Séries entières

Séries entières
Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de  ou  tout entier et K désigne  ou .
1. Séries entières et rayon de convergence
Définitions 1.1
On appelle série entière (complexe) toute série de fonctions de terme général fn où, pour tout entier n, la
fonction fn est de la forme fn : 
z  an z n
où (an)n∈ est une suite de .
Exemples 1.2
Les séries entières ont donc une forme bien particulière :
n
a.
b.
c.
n!z n
nz n
zn
d.
z
n
e.
n
z
n!
Remarques 1.3
•
•
•
•
•
En pratique, la suite (an)n∈ est souvent une suite réelle.
On peut définir les séries entières réelles comme étant les séries de terme général fn où, pour tout
entier n, fn est une fonction de  dans  de la forme fn(z) = an tn avec (an)n∈ une suite de.
Les propriétés des séries entières réelles se déduisent de la forme générale moyennant quelques
changements de vocabulaire, comme, par exemple, remplacer "disque de convergence" par
"intervalle de convergence".
Lorsque la suite (an)n∈ est une suite réelle, on peut considérer à la fois la série entière complexe
an zn et la série entière réelle an tn.
L'utilisation de la notation t pour la variable signifiera que nous restreignons au cas réel.
Les scalaires (an)n∈ sont appelés les coefficients de la série an zn.
Le scalaire an est le (n + 1)-ième coefficient de la série ou encore le coefficient d'ordre n.
Le scalaire a0 est le terme constant de la série.
Par convention, pour z  0 et n  0, on pose zn  1.
Propriété 1.4
Si une série entière (de terme général an zn) converge pour un complexe z0, alors elle converge absolument
pour tout complexe z vérifiant | z | < | z0 |.
Remarque 1.5
Cette propriété n'a de sens que si z0  0.
Francis Wlazinski
1
Démonstration
Si la série numérique an z0n converge (avec donc z0  0), on a nd+∞
lim an z0n = 0.
En particulier, on peut affirmer que la suite (an z0n)n∈ est bornée.
Il existe donc une constante M  0 telle que, pour tout entier n, | an z0n |  M.
n
n
Pour tout complexe z (fixé) tel que | z | < | z0 |, on obtient | an zn |  a n % z n0 % zz n  | an z0n | zz n  M zz0
0
0
n
z
z
Puisque z 0 < 1, la série de terme général M z 0 converge et il en est donc de même de la série de
terme général | an zn |.
n
.
Une relecture de la démonstration montre que l'on peut réduire les hypothèses de la propriété :
Corollaire 1.6 : Lemme d'Abel
Soit une série entière de terme général an zn.
S'il existe un complexe non nul z0 tel que la suite (an z0n)n∈ soit bornée alors la série a n z n converge
pour tout complexe z vérifiant | z | < | z0 |.
Mais on peut aussi en préciser la conclusion :
Corollaire 1.7
Soit une série entière de terme général an zn. Soit λ un réel vérifiant 0  λ < 1.
S'il existe un complexe non nul z0 tel que la suite (an z0n)n∈ soit bornée alors la série entière a n z n est
normalement convergente sur le disque fermé de centre 0 et de rayon λ | z0 | c'est-à-dire pour tous les
complexes z vérifiant | z | ≤ λ | z0 |.
Définition 1.8
Soit (an)n∈ une suite de K.
L'ensemble des réels r  0 pour lesquels la suite (anrn)n∈ est bornée est non vide (il contient 0).
La borne supérieure R{} de cet ensemble est appelée rayon de convergence de la série entière
a n z n.
Remarque 1.9
On peut donc écrire R = sup {r ≥ 0 / (an rn)n∈ bornée}.
Exemples 1.10
•
•
•
Le rayon de convergence de zn est R = 1.
Le rayon de convergence de n! zn est R = 0 (en effet, n!  ne
Le rayon de convergence de 1 zn est R = +∞.
n!
n
2n ).
Remarques 1.11
•
•
•
On ne change pas le rayon de convergence d'une série entière an zn en modifiant un nombre fini
de coefficients an.
Par définition, les séries an zn, (−1)nan zn et |an| zn ont le même rayon de convergence.
Pour tout λ ≠ 0, les séries an zn et λ an zn ont même rayon de convergence.
Francis Wlazinski
2
•
•
Soient R et R̃ les rayons de convergence respectifs de deux séries anzn et bnzn.
Si on suppose qu'à partir d'un certain rang | an | ≤ | bn |, alors on a R̃ ≤ R.
En effet, pour tout réel positif (et même pour tout complexe) t, on a | antn | ≤ | bntn |).
Par exemple, si on prend an = 1 et bn = 2n, pour tout entier n, on a bien | an | ≤ | bn |.
La série zn a pour rayon de convergence 1 et la série (2z)n a pour rayon de convergence 1 .
2
Soient an zn et bn zn deux séries entières.
On suppose qu'il existe λ > 0 et µ > 0, tels que, à partir d'un certain rang, λ | an | ≤ | bn | ≤ µ | an |,
alors les séries ont le même rayon de convergence.
C'est notamment le cas si |an| ∼+∞ |bn|.
2. Disque ouvert de convergence
Propriété 2.1
Soit une série entière de terme général an zn. Soit R{} le rayon de convergence de cette série.
•
Si R = 0, alors la série ne converge que pour z = 0.
•
Si R = , alors la série (de fonctions) an zn converge absolument simplement sur .
De plus, cette convergence est normale (donc uniforme) sur tout ensemble borné de .
•
Si R est un nombre réel strictement positif, alors la série converge absolument sur le disque ouvert
B(0,R) = {z∈, | z |  R} et la série diverge sur {z∈, | z |  R}.
De plus, cette convergence est normale (donc uniforme) sur tout ensemble fermé borné (compact)
deB(0,R). En particulier pour le disque fermé {z∈, | z |  ρ} quelque soit le réel positif ρ < R.
Démonstration
R est la borne supérieur de l'ensemble des réels positifs r tels que la suite (an rn)n∈ soit bornée.
•
Si R = 0, pour tout complexe non nul z, la suite (an | z |n)n∈ ne tend pas vers 0 donc (an zn)n∈ ne
tend pas vers 0. La série an zn diverge (grossièrement).
•
Si R = , alors, pour tout complexe non nul z, par exemple, la suite (an (2z)n)n∈ est bornée.
Puisque | z | | 2z |, d'après le lemme d'Abel, la série an zn converge absolument.
•
Si R est un nombre réel strictement positif, pour tout complexe z, on a:
Si | z |  R, d'après le lemme d'Abel, la série an zn converge absolument.
Si | z |  R, la suite (an zn)n∈ ne tend pas vers 0 : la série an zn diverge.
En cas de convergence sur un ensemble, si z appartient à un sous-ensemble borné par exemple par un réel
positif M, alors, pour tout z, a n z n  a n M n . Si la série numérique a n M n est convergente, alors la série
(de fonctions) an zn est normalement convergente.
Définition 2.2
Avec les notations de la propriété précédente, et en supposant que R est un réel strictement positif,
B(0,R) = {z∈, |z| < R} est appelé disque ouvert de convergence de an zn.
Lorsque R = +, on pose B(0,R) =.
Remarques 2.3
•
Dans le cas d'une série entière réelle an t n de rayon de convergence R.
L'intervalle ouvert de convergence de la série est ]−R,R[ si R &+ ou  si R = +.
