Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique

1 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique
A. Application des principes
1. Transformations polytropiques d’un gaz parfait
On appelle transformation polytropique une transformation réversible au cours de laquelle les transferts de
travail et thermique vérifient δW = kδQ, où k est une constante. On étudie de telles transformations pour un
gaz parfait à coefficient γ constant.
1. Établir la relation liant p et V le long de cette transformation, sous la forme pV q = Cte.
Déterminer les différents cas particuliers : transformations isotherme, isobare, isochore et isentropique.
Représenter l’allure de ces quatre transformations, à partir d’un même état initial, dans un diagramme
(p, V ).
2. L’air de l’atmosphère est en équilibre polytropique ; en déduire la loi de variation de la température avec
l’altitude. On considérera q 6= 1 et on notera g l’accélération de la pesanteur (supposée constante) et M
la masse molaire de l’air.
3. Évaluer la hauteur totale de l’atmosphère si q = 1, 2, l’atmosphère étant de l’air (M = 29 g · mol−1 ) de
température au sol 0 ◦ C, avec g = 9, 8 m · s−2 .
2. Chauffe-eau au gaz
De l’eau dont la capacité thermique est c = 4, 18 kJ · kg−1 · K−1 entre à T0 (14 ◦ C) dans un chauffe-eau et en
ressort à la température Tf (33 ◦ C). Pendant 5 minutes, il a circulé 10 L d’eau pour une consommation de 27 L
de gaz. Le gaz possède un pouvoir énergétique P E = 10, 4 kWh · m−3 .
1. Calculer le rendement du chauffage.
Le rendement du chauffage n’est pas de 100% car il s’effectue entre l’eau chaude et l’extérieur (qu’on
suppose toujours à la température T0 ) un transfert thermique modélisé par la puissance transférée suivante :
Ppertes thermiques = α(T − T0 )
2. Calculer α.
3. Compresseur refroidi
On étudie un compresseur simple (figure ci-contre) qui fait passer réversiblement de l’air de l’état (TE = 550 K, pE = 15 bar) à l’état (TS = 450 K,
pS = 150 bar). Le débit massique est D = 0, 1 kg · s−1 . Pour l’air, on prendra
r = 287 J · kg−1 · K−1 , cp = 1 kJ · kg−1 · K−1 et γ = 1, 40. On négligera les
variations d’énergie cinétique. Déterminer la puissance du compresseur ainsi
que la puissance thermique en sachant que le transfert thermique s’effectue
avec un thermostat à T0 = 300 K.
˙
Réponses : Dcp (TS − TE ) = Pcomp + Pth , D∆s = Stransf
+ S˙cr =
Pcomp = 16 kW.
Pth
T0 ,
Pcomp
(pE , TE )
(pS , TS )
Pth
∆s = cp ln TTES − r ln ppES , Pth = −26 kW,
4. Détente dans une tuyère
Une masse d’air assimilée à un gaz parfait arrive à l’entrée d’une tuyère avec une température T0 = 293 K et une
vitesse d’ensemble v. La tuyère la conduit dans un très grand réservoir où elle se disperse et où sa température
est Tf = 500 K. La tuyère et le réservoir sont parfaitement calorifugés. L’air sera assimilé à un gaz parfait
diatomique de coefficient γ = 1, 40, la constante des gaz parfaits est r = R/Mair = 287 J · kg−1 · K−1 . Calculer
la vitesse v de l’air à l’entrée de la tuyère.
Réponses : v = 643 m · s−1 .
5. Détente dans le vide
L’air atmosphérique est assimilé à un gaz parfait diatomique, de pression et température constantes (1 bar,
20 ◦ C). On fait le vide dans un récipient à parois bien isolées sur le plan thermique, indéformable, de volume
égal à 1 L. Il peut communiquer avec l’extérieur au moyen d’un robinet de petites dimensions.
1. On ouvre un bref instant le robinet, faisant entrer de l’air dans le récipient. Le robinet est ensuite refermé.
Quel est la température de l’air entré dans le ballon ? Quelle est l’entropie créée par cette opération ?
2. On attend ensuite longtemps, de sorte que l’équilibre de température se refasse entre l’intérieur et l’extérieur. Quelle est l’entropie créée par cette transformation ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique – 2
Réponses : V0 volume des moles d’air qui rentrent dans le récipient p0 V0 = n0 RT0 , une fois entrées : p0 V =
0 Rγ
0R
0R
n0 RT1 , ∆U = nγ−1
(T1 −T0 ) = p0 V0 , T1 = γT0 , ∆S = nγ−1
ln TT10 +n0 R ln VV0 = nγ−1
ln γ, ∆S = Scr = 0, 28 J·K−1
n0 R
0R
(T0 − T1 ) = −n0 RT0 , ∆S = nγ−1
ln γ1 = Stransf + Scr , Stransf =
positive, irréversible ; isochore Q = ∆U = γ−1
1
−1
−n0 R, Scr = n0 R[1 − γ−1 ln γ] = 0, 04 J · K positive, irréversible.
