Optimisation du chauffage d`un four

MAP 431, F. Nataf
Optimisation du chauffage d’un four
On considère un four de forme rectangulaire, comportant des résistances. On
se propose de chercher les valeurs à donner aux résistances de sorte que la
température dans une partie du four soit proche d’une valeur fixée à l’avance.
On notera Ω l’ouvert représentant le four et S la pièce à chauffer. Le four
est un carré de 2m de côté et la pièce à chauffer est un rectangle de 1m sur
0, 4m placée au centre du four. On notera Ci (i = 1, . . . , 4) les résistances
modélisées comme des cercles de rayon 0, 05m et placées aux points de coordonnées (±0, 75m, ±0.75m), l’origine est placée au centre du carré.
Le bord supérieur du four est supposé maintenu à une température fixe de 50o C,
le bord inférieur à une température fixe de 10o C. Les deux bords latéraux sont
isolés, le flux de chaleur y est nul. La température dans le four est régi par
l’équation de la chaleur
−∇(k∇T ) = f .
(1)
Dans cette équation, k est le coefficient de diffusion thermique qui est variable
et vaut 1 dans la pièce à chauffer
P4 et 10 dans le reste du four, f est la source de
chaleur et est de la forme f = i=1 αi 1Ci où les coefficients αi sont à déterminer
et 1C est la fonction caractéristique du domaine C.
Travail demandé
Problème direct: On suppose connus les coefficients (αi )i=1,...,4 et l’on cherche
à calculer la température qui en résulte. Ecrire la formulation variationnelle
et le programme FreeFem++ correspondants. On notera T (α) la solution du
problème correspondant.
Problème inverse: On se donne une température souhaitée Tc dans la pièce
S. On cherche les coefficients αi de sorte que T (α) soit proche de Tc dans S.
Plus précisément, on cherche à minimiser
Z
1
|T (α) − Tc |2 .
(2)
J(α) :=
2 S
Montrer que par linéarité,
il existe 5 champs de température Ti , i = 0, . . . , 4 tels
P4
que T (α) = T0 + i=1 αi Ti .
Montrer que le calcul des coefficients optimaux αi peut se mettre sous la forme
d’un système linéaire à résoudre.
Calculer effectivement les coefficients αi pour Tc = 40o C et contrôler à l’aide
d’une simulation directe que votre solution est acceptable.
Dans tous les cas, on cherchera un maillage convenable en expérimentant
avec l’adaptation de maillage de FreeFem++.
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