Francis Wlazinski
3
•
•
•
•
Dans le dernier cas de la propriété 2.1, on a donc que, si z1 est un complexe vérifiant | z1 | < R, alors
la série numérique an z1n est absolument convergente. Et, si z1 est un complexe vérifiant | z1 | > R,
alors la série numérique an z1n diverge grossièrement.
On peut déterminer le rayon de convergence en utilisant le point précédent.
Par exemple, nous savons que la série zn converge absolument si | z | < 1 et est grossièrement
divergente si | z | > 1 donc son rayon de convergence est 1.
En général, on ne peut rien dire si | z | = R.
Le comportement de an zn sur le cercle de centre 0 et de rayon R peut être quelconque :
convergence en tous les points du cercle, en un certain nombre ou en aucun. Plus précisément, les
seuls points où il peut y avoir semi-convergence de la série sont ceux du cercle | z | = R.
Par exemple, les séries entières réelles t n , 1n t n et n12 t n ont toutes les trois un rayon de
convergence égal à 1. Dans , | t | = 1 implique t = −1 ou t = 1. Les séries 1 n , (−1) n , 1n
(−1) n
(−1) n
1
sont divergentes et les séries n , n 2 et n 2 sont convergentes.
Une série entière complexe (resp. réelle) de coefficients an et de rayon de convergence R non nul
est absolument convergente, donc convergente, sur son disque (resp. intervalle) ouvert de
+∞
+∞
n=0
n=0
convergence. On peut donc bien définir la somme S(z) = an zn (resp. S(t) = an t n) de cette
•
•
série sur B(0;R) (resp. sur ]−R,R[).
Une série entière an zn n'est pas nécessairement uniformément convergente (et, à fortiori, pas
normalement convergente) sur tout son disque ouvert de convergence.
Par exemple, la série entière zn est uniformément convergente sur tout intervalle de la forme
[−a,a] où 0 < a < 1 mais elle n'est pas uniformément convergente sur ]−1;1[.
Une série entière an zn de rayon de convergence R = 0 ne converge qu'en z = 0.
Cette situation ne présente que peu d'intérêt.
3. Détermination du rayon de convergence
Propriété 3.1
(Formule d'Hadamart)
Soit an zn une série entière, et soit R son rayon de convergence.
On pose nd+∞
lim |a n | 1/n = L ∈+ ∪ {+∞}.
Alors, on a R = 1 avec la convention : R = +∞ si L = 0 et R = 0 si L = +∞.
L
Démonstration
On a |a n z n | 1/n = |a n | 1/n % z .
On va utiliser la règle de Cauchy sur les séries numériques à termes positifs.
•
•
•
Si L &+ , on a nd+∞
lim |a n z n | 1/n = z % L.
#
Si z < 1 , on a nd+∞
lim |a n z n | 1/n < 1 et la série (numérique) an zn converge absolument.
L
#
Si z > 1 , on a nd+∞
lim |a n z n | 1/n > 1 et la série (numérique) an zn diverge .
L
Donc R = 1 .
L
Si L = 0, pour tout complexe z, nd+∞
lim |a n z n | 1/n = 0 (< 1).
La série (numérique) an zn converge absolument.
Si L = +∞, pour tout complexe non nul z, nd+∞
lim |a n z n | 1/n = +∞ (> 1).
La série (numérique) an zn diverge dès que z  0.
Francis Wlazinski
4
Remarques 3.2
La formule d'Hadamart s'applique quelle que soit la série.
Exemple 3.3
Soit an zn la série entière définie par, p, a2p = 0 et a2p+1 = 2p + 1.
1
On a |a n | 1/n = n 1/n si n est impair et |a n | 1/n = 0 si n est pair. D'où nd+∞
lim |a n | 1/n = nd+∞
lim n 1/n = nd+∞
lim e n ln n = e 0 = 1.
Donc le rayon de convergence de cette série est 1 = 1.
1
Propriété 3.4
Soit an zn une série entière et soit R son rayon de convergence.
On suppose qu'à partir d'un certain rang les coefficients an sont non nuls.
a
Si nd+∞
lim an+1
= ∈+ ∪ {+∞}, alors R = 1 avec la convention : R = +∞ si λ = 0 et R = 0 si λ = +∞.
n
Démonstration
a n+1 z n+1
a n+1
anzn = an % z .
On va utiliser la règle de D'Alembert sur les séries numériques à termes positifs.
On a
a n+1 z n+1
a n z n = % z pour tout complexe z.
a z n+1
n
, on a nd+∞
lim n+1
a n z n < 1: la série (numérique) an z converge.
a z n+1
n
, on a nd+∞
lim n+1
a n z n > 1: la série (numérique) an z diverge.
•
Si λ &+ , on a nd+∞
lim
•
Si z < 1
#
Si z > 1
1
Donc R = .
a z n+1
Si λ = 0, pour tout complexe z, on a nd+∞
lim n+1
a n z n = 0 (< 1).
D'après la règle de D'Alembert, la série (numérique) an zn converge.
a z n+1
Si λ = +∞, pour tout complexe non nul z, on a nd+∞
lim n+1
a n z n = +∞ (> 1).
D'après la règle de D'Alembert, la série (numérique) an zn diverge dès que z  0.
#
•
Exemples 3.5
•
•
n
Pour tout réel α, le rayon de convergence de la série nα zn (et donc de nz ) est 1.
(n + 1) 1 = 1.
En effet, , nd+∞
lim
= nd+∞
lim n +
n
n
n
On peut retrouver que le rayon de convergence de la série z est +∞.
n!
a n+1
n!
1
En effet, nd+∞
lim a n = nd+∞
lim
= nd+∞
lim
= 0.
n+1
(n + 1 )!
Remarques 3.6
•
Si an est une fraction rationnelle de n, alors le rayon de convergence de an zn vaut 1.
P(n + 1) Q(n)
P(n + 1)
Q(n)
P(n)
a
En effet, si an =
alors an+1
.
=
%
=
%
n
P(n)
Q(n)
Q(n + 1) P(n)
Q(n + 1)
P(n + 1)
Q(n + 1)
Et on a nd+∞
lim P(n) = nd+∞
lim
= 1.
Q(n)
Francis Wlazinski
5
•
•
•
Le rayon de convergence R d'une série entière an zn existe toujours.
a
En revanche, la limite nd+∞
lim an+1
peut ne pas exister (voir exemple 3.3).
n
Pour déterminer le rayon de convergence, il faudra utiliser alors d'autres méthodes que la
propriété 3.4. Par exemple, on peut tout simplement revenir à la forme originale de la règle de
D'Alembert.
Un cas classique est celui des séries entières an zn lacunaires. Ce sont des séries qui sont telles
que l'ensemble des indices n tels que an = 0 est infini.
Par exemples toutes les séries de la formes : αn z2n, αn z2n+1, ou αn zn! ...
On peut alors utiliser la forme originale de la règle de D'Alembert :
#
On considère le terme général un de la série.
u
#
On compare la limite éventuelle du rapport un+1
avec 1.
n
n
Par exemple, soit la série entière de terme général an z où, pour tout entier p, a2p = C p2p et a2p+1 = 0.
On peut écrire cette série C n2n z 2n .
(2n + 2)!