B. Machines thermodynamiques
6. Système de climatisation
On étudie l’installation de climatisation d’un wagon. On néglige les variations d’énergie cinétique. Un moteur
entraı̂ne un compresseur puisant de l’air dans le wagon à la température θA = 20 ◦ C et à la pression pA = 1 bar.
La compression est adiabatique et réversible. A la sortie l’air est dans l’état θB , pB . Il perd ensuite de l’énergie
par un transfert thermique isobare au profit de l’air extérieur au wagon qui est à 37 ◦ C. Sa température est alors
θC . Il effectue ensuite une détente adiabatique et réversible dans une turbine, à la suite de quoi il est rejeté dans
le wagon à la pression pD = 1 bar et à la température θD = −5 ◦ C. Le compresseur et la turbine sont sur le
même axe. Pour l’air, on prendra r = 287 J · kg−1 · K−1 , cp = 1 kJ · kg−1 · K−1 et γ = 1, 40. On raisonnera pour
un kilogramme d’air.
1. Quelle est la valeur minimale que l’on peut espérer atteindre pour θC ? En déduire la valeur minimale pB
que le compresseur doit imposer. On donne pB = 1, 7 bar, calculer θB et θC .
2. La puissance de climatisation est définie comme la puissance thermique échangée par l’air qui entre refroidi
dans le compartiment et qui en ressort à 20 ◦ C. Déterminer cette puissance sachant que la puissance
thermique rejetée à l’extérieur, est de 5 kW. (On calculera le nombre de kilogrammes d’air qui doivent
être puisés chaque seconde dans le wagon.)
3. Dans le cadre de la question précédente, calculer la puissance fournie au compresseur, celle récupérée
dans la turbine, celle globalement fournie par le moteur. Calculer l’efficacité de l’installation définie par
e = Pclim /Pmoteur . On justifiera cette définition de l’efficacité.
7. Pompe à chaleur
Une pompe à chaleur cyclique ditherme fonctionne réversiblement entre une patinoire de dimensions 20 m ×
50 m × 30 cm et une piscine de dimensions 20 m × 50 m × 3 m.
À l’état initial la piscine et la patinoire sont remplies d’eau liquide à température T0 ; à l’état final la glace de
la patinoire est à T1 .
On connaı̂t t0 = 12 ◦ C, t1 = −5 ◦ C, les capacités thermiques massiques ce = 4, 18 kJ · kg−1 · K−1 (eau liquide)
et cg = 1, 9 kJ · kg−1 · K−1 (glace) et la chaleur latente de fusion de l’eau Lf = 334 kJ · kg−1 .
La masse volumique de l’eau (liquide ou solide) est ρ = 1 000 kg · m−3 .
1. Calculer alors la température T1′ de la piscine.
2. Calculer le travail minimal à fournir pour parvenir à cette situation.
Réponses : W + Qa + Qb = 0, Qb = mb [ce t0 − cg t1 + Lf ] = 1, 182 × 1011 J, W est minimale ∆S = 0,
T′
T
L
ma ce ln T01 + mb ce ln Tf0 − mb Tff + mb cg ln TTf1 = 0, T1′ = 295 K (22 ◦ C), Qa = −ma ce (T1′ − T0 ) = −1, 254 × 1011 J,
Wmini = 7, 2 × 109 J.
8. Turbomoteur
Un moteur thermique à air fonctionne en régime permanent ; on néglige les variations d’énergie potentielle et
d’énergie cinétique de l’air lors des diverses transformations. L’air, assimilé à un gaz parfait (M = 29 g · mol−1
et γ = 1, 40) subit les transformations suivantes :
1-2 Compression adiabatique réversible, le compresseur étant actionné par une partie du travail fourni par la
turbine ;
2-3 Chauffage isobare réversible dans un récupérateur de chaleur ;
3-4 Chauffage isobare par un thermostat à la température tc = 1 200 ◦C ;
4-5 Détente adiabatique réversible dans la turbine (phase motrice) ;
5-6 Refroidissement isobare réversible dans le récupérateur de chaleur ;
6-1 Refroidissement isobare par un thermostat de température ta = 0 ◦ C.
