1
1
2. Montrer que les vecteurs
et
sont des vecteurs propres à droite de cette matrice.
p
−1
Pour quelles valeurs propres ? Interpréter biologiquement.
3. Quelle est la conséquence d’une perte de sang (prise de sang, hémorragie) ? Critiquer ce modèle.