C n+1
u
a n+1 2
2n+2
Si on pose un = C n2n z2n, on a un+1
=
z
=
z2 =
% n! % n! z 2 .
an
n
C n2n
(n + 1)! % (n + 1)!
(2n)!
(2n + 2)(2n + 1) 2
u n+1
Donc u n =
z = 4n + 2 z 2 .
(n + 1)(n + 1)
n+1
a n+1 2
2
La série converge si nd+∞
lim a n z = 4 z < 1 et diverge dans le cas contraire.
1
Donc R = .
2
u
La démonstration de la propriété : "si nd+∞
lim un+1
= l (l∈∪{+∞}), alors nd+∞
lim |u n | 1/n = l" sur les
n
séries numériques est une conséquence de la formule d'Hadamart et de la propriété 3.4.
u
En effet, supposons que nd+∞
lim un+1
= l (l∈∪{+∞}).
n
On considère alors les séries entières u n z n et u1n z n .
Les rayons de convergence de ces séries sont respectivement 1 et l.
l
1
1
1/n
On obtient que nd+∞
lim |a n | = l et nd+∞
lim
= .
|a n | 1/n
l
1
1
1/n
Puisque nd+∞
lim |a n | =
=
= l, on a nd+∞
lim |a n | 1/n = nd+∞
lim |a n | 1/n = l = nd+∞
lim |a n | 1/n = l.
1
1
lim
nd+∞ |a n | 1/n
l
4. Continuité et opérations
Propriété 4.1
Soit an zn une série entière de rayon de convergence R > 0.
Puisque la série est normalement convergente sur tout fermé borné (compact) inclus dans son disque
+∞
ouvert de convergence, la somme de la série S(z) = an zn est continue sur le disque ouvert de
n=0
convergence.
Démonstration
Il suffit de montrer que la somme est continue en tout point de B(0,R).
Pour tout complexe z0 de B(0,R), on peut trouver un complexe Z0 tel que | z0 | < | Z0 | < R.
La série an zn étant normalement convergente sur tout borné de B(0,R), elle est donc uniformément
convergente sur tout borné de B(0,R) en particulier sur le disque fermé {z∈, | z |  | Z0 |}.
+∞
Cela signifie que sa somme S(z) = an zn est continue sur ce disque fermé {z∈, | z |  | Z0 |}.
n=0
Elle est donc continue en particulier en z0.
Francis Wlazinski
6
Propriété 4.2
Soient an zn et bn zn deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et R̃.
Soit ρ le rayon de convergence de la série entière (an + bn) zn.
On a : ρ = min(R,R̃) si R ≠ R̃.
ρ ≥ R si R = R̃.
Pour tout complexe z tel que | z | < min (R,R̃), on a (a n + b n )z n = a n z n + b n z n .
nm0
nm0
nm0
Démonstration
Pour tout complexe z tel que | z | < min (R,R̃), les séries (numériques) an zn et bn zn sont convergentes.
Donc, la somme de ces deux séries est convergente.
De plus, a n z n + b n z n = (a n z n + b n z n ) = (a n + b n )z n . On a donc ρ ≥ min(R,R̃).
nm0
nm0
nm0
nm0
Si R  R̃, min(R,R̃) = R.
Pour tout complexe z tel que R < | z | < R̃, la série (numérique) an zn converge et la série (numérique)
bn zn diverge.
Donc, la somme de ces deux séries i.e. (an + bn) zn est divergente.
Ce qui signifie que R est le rayon de convergence c'est-à-dire ρ = R = min(R,R̃).
Si R̃  R, on trouve de la même façon que ρ = R̃ = min(R,R̃).
Remarque 4.3
Lorsque les rayons de convergence R et R̃ de deux séries sont égaux, on ne peut pas prévoir le rayon de
convergence de la somme des séries.
Par exemple, le rayon de convergence des séries z n et −z n est 1.
Pourtant leur somme est nulle donc de rayon de convergence +.
Corollaire 4.4
Soient an zn et bn zn deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et R̃.
Soient  et  deux complexes.
Le rayon de convergence r de la série entière (a n + b n )z n est supérieur ou égal à min(R,R̃) et, pour
tout complexe z tel que | z | < min (R,R̃), on a (a n + b n )z n = a n z n + b n z n .
nm0
nm0
nm0
Propriété 4.5
Soient an zn et bn zn deux séries entières de rayons de convergence R et R̃.
n
Soit r le rayon de convergence de la série entière cn zn définie par cn = a n−k b k =
k=0
+∞
+∞
n=0
n=0
p+q=n
a p b q n.
+∞
Alors r ≥ min(R,R̃) et pour tout complexe z tel que | z | < min(R,R̃), on a cn zn = an zn bn zn.
n=0
Remarque 4.6
Puisque cn zn =
p+q=n
a p b q zn =
(a z
p
p+q=n
p
)(b q z q ), la série cn zn est le produit de Cauchy des séries an zn
et bn zn.
Francis Wlazinski
7
Démonstration
Le résultat découle directement de la propriété du produit de Cauchy des séries numériques.
En effet, si | z | < min(R,R̃), les séries (numériques) an zn et bn zn sont absolument convergentes et
donc leur produit (de Cauchy) converge.
Rappel 4.7
Soient a et b deux éléments de K.
n
n
On considère les séries entières a et b .
n!
n!
On a vu dans le cours sur les séries numériques que la série produit est
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
n
n
(a + b ) n +∞
a+b
e =
= wn = un vn = a % b = ea % eb.
n!
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0 n!
n=0 n!
(a + b ) n
et que :
n!
Remarque 4.8
Soit an zn une série entière de rayon de convergence R et de somme S.
n
La série entière cn,2 zn définie par cn,2 = a n−k a k =
k=0
a p a q pour tout entier n est la série produit de la
p+q=n
série an zn par elle-même. Son rayon de convergence est supérieur ou égal à R et, pour tout complexe z,
+∞
+∞
+∞
n=0
n=0
n=0
tel que | z | < R, on a cn,2 zn = an zn an zn = (S(z))2.
Remarquons, de plus, que, si a0 = 0, on a alors c0,2 = c1,2 = 0.
On a aussi
+∞
+∞
+∞
n=0
n=0
n=0
| cn,2 zn | ≤ | an zn | | an zn | puisque, pour tout entier n, | cn,2| =
p+q=n
apaq [
apaq .
p+q=n
On peut, de la même façon, construire une série entière dont la somme est S 3. En effet, la série entière
cn,3 zn définie par cn,3 = c p,2 a q pour tout entier n est la série produit de la série cn,2 zn par la série
p+q=n
a z . Son rayon de convergence est supérieur ou égal à R et, pour tout complexe z, tel que | z | < R, on a
c z = c z a z = (S(z)) .
+∞
n
n,3
n=0
n
+∞
n
+∞
n,2
n
n=0
n
n
3
n=0
On peut continuer ainsi de suite pour construire par récurrence les séries entières dont la somme sera S k
pour tout entier k  3.
Remarquons que, si a0 = 0, les k premiers termes de la série entière obtenue pour S k seront nuls.
+∞
On obtient aussi que | cn,k z | ≤
n
n=0
+∞
k
anz
n
.
n=0
Exemple 4.9
1 = z n . On pose a = 1.
n
1−z nm0
1
Donc
= 1 % 1 est la somme de la série entière dont le coefficient d'ordre n est a p a q
(1 − z) 2 1 − z 1 − z
p+q=n
c'est-à-dire n.