On donne p1 = 1 bar, p2 = 4 bar, le débit massique de l’air Dm = 10 kg · s−1 , t1 = 15 ◦ C et t4 = 875 ◦ C.
1. Établir la relation liant T1 , T2 , T4 et T5 .
2. Déterminer la température et la pression de l’air aux points 2, 3, 4, 5 et 6 du cycle.
3. Pour chacune des transformations du cycle, donner l’expression littérale de la variation d’entropie massique.
Représenter l’allure du diagramme (T, s) de ce cycle.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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4. Définir et calculer le coefficient de performance η de ce moteur à turbine.
Que devient ce coefficient lorsque le récupérateur de chaleur est supprimé, toutes autres choses restant
égales par ailleurs ?
5. Calculer dans les deux cas (avec et sans récupérateur) l’entropie créée par unité de temps. Conclure.
C. Statique des fluides
9. Étude d’un barrage
Dans cet exercice, les solides et les liquides sont plongés dans le champ de pesanteur uniforme g. Le référentiel
terrestre est supposé galiléen. On se réfère au schéma de la figure 1. Le barrage est formé d’un solide indéformable,
en forme de pentaèdre de base rectangulaire. Sa section est un triangle isocèle, de hauteur h, de demi-angle au
sommet égal à α. Sa masse volumique est ρ. Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l’eau d’un lac
dont la masse volumique est égale à µ. On suppose que les seules forces qui interviennent sont liées à la pression
des fluides (eau et air), au poids du barrage et aux forces de contact exercées par le sol. La longueur L du
barrage est suffisamment grande pour que l’on puisse négliger les forces de liaison intervenant à ses extrémités.
On appelle p0 la pression uniforme de l’air au voisinage du barrage.
z
air
α
h
eau
sol
x
Figure 1 – Barrage
1. Exprimer la pression de l’eau en fonction de l’altitude z, de p0 , µ, g et h.
2. Calculer la force exercée sur la face immergée. En déduire la force exercée sur la face émergée.
On admet que ni l’air, ni l’eau ne peuvent pénétrer sous le barrage. On considère que ce dernier ne tient
alors en équilibre sur le sol que par l’action de la force de frottement solide. Dans ce cas la réaction du sol
sur le barrage est représentée par : une composante normale N verticale ascendante et une composante
tangentielle T horizontale qui s’oppose au glissement du barrage. L’équilibre statique n’est garanti que si
|T | ≤ f |N |, expression dans laquelle f est un coefficient constant, appelé coefficient de frottement statique
du barrage sur le sol. On définit aussi l’angle de frottement ϕ tel que tan ϕ = f . Cet angle représente
l’inclinaison maximale de la réaction du sol par rapport à la verticale.
3. Déterminer les forces N et T .
4. En déduire la valeur minimale du coefficient de frottement, pour que le barrage reste en équilibre sur le
sol, sans glisser.
π
5. Montrer que si α + ϕ > , alors le barrage reste en équilibre.
2
6. On suppose que h = 10 m, g = 10 m · s−2 , ρ = 2 × 103 kg · m−3 , µ = 103 kg · m−3 , α = 45˚. Calculer la
valeur limite de f .
7. Que se passe-t-il si l’air peut s’infiltrer sous le barrage et exercer la pression p0 sur la base ? Quelle est la
nouvelle valeur limite du coefficient de frottement f ?
8. Que se passe-t-il si l’eau peut pénétrer sous le barrage ?
Réponses : p = p0 + µg(h − z), f~eau = −Lh(p0 + µgh
ex + tan α~ez ], f~air = Lhp0 [~ex − tan α~ez ], M~g =
2 )[~
µgh
µgh
µgh
µgh
1
2
−ρLh tan αg~ez , T = Lh 2 , N = Lh tan α[2p0 + 2 + ρgh], fmin = 4p0 +µgh+2ρgh
tan α , ǫ = 4p0 +µgh+2ρgh ,
π
π
π
f > ǫ tan( 2 − α), si f = tan ϕ > tan( 2 − α) alors α + ϕ > 2 et non glissement, fmin = 0, 111, Nair =
µgh
3µgh
Lh tan α[ µgh
2 + ρgh] d’où fmin = µgh+2ρgh = 0, 333, Neau = Lh tan α[ρgh −
2 ] or ρ = 2µ d’où Neau =
Lh tan α µgh
2 , fmin =
emporté par l’eau.