On a
Propriété 4.10
(composition)
Soient an zn et bn zn deux séries entières de rayons de convergence respectifs R > 0 et R̃ > 0 et de
sommes respectives S et S̃.
On suppose qu'il existe un réel strictement positif r tel que r < R et |a p r p | < R̃.
pm0
Alors on peut construire une série entière de rayon de convergence R0  r et de somme S̃ o S.
Francis Wlazinski
8
Démonstration
Pour tout entier k, soit c n,k z n la série entière de somme S k.
Les rayons de convergence de ces séries sont supérieurs ou égaux à R.
Pour tout complexe z tel que | z | r, on a (S̃ o S)(z) = S̃(S(z)) = b n (S(z)) n = b n ( c p,n z p ).
nm0
nm0
pm0
Pour pouvoir intervertir les sommes dans cette relation, il faut une convergence absolue de la série de
terme général b n c p,n z p .
pm0
Or
b c
n p,n
z
p
n
c
[ bn
pm0
Donc
p,n
z
p
b c
n p,n
c
[ bn
pm0
ar
zp [ bn
p
[ bn
az
p
p
d'après la remarque précédente.
pm0
. Puisque |a p r p | < R̃, on a bien convergence absolue.
p
pm0
pm0
D'où (S̃ o S)(z) = b n c p,n z p = nm0 pm0
z
pm0
n
pm0
p,n
p
b c
n p,n
z p pour tout complexe z tel que | z | r.
pm0 nm0
Exemples 4.11
Soit bn zn une série entière de rayon de convergence R̃ et de somme S̃.

Soit an zn la série entière définie par a0 = c, a1 = 1 et ak = 0 k 2.
Le rayon de convergence de cette série est +.
La somme est définie sur  par S(z) = z + c.
S'il existe un réel strictement positif r tel que | r | + | c | R̃, alors le rayon de convergence de la
série ayant pour somme (S̃ o S)(z) = S̃(z + c) = b n (z + c) n est supérieur ou égal à r.
nm0
n
Or (z + c) = C c z = c + nc
n
n−k n−k k
n
k=0
n
n−1
z+C
z + .... + C 3n c 3 z 3 + ncz n−1 + z n c'est-à-dire
n−2 n−2 2
n
c
n
n−k k
n−2 2
z = b n c n + nb n c n−1 z + C n−2
z + .... + C 3n b n c 3 z 3 + nb n cz n−1 + b n z n .
b n (z + c) = b n C n−k
n c
n bnc
n
k=0
Ce qui donne pour les premiers termes :
b 1 (z + c) 1 = C 11 b 1 c + C 01 b 1 z
b 2 (z + c) 2 = C 22 b 2 c + C 12 b 2 cz + C 02 b 2 z 2
b 3 (z + c) 3 = C 33 b 3 c + C 23 b 3 c 2 z + C 13 b 3 cz 2 + C 03 b 3 z 3
b 4 (z + c) 4 = C 44 b 4 c + C 34 b 4 c 3 z + C 24 b 4 c 2 z 2 + C 14 b 4 cz 3 + C 04 b 4 z 4 etc...
Soit un le coefficient d'ordre n de la série entière dont la somme est S̃ o S.
+∞
On a donc un = C kn+k b n+k c k .
k=0

Soit an zn la série entière définie par a2 = 1 et ak = 0 k2. .
Le rayon de convergence de cette série est +. La somme est définie sur  par S(z) = z2.
Le rayon de convergence de la série (S̃ o S)(z) = S̃(z2) = b n z 2n est supérieur ou égal à tout réel
nm0
2
positif r vérifiant | r |  R̃ . Ce rayon de convergence est donc R̃ .
Propriété 4.12
(inverse)
Soit an zn une série entière de rayon de convergence R > 0, de somme s et telle que a0  0.
Alors on peut construire une série entière ωn zn de rayon de convergence R̃ > 0 et de somme σ telle que,
pour tout complexe z tel que | z | < min (R,R̃), on ait s(z) × σ(z) = 1 .
Francis Wlazinski
9
Démonstration
a
a
Pour tout z vérifiant | z | < R, on a s(z) = a n z n = a 0 + a n z n = a 0 + a 0 a n0 z n = a 0 1 + a n0 z n .
nm0
nm1
nm1
nm1
a
Si on pose U(z) = − a n0 z n , on a donc s(z) = a 0 (1 − U(z)).
nm1
De plus, U est une fonction continue sur le disque ouvert de convergence B(0,R).
En particulier, lim
U(z) = 0 et donc il existe une réel strictement positif r tel que | U(z) | < 1 dès que | z | < r.
zd0
Le rayon de convergence de la série entière z n est 1 et sa somme est définie par S̃(z) = 1 .
1−z
Nous sommes donc dans les conditions de l'utilisation de la propriété précédente et on peut construire une
1
série de somme définie par (S̃ o U)(z) =
.
1 − U(z)
Enfin, il suffit de multiplier cette dernière série par a0 pour obtenir le résultat recherché.
Remarque 4.13
Soient un zn et vn zn deux séries entières telles que un zn  vn zn = 1.
nm0
nm0
Les premiers termes de la série produit de Cauchy sont u0v0, (u0v1 + u1v0)z, (u0v2 + u1v1 + u2v0) z2, ....
De façon général, pour tout entier n non nul, le terme d'ordre n est (u 0 v n + u 1 v n−1 + £ + u n−1 v 1 + u n v 0 )z n .
On donc u0v0 = 1 et, n1, u 0 v n + u 1 v n−1 + £ + u n−1 v 1 + u n v 0 = 0.
Si on connaît les (un), on peut déterminer de proche en proche les (vn).
5. Dérivation et intégration
Définition 5.1
On appelle série dérivée de la série an zn la série entière de terme général (n + 1) an + 1 zn.
Remarques 5.2
•
n
Si P = a k X k = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + ...a n X n K[X], alors
P' =
k=0
n
a X
k
k=0
•
∏
k
n
n−1
= a 1 + 2a 2 X + 3a 3 X 2 + ... + na n X n−1 = ka k X k−1 = (k + 1)a k+1 X k .
k=1
k=0
N
Lorsque l'on effectue un changement d'indice, on obtient (k + 1 )a k+1 z k =
+∞
k=0
+∞
N+1
ka z
k
k−1
.
k=1
Lorsque la somme existe, nous avons alors (n + 1 )a n+1 z n = na n z n−1 .
n=0
n=1
Exemple 5.3
n−1
n
La série dérivée de la série z est la série entière de terme général z
pour n  1 c'est-à-dire, à
n!
(n − 1)!
n
nouveau la série entière de terme général z pour n  0.
n!
Propriété 5.4
Une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.
Francis Wlazinski
10
Démonstration
Soit an zn une série entière et (n + 1) an + 1 zn sa série dévirée.
1/n
lim |(n + 1 )a n+1 | 1/n = nd+∞
lim (n + 1 ) % |a n+1 | 1/n .
nd+∞
n/n−1
1/n
Or nd+∞
lim (n + 1 ) = nd+∞
lim exp 1n ln(1 + n ) = e 0 = 1 et nd+∞
lim |a n+1 | 1/n = nd+∞
lim |a n | 1/n−1 = nd+∞
lim (|a n | 1/n )
= nd+∞
lim |a n | 1/n .
Corollaire 5.5
Soit an zn une série entière et soit p un entier non nul.
(n + p )!
La série entière (n + p)(n + p − 1) ... (n + 1) an+p zn = a n+p zn est appelée série dérivée p-ième
n!
de la série an zn et a le même rayon de convergence que celle-ci.
+∞
+∞
(n + p )!
Lorsque la somme existe, nous avons a n+p z n = n! a n z n−p .
n!
n=0
n=p (n − p )!
Remarque 5.6
Une série entière et ses séries dérivées successives, même si elles ont le même rayon de convergence,
peuvent avoir des comportements différents aux points du bord du disque ouvert de convergence.
Corollaire 5.7
1 a zn+1 obtenue par "intégration terme à terme" de la série a zn a le même rayon de
n+∞
n+1 n
+∞
convergence que celle-ci. En cas de convergence, nous avons 1 a n z n+1 = 1n a n−1 z n .
n=0 n + 1
n=1
La série Définition 5.8
Soit f une application d'un ouvert  de  dans  et soit z0 un point de .
f(z) − f(z 0 )
On dit que f est dérivable en z0 si le rapport z − z 0 admet une limite finie quand z tend vers z0.
Cette limite, si elle existe, est alors notée f'(z0).
Si f est dérivable en tout point de , on dit que f est holomorphe sur .
Remarques 5.9
•
•
•
L'application qui, à z0, associe f'(z0) est appelée fonction dérivée et est notée f'.
Cette définition n'est qu'une extension de celle connue pour les fonctions de  dans .
On a des propriétés identiques aux fonctions de  dans .
En particulier, avec les hypothèses qui s'imposent :
#
(f + g)' = f' + g'
#
(fg)' = f'g + g'f
∏
∏
f ∏ = f g − fg
#
g
g2
#
(g o f)' = f'  (g' o f)
Propriété 5.10
Soit an zn une série entière, de rayon de convergence R non nul et de somme S(z).
Alors S est une fonction holomorphe sur son disque ouvert de convergence et, sur cet ensemble,
+∞
+∞
n
(
)
S'(z) = n + 1 a n+1 z = na n z n−1 .
n=0
Francis Wlazinski
n=1
11
Démonstration
Soient deux complexes différents z et z0 de B(0,R).
On suppose z0 fixé et on va faire tendre z vers z0.
S(z) − S(z 0 )
On pose g(z) =
z − z0 .
a n z n − a n z n0 (a n z n − a n z n0 ) a n (z n − z n0 )
z n − z n0
nm0
nm0
nm0
nm0
On a g(z) =
=
=
=
a
n
z − z0
z − z0
z − z0
z − z0 .
nm0
n−1
C'est-à-dire g(z) = a n
z
nm1
n−1
n−1−k k
0
z
+ a0.
k=0
On pose hn(z) = a n z n−1−k z k0 , on a donc que g est la somme de la série de fonctions de terme général hn.
k=0
Or, on peut supposer que z et z0 appartiennent à un disque fermé D de centre O et de rayon r < R.
On a donc | hn(z) | ≤ a n
n−1
r
r = n a n r n−1 .
n−1−k k
k=0
Les séries an zn et n an zn−1 (série dérivée) ayant même rayon de convergence, la série n a n r n−1 est
convergente. Donc la série de fonctions de terme général hn est normalement convergente sur D.
En particulier, sa somme est continue puisque toutes les fonctions hn sont continues.
On a donc lim
g(z) = lim
lim
zdz o
zdz o nd+∞
n
lim
h k (z) = nd+∞
k=1
Ce qui signifie que f'(z0) = na z
n−1
n 0
n
h (z) = nd+∞
lim
lim
zdz o n
k=1
n
lim
h n (z 0 ) = nd+∞
k=1
n
ka z
k−1
k 0
k=1
= na n z n−1
0 .
nm1
.
nm1
Corollaire 5.11
Soit an tn une série entière réelle, de rayon de convergence R > 0 et de somme S. Alors S est dérivable
+∞
+∞
n=0
n=1
sur ]−R,R[ ou sur  si R = + et, sur cet ensemble, S'(t) = (n + 1 )a n+1 t n = na n t n−1 .
Corollaire 5.12
Soit an tn une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme S.
L'application S est de classe C ∞ sur ]−R,R[ ou sur  si R = +, et sur cet ensemble :
+∞
+∞
(n + p )!
a n+p t n
∀p > 0, S(p)(t) = (n + p)(n + p − 1) ... (n + 1) an+p tn = n!
n=0
n=0
+∞
+∞
= n(n − 1) ... (n − p + 1) an tn−p = n! a n t n−p .
n=p
n=p (n − p )!
Remarque 5.13
Les énoncés précédents signifient que la somme d'une série entière est infiniment dérivable sur son
intervalle de convergence. De plus, on peut dériver, terme à terme et autant de fois que veut, la somme
d'une série entière, sur son intervalle ouvert de convergence. En effet, dans le cas des séries entières, les
conditions (en particulier la convergence uniforme de la dérivée) du théorème de dérivation des séries de
fonctions sont vérifiées.
Exemple 5.14
1 = (1 − t) −1 pour tout réel t]−1;1[.
1−t
1 , n(n − 1)t n−2 = 2(1 − t) −3 = 1 % 2 et, de façon plus générale,
On a donc nt n−1 = (1 − t) −2 =
(1 − t) 2 (1 − t) 3
nm1
nm2
p!
∀p ≥ 3, n(n − 1) ... (n − p + 1) tn−p =
.
(1
−
t) p+1
nmp
Nous savons que
t
n
=
nm0
Francis Wlazinski
12
C'est-à-dire
+∞
+∞
n=0
n=p
n−p
=
C nn+p t n = C n−p
n t
+∞
(n −n!p )!p! t
n−p
=
n=p
1
.
(1 − t) p+1
Corollaire 5.15
Soit an zn une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme S.
S (n) (0 )
Pour tout entier n, le coefficient an est égal à
.
n!
Corollaire 5.16
Soient an zn et bn zn deux séries entières de rayons de convergence respectifs R1 > 0 et R2 > 0 et de
sommes respectives S1 et S2.
On suppose qu'il existe un réel strictement positif ρ ≤ min(R1,R2) tel que, zB(0,ρ), S1(z) = S2(z).
Alors ces deux séries sont identiques, c'est-à-dire ∀n∈, an = bn.
Corollaire 5.17
Soit une série entière réelle de terme général an xn, de somme f et de rayon de convergence R non nul.
x
+∞
a
Alors ¶ f(t)dt = n x n+1 pour tout x de ]−R,R[ ou de  si R = +.
n
+1
n=0
0
Remarques 5.18
x
•
¶ f(t)dt est la primitive de f qui s'annule en 0. Il n'y a donc pas de terme constant.
0
x
Les autres primitives de f s'obtiennent à partir de ¶ f(t)dt simplement en ajoutant un premier terme
+∞
à la série •
•
•
0
a n n+1
x .
n+1
n=0
x +∞
+∞
x
0 n=0
n=0
0
On a donc ¶ a n t n dt = a n ¶ t n dt.
Ce résultat découle aussi de la convergence uniforme de an xn sur tout fermé borné de ]−R,R[.
Toute primitive de la fonction f, sur l'intervalle ]−R,R[, est obtenue par intégration terme à terme.