JR Seigne
1
tan α
= 1, f > 1 pas impossible mais il y a beaucoup de chances que le barrage soit
Clemenceau
Nantes
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Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique – 4
10. Film liquide sur une paroi
Une paroi est confondue avec le demi-espace z < 0, un gaz remplissant a priori le demi-espace z > 0. Le gaz est
assimilé à un gaz parfait, mais la paroi exerce sur un atome situé en un point M de cote z > 0, une force de la
forme f~a = − 4C
ez où C est une constante positive. On néglige les forces de pesanteur.
z4 ~
1. Sachant que la pression loin de la paroi vaut p(z = ∞) = p∞ , que la température est uniforme et qu’il y
a équilibre du gaz, établir l’expression de la pression p en tout point du fluide en fonction de p∞ , z, kB ,
T et C.
2. En déduire que la paroi se recouvre d’un film liquide et exprimer son épaisseur e en fonction de p∞ , kB ,
T , C et de la pression de vapeur saturante psat (T ) à la température T .
3. Dans une expérience réelle avec de l’hélium, on a p∞ = 1, 2 Pa, T = 0, 8 K, psat (T ) = 1, 52 Pa et C =
5, 1 × 10−51 N· m4 . La densité moléculaire de l’hélium liquide vaut n = 2, 7 × 1028 m−3 . Calculer l’épaisseur
e du film liquide et la distance moyenne a entre deux atomes dans l’hélium liquide. Le film liquide est-il
réellement présent ?
4. On chauffe la paroi. Montrer que l’évolution de la température au voisinage de la paroi permet de distinguer
le cas où le film liquide est présent du cas où le film liquide est absent.
11. Balle de tennis bouchant un abreuvoir
Figure 2 – Abreuvoir et balle de tennis empêchant la baignoire de se vider
La question que l’on pose est la suivante : peut-on boucher une baignoire avec une balle de tennis ? La balle de
tennis est une sphère de rayon R = 3, 5 cm et de masse m = 58 g. Elle est complètement immergée dans une
baignoire remplie d’eau qui sert d’abreuvoir à des chevaux dans un pré. La baignoire contient une hauteur d’eau
H = 40 cm et le rayon de la bonde d’évacuation de la baignoire est r = 3, 0 cm. La pression environnante est la
pression atmosphérique notée p0 . Voir la figure 3 et les photos de la figure 2.
p0
z
eau
O
p0
b
R
H
r
Figure 3 – Balle de tennis empêchant la baignoire de se vider
Réponses : Pour des raisons de symétrie, la force due à la pression de l’eau exercée sur la balle de tennis est
verticale, on la note fz . Si N , elle aussi verticale, est la force de contact entre la baignoire et la balle, on peut écrire
à l’équilibre au fond de la baignoire N −mg+fz = 0 et donc N = mg−fz . Si N > 0 alors la balle de tennis reste au
fond de la baignoire et empêche qu’elle se vide mais si N s’annule alors la baignoire se vide. Il faut donc calculer
fz . L’eau étant incompressible, dP
dz = −µg donne une loi affine de z pour la pression s’exerçant sur la balle de
tennis. Comme la pression p0 va contribuer en tout point de la sphère, elle n’intervient pas dans le bilan des forces
JR Seigne
Clemenceau
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5 – Exercices : 11 - Principes de la Thermodynamique
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pressantes, seule la surpression ∆p compte. On note θ0 > π/2 l’angle
entre l’axe Oz et la direction marquant le
√
R2 −r 2
contact entre la balle de tennis et la baignoire. On a cos θ0 = − R
et sin θ0 = Rr . En un point sous l’eau de
la surface de la balle de tennis repéré par l’angle θ, on a une surpression ∆p = µg(H − R(cos θ − cos θ0 )). La force
exercée par l’eau sur une surface élémentaire est df~ = −∆pR2 sin θdθdϕ~er . Seule la projection de cette force
sur l’axe Oz contribue à fz , on a dfz = −µgR2 (H + R cos θ0 − R cos θ) cos θ sin θdθdϕ. On intègre pour θ = 0
jusqu’à θ = θ0 et ϕ = 0 jusqu’à ϕ = 2π. On trouve fz = −µgπR2 [H(1−cos2 θ0 )+ R3 (3 cos θ0 −cos3 θ0 −2)]. Cette
expression fonctionne dans le cas où la balle de tennis serait complètement immergée, on aurait cos θ0 = −1,
on retrouve alors fz = 43 πR3 µg, c’est-à-dire le poids du volume de fluide déplacé. à partir de l’expression de
1
2
3
fz , on arrive à l’expression de N = g(m + µ 43 πR3 [ 3H
4R (1 − cos θ0 ) + 4 (3 cos θ0 − cos θ0 − 2)]). Avec les valeurs
numériques proposées, on trouve bien N > 0 puisque N = 153 N.
JR Seigne
Clemenceau
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