Exemple 5.19
n
On considère la série entière t qui converge sur  vers la fonction exponentielle.
n! x
x
n
n+1
n
n
Pour tout réel x, on retrouve donc, ¶ e t dt = ¶ t dt = x
= x = x − 1 = e x − 1.
n!
nm0 (n + 1)!
nm1 n!
nm0 n!
0
0 nm0
Corollaire 5.20
Soit an tn une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme S(t).
Sur tout segment [α,β] inclus dans ]−R,R[ ou dans  si R = +, on peut donc écrire :
+∞
+∞ +∞
n
¶
an t dt = ¶ an tn dt = 1 a n ( n+1 − n+1 ).
n=0 n=0 n + 1
n=0
Francis Wlazinski
13
6. Fonctions développables en série entière
6.1 Généralités
Définition 6.1
Soit f une fonction complexe définie sur un voisinage  de l'origine dans .
On dit que f est développable en série entière à l'origine s'il existe une suite (an)n∈ de complexes tels que,
+∞
pour tout z de , f (z) = a n z n .
n=0
Exemple 6.2
+∞
1 = (−1)nx2n.
1 + x2 n=0
f est développable en série entière en 0, avec un rayon de convergence égal à 1.
Mais l'ensemble de définition de f contient strictement ]−1,1[.
Toutefois f ne peut plus être représenté par cette série entière en dehors de cet intervalle.
Pour tout x de ]−1,1[,
Remarques 6.3
•
•
Un disque ouvert de centre O est de rayon r > 0 est un voisinage de l'origine.
On dit que l'on a développé f en série entière au voisinage de O lorsque l'on a trouvé un réel ρ > 0
+∞
et une suite (an)n∈ de complexes tels que, pour tout z de B(0,ρ), f (z) = a n z n .
•
n=0
Dans le cas réel, cela donne :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant 0.
Développer f en série entière au voisinage de 0 revient à déterminer un réel strictement positif ρ et
+∞
une suite (an)n∈ de réels tels que, pour tout x de ]−ρ,ρ[, f (x) = a n x n .
•
•
•
n=0
On abrège parfois "développable en série entière" par DSE.
Avec les notations précédentes, pour que f soit développable en série entière, il faut que le rayon
de convergence R de an zn soit au moins égal à ρ.
Il n'est cependant pas nécessaire que ρ soit égal à R.
Plus précisément, si ρ convient, alors tout réel strictement positif ρ' < ρ convient encore.
Le changement de variable x = x0 + h ramène le problème en 0.
Toute les définitions et propriétés peuvent donc être données pour un développement à l'origine.
Toutefois, pour une fonction, être développable en série entière pour tout les points d'un ensemble
est une propriété spécifique que nous verrons un peu plus loin.
6.2 Série de MacLaurin
Définition 6.4
Soit Ω un ouvert de  contenant 0.
Soit f une application de Ω dans K.
On suppose que f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine.
La série entière 1 f (n)(0) tn est appelée série de MacLaurin de f.
n!
Francis Wlazinski
14
Propriété 6.5
Si f est développable en série entière en 0, alors f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine.
La série entière égale à f au voisinage de 0 est nécessairement la série de MacLaurin de f.
+∞
C'est-à-dire, il existe un réel R > 0 tel que, sur ]−R,R[, f (t) = 1 f(n)(0) tn.
n=0 n!
Démonstration
Cela provient directement des corollaires 5.12, 5.15 et 5.16.
Remarques 6.6
•
•
•
•
L'utilisation du corollaire 5.12 et du corollaire 5.15 peut se faire sur les séries complexes
moyennant un changement de vocabulaire.
Même s'il est moins utilisé, on a donc un résultat similaire pour les séries complexes :
Si f est développable en série entière en 0, alors f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine et
+∞
il existe un réel strictement positif R tel que, sur B(0,R), f (z) = 1 f(n)(0) zn.
n=0 n!
Le développement d'une fonction en série entière, s'il existe, est unique.
Si f est développable en série entière, alors (f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine et) f
vérifie les conditions du théorème de Taylor.
Donc f admet un D.L. en 0 à l'ordre p quel que soit l'entier naturel p.
La somme S(z) de la série entière an zn est une fonction paire (resp. impaire) si et seulement si
tous les coefficients an de rang impair (resp. pair) sont nuls.
Remarque 6.7
Même si f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine, et même si la série de MacLaurin de f a un rayon
de convergence strictement positif, on ne peut pas affirmer que f est développable en série entière en 0.
Par exemple, soit l'application f définie par f : 
x  exp − x12
si x > 0.
x0
si x ≤ 0.
On a bien que f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine.
En effet, ∀p∈, si x > 0, f (p)(x) est de la forme P 1x  exp − x12 . On a donc, ∀p∈, f (p)(0) = 0.
Si f était développable en série entière, on aurait tous les coefficients nuls, c'est-à-dire f = 0 : absurde.
Rappel 6.8
(Formule de Taylor avec reste intégrale)
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de  contenant 0. On suppose que f est infiniment dérivable
x
n
f (k) (0) k
(x − t) n (n+1)
sur I. Alors, pour tout x de I et pour tout entier n, f(x) = x + Rn(x) où Rn(x) = ¶
f (t)dt.
n!
k!
k=0
0
Remarque 6.9
Soient a un réel strictement positif et f une fonction de ]−a;a[ dans K.
Pour que f soit développable en série entière sur ]−a;a[, il faut et il suffit que :
a.
f soit infiniment dérivable sur ]−a;a[.
n
f (k) (0) k
x =0
b.
Pour tout x de ]−a;a[, nd+∞
lim f(x) − k!
k=0
Francis Wlazinski
15
Propriété 6.10
Soit Ω un ouvert de  contenant 0, et f une application de Ω dans K.
On suppose que f est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine.
On suppose d'autre part qu'il existe r > 0 et M ≥ 0 tels que, ∀x∈]−r,r[, ∀p∈, |f (p)(x)| ≤ M.
Alors f est développable en série entière en 0, avec un rayon de convergence au moins égal à r.
Démonstration
x
n
On a, pour tout entier n, f (x) = k=0
x
n
f (k ) (0 ) k 1 (
f (k ) (0 ) k
x +
¶
x + R n (x ).
x − t )f (n+1 ) (t ) dt = n! 0
k!
k!
k=0
x
n
n
Pour tout x∈]−r,r[, | Rn(x) | = 1 ¶(x − t ) f (n+1 ) (t ) dt [ 1 ¶ (x − t ) f (n+1 ) (t ) dt
n! 0
n! 0
x
M

¶ (x − t ) n dt [ (n +M1 )! x n+1 .
n! 0
n+1
x
lim R n (x ) = 0 pour tout x∈]−r,r[.
On a nd+∞
= 0 donc nd+∞
lim
(n + 1 )!
Remarque 6.11
Cette condition n'est pas nécessaire, comme le montre l'exemple de f(x) =
1 .
1−x
Propriété 6.12
Soient a un réel strictement positif et f une fonction de ]−a;a[ dans K infiniment dérivable sur ]−a;a[.
f (p ) (x )
On suppose, de plus, que r]0;a[ c > 0 / x]−r,r[, p,
 c r−p.
p!
Alors f est développable en série entière en 0, avec un rayon de convergence au moins égal à r.
Démonstration
f (p ) (0 )
 c r−p.
p!
p
f (p ) (0 ) p
On a donc x]−r,r[, p,
x  c xr avec xr < 1.
p!
f (k ) (0 ) k
Donc, x]−r,r[, la série (numérique) x est absolument convergente.
k!
x
n
On a | Rn(x) | = 1 ¶(x − t ) f (n+1 ) (t ) dt .
n! 0
Pour x = 0, on obtient p,
1
n
On utilisant le changement de variable t = xu, on obtient | Rn(x) | = 1 ¶(x − xu ) f (n+1 ) (xu )x du .
n! 0
1
n+1
n
C'est-à-dire | Rn(x) | = x ¶(1 − u ) f (n+1 ) (xu ) du .
n! 0
Donc | Rn(x) | ≤
n+1 1
x
n!
¶ (1 − u ) f
0
(n + 1) x
Et alors, | Rn(x) | ≤ c
r n+1
n (n+1 )
n+1
n+1 1
(xu ) du [ x
n!
n+1
− 1 (1 − u )
n+1
1
0
¶ (1 − u ) cr
0
n
(n + 1) x
=c
r n+1
−n−1
du [ c
n+1
%
(n + 1)! x
n!r n+1
1 =c x
r
n+1
n+1
n+1 1
¶(1 − u )
n
du.
0
.
On a donc nd+∞
lim R n (x ) = 0 pour tout x∈]−r,r[.
Francis Wlazinski
16
Exemple 6.13
On peut utiliser cette caractérisation pour montrer que la fonction exponentielle est développable en série
n
entière en 0par f (x) = ex = x .
nm0 n!
x
r
p r
f (p ) (x )
En effet, r, x]−r,r[, p,
= e [ e = r1p % r e
p!
p! p!
p!
p r
r
e
p −p
Puisque p! i p e 2p , on a pdd+∞
lim
= 0.
p!
p r
La suite de terme général r e est donc bornée.
n!
p r
Il suffit donc de poser c = sup p r e .
p!
6.3. Développement en série entière et opérations
Corollaire 6.14
Soient f et g deux applications développables en série entière en 0 de développement an zn et bn zn.
•
Pour tous scalaires α et β, l'application αf + βg est développable en série entière en 0.
Le développement est alors (αan + βbn) zn.
•
L'application f g est développable en série entière en 0.
Le développement est alors le produit de Cauchy des séries an zn et bn zn.
Remarque 6.15
L'ensemble des fonctions développables en série entière muni des lois usuelles (+,.,) est une algèbre.
Corollaire 6.16
Soient f et g deux applications développables en série entière à l'origine de développement respectif
an zn et bn zn. Si f(0) = 0, alors g o f est développable en sérien entière en 0.
Le développement est alors obtenu en substituant la série an z dans la série bn zn.
Propriété 6.17
Si f est développable en série entière en 0, et si f(0) ≠ 0, alors 1 est développable en série entière en 0.
f
Propriété 6.18
Soit f une application développable en série entière en 0 :
•
Les dérivées successives de f sont développables en série entière en 0.
Le développement de f (p) s'obtient en dérivant terme à terme p fois celui de f.
•
Toute primitive F de f est développable en série entière en 0.
Le développement de F s'obtient en intégrant terme à terme celui de f. Le terme constant étant la
valeur de F en 0.
Remarque 6.19
Lorsqu'une fonction est l'unique solution d'une équation différentielle (munie donc de conditions
initiales), il est parfois possible de déterminer la valeur des coefficients du développement en série entière
de la fonction.
Francis Wlazinski
17
6.4. Prolongement
Définition 6.20
+∞
Soit f une application de  dans  développable en série entière sur ]−R;R[ par f (x) = an xn.
+∞
n=0
On peut définir une fonction f˜ de dans sur B(0;R) en posant f˜(z) = an zn.
n=0
Exemples 6.21
+∞
+∞
n
n
Puisque, pour tout réel x, on a ex = x , on peut poser ez = z pour z complexe.
n=0 n!
n=0 n!
+∞
+∞
(−1 ) n 2n
(−1 ) n 2n+1
De même, on pose cos(z) = z et sin(z) = z .
n=0 (2n )!
n=0 (2n + 1 )!
Remarque 6.22
On peut utiliser les propriétés des séries entières pour montrer les propriétés de l'exponentielle complexe
ou des fonctions trigonométriques complexes. Par exemple :
∏
∏
z,z', e z+z = e z % e z
x, e ix = cos x + i sin x
z,z', cos (z + z') = cos z cos z' − sin z sin z' et sin (z + z') = sin z cos z' + sin z' cos z.
Attention, pour z complexe, on n'a pas nécessairement | cos z | ≤ 1.
6.5. Développements usuels
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
+∞
n
ex = x
n=0 n!
(R = +∞)
+∞
∀a > 0, ax = ln(a ) n
x
n!
(R = +∞)
n=0
+∞
n
∀z∈, ez = z
(R = +∞)
n=0 n!
En prenant la partie réelle de exp (ix), on obtient
+∞
(−1 ) n 2n
cos x = x
(R = +∞)
n=0 (2n )!
En prenant la partie imaginaire de exp (ix), on obtient
+∞
(−1 ) n 2n+1
sin x = x
(R = +∞)
n=0 (2n + 1 )!
En prenant la partie paire de exp (x), on obtient
+∞
ch x = 1 x 2n
(R = +∞)
n=0 (2n )!
En prenant la partie impaire de exp (x), on obtient
+∞
1
sh x = x 2n+1
(R = +∞)
(
)
2n
+
1
!
n=0
x  (1 + x)a est solution de l'équation différentielle (1 + x) y' = ay. On obtient alors :
+∞
a(a − 1 )...(a − n + 1 ) n
∀a∈, (1 + x)a = 1 + x
(R = 1).
n!
n=1
Avec le cas particulier a = 1,
+∞
1 = (−1)n xn
(R = 1).
1 + x n=0
En utilisant le changement x  −x, on obtient
+∞
1 = xn
(R = 1).
1 − x n=0
Francis Wlazinski
18
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
En utilisant le changement x  x2, on obtient
+∞
1 = (−1)n x2n
(R = 1).
1 + x2 n=0
En utilisant le changement x  x2, on obtient
+∞
1 = x2n
(R = 1).
1 − x2 n=0
Avec le cas particulier a = 1/2, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) n
1
x
= 1 + (−1) n
(R = 1).
2 n n!
n=1
1+x
En utilisant le changement x  −x, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) n
1
=1+ n
x
(R = 1).
2 n n!
n=1
1−x
En utilisant le changement x  x2, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) 2n
1
= 1 + (−1) n
x
(R = 1).
2 n n!
n=1
1 + x2
En utilisant le changement x  x2, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) 2n
1
=1+
(R = 1).
x
2 n n!
2
n=1
1−x
Par dérivation, on obtient
+∞
(n + p)(n + p − 1)...(n + 1) n
1
=
x pour tout entier p > 1 (R = 1).
p+1
(1 − x)
p!
n=0
Par intégration, on obtient
+∞
(−1 ) n n+1 +∞ (−1 ) n−1 n
ln (1 + x) = x =
(R = 1).
n x
n=0 n + 1
n=1
(Le développement précédent est encore valable si x = 1)
En utilisant le changement x  −x, on obtient
+∞
n
ln (1 − x) = − xn
(R = 1).
n=1
(Le développement précédent est encore valable si x = −1)
Par intégration, on obtient
+∞
(−1 ) n 2n+1
x
(R = 1).
arctan x = n=0 2n + 1
(Le développement précédent est encore valable si x = ±1)
Par intégration, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) x 2n+1
arcsin x = t + (R = 1).
2 % 4 % ... % (2n ) 2n + 1
n=1
(Le développement précédent est encore valable si x = ±1)
Puisque arccos (x) = − arcsin (x), on obtient
2
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) x 2n+1
arccos x = − t − (R = 1).
2
2 % 4 % ... % (2n ) 2n + 1
n=1
Par intégration, on obtient
+∞
1 % 3 % ... % (2n − 1 ) x 2n+1
argsh x = t + (−1) n
(R = 1).
2 % 4 % ... % (2n ) 2n + 1
n=1
Par intégration, on obtient
+∞
argth x = 1 x 2n+1
(R = 1).
n=0 2n + 1
+∞
n
∀a∈*, a 1− x = 1a % 1 x = axn+1
(R = |a|).
1 − a n=0
En dérivant p − 1 fois le développement, on obtient
+∞
p−1
1
xn
∀a∈*, ∀p∈*,
=
C n+p−1
(R = |a|).
p
n+p
a
(a − x )
n=0
Si f est une fraction rationnelle, n'admettant pas 0 pour pôle, alors f est développable en série
entière en 0, le rayon de convergence du développement étant le plus petit module des pôles de f.
Francis Wlazinski
19
6.6. Fonctions analytiques
Définition 6.20
Soit f une application d'un ouvert  de  dans  et soit z0 un point de .
On dit que f est développable en série entière en z0 si la fonction qui, à tout h, associe f (z0 + h) est
développable en série entière en 0. C'est-à-dire, si et seulement si il existe une série entière an zn et un
+∞
réel ρ > 0 tels que | z − z0 | < ρ ⇒ f (z) = an(z − z0)n.
n=0
Définition 6.21
Soit f une application définie sur un ouvert  de, à valeurs dans .
On dit que f est analytique si f est développable en série entière en tout point z0 de .
Exemples 6.22
•
•
+∞
n
L'application x  exp (x) est développable en série entière en 0 : ∀x∈, exp (x) = x .
n=0 n!
+∞
(x − x 0 ) n
Plus généralement, ∀x0∈, ∀x∈, exp (x) = exp (x0) exp (x − x0) = exp (x0) .
n!
n=0
Donc l'application x  exp(x) est développable en série entière en tout point de .
+∞
L'application x  f (x) = 1 est développable en série entière en 0 : ∀x∈]−1,1[, 1 = xn.
1−x
1 − x n=0
Plus généralement, soit x0 un élément de ]−1,1[. Alors :
+∞
x − x 0 n +∞
1 = 1 % 1 = 1 %
1
1
1
(
)n
=
1 − x0 = n+1 x − x 0
1 − x 1 − x0
1−x
1 − x0 1 − x − x0
1 − x 0 n=0
)
(
n=0 1 − x 0
1 − x0
1 − x0
Le rayon de convergence du développement précédent est |1 − x0|.
On a donc que f est développable en série entière en tout point de ]−1,1[.
Remarques 6.23
•
•
On définit identiquement les fonctions analytiques réelles :
Soit f une application définie sur un ouvert U de, à valeurs dans.
On dit que f est analytique si f est développable en série entière en tout point x0 de U.
Les propriétés des fonctions analytiques découlent directement des propriétés des fonctions
développables en série entière à l'origine.
Corollaire 6.24
Soit f une application analytique sur un ouvert  de .
Alors f est infiniment dérivable sur .
+∞
De plus, pour tout point z0 de , il existe un réel R > 0 tel que, sur B(z0,R), f (z) = 1 f(n)(z0) (z − z0)n.
n=0 n!
Justification
Soit f˜ la fonction qui, à tout h, associe f (z0 + h).
Nous savons (remarque 6.6) que f˜ est de classe C ∞ sur un voisinage de l'origine et qu'il existe un réel
+∞
strictement positif R tel que, sur B(0,R), f˜(h) = 1 f˜(n)(0) hn. De plus, on a f˜(n)(0) = f (n)(z0) et h = z − z0.
n=0 n!
Francis Wlazinski
20
Corollaire 6.25
Toutes les dérivées successives d'une fonction analytique sont des fonctions analytiques.
Corollaire 6.26
La somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions analytiques (sur des ensembles qui
permettent ces opérations) sont des fonctions analytiques.
Propriété 6.27
Si f est développable en série entière en 0, et si le rayon de convergence de ce développement est
strictement positif, alors f est analytique sur son disque ouvert de convergence.
Démonstration
Soit an zn une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f qui vérifie donc, pour tout z
+∞
de B(0,R), f (z) = an zn.
n=0
Soit z0 un point de B(0,R) et h un complexe tel que z0 + hB(0,R).
+∞
+∞
n
n=0
n=0
k=0
k
On a f (z0 + h) = an (z0 + h)n = an C kn z n−k
0 h .
Pour obtenir un développement en série entière de f (z0 + h), il faut pouvoir réordonner les termes de la
n
k
double somme. Il suffit donc que la série de terme général a n C kn z n−k
0 h soit absolument convergente.
n
k=0
n
C z h =
Puisque les séries entières a z et | a | z
Or a n C z
k
n
n−k
0
h = an
k
k=0
n−k
k
n
an ( z0 + h ) .
k
n
0
k=0
n
n
ont même rayon de convergence, l'absolue convergence est
obtenue si | z0 | + | h| < R c'est-à-dire si | h| < R − | z0 |.
n
n
+∞
n
+∞
n
n=0
k=0
n=0
k=0
k
k n−k k
Dans ce cas, f (z0 + h) = a n C kn z n−k
lim
0 h = a n C n z 0 h = pd+∞
p
n
n=0
k=0
k
a n C kn z n−k
0 h .
n
k
Pour n = 0, on a a n C kn z n−k
0 h = a0
k=0
n
0
k
1
Pour n = 1, on a a n C kn z n−k
0 h = a 1 (C 1 z 0 + C 1 h)
k=0
n
0 2
k
1
2 2
Pour n = 2, on a a n C kn z n−k
0 h = a 2 (C 2 z 0 + C 2 z 0 h + C 2 h )
k=0
n
0 3
3 3
k
1 2
2
2
Pour n = 3, on a a n C kn z n−k
0 h = a 3 (C 3 z 0 + C 3 z 0 h + C 3 z 0 h + C 3 h )
k=0
§
n
k
0 p
1 p−1
p−2 p−2 2
p−3 p−3 3
p p
Pour n = p, on a a n C kn z n−k
0 h = a p (C p z 0 + C p z 0 h + C p z 0 h + C p z 0 h + ............ + C p h )
k=0
D'où f (z0 + h) = pd+∞
lim
p
+∞
p
a C
n
k=0 n=k
k
n
z n−k
hk = 0
+∞
a C
n
k
n
z n−k
hk
0
k=0 n=k
On a bien un développement en série entière de f en z0.
+∞
On peut remarquer que b k = a n C kn z n−k
= 1 f (k) (z 0 ) (voir corollaire 5.12) et on retrouve le résultat du
0
k!
n=k
corollaire 6.23.
Francis Wlazinski
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