EXERCICES Stratification et stabilité

EXERCICES
Stratification et stabilité
1
Pression dans une atmosphère à gradient de
température constant
Quelle est la relation entre altitude et pression pour une atmosphère dont
le gradient vertical de température Γ = − dT
dz est une constante ? Calculez
l’épaisseur de la couche 1000 − 500hP a avec Γ = 6.5 K/km et T0 = 273 K.
Comparez avec le cas d’une atmosphère isotherme.
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Atmosphère homogène
Montrez qu’une atmosphère homogène (la densité est uniforme en fonction de l’altitude) a une épaisseur finie qui dépend seulement de la température au sol. Calculez l’épaisseur d’une atmosphère homogène avec une température de surface T0 = 273 K.
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Ballon stratosphérique
Un ballon rempli d’hélium doit emporter une charge de 100 kg à une
altitude de 30 km. Quel est le volume requis pour le ballon si le matériau
utilisé pour sa construction est une feuille de polyéthylène épaisse de 25 µm
et de masse volumique 1 g/cm3 . Quel est le volume lors du lancement au
niveau de la mer ?
3.1
Solution
Helium, gaz monoatomique, masse molaire 4 g. On suppose le ballon
sphérique une fois gonflé (ce qui maximise le volume pour une surface
donnée). Le polyéthylène n’est pas extensible. On a à résoudre une équation
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du troisième degré pour le rayon du ballon
V (ρair − ρHe ) = Seρpoly + M .
Numériquement :
8, 382 10−2 R3 = 3, 141 10−1 R2 + 100 .
Solution R = 12 m.
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Hauteur d’un panache
Un panache d’air chaud est émis par la tour de refroidissement d’une
centrale électrique à 1000 hPa avec une température de 30◦ C. Si l’air émis
est sec, à quelle altitude va monter le panache si la variation de l’air ambiant
avec l’altitude est : (a) T (z) = 20 − 8z et (b) T (z) = 20 + z où T est exprimé
en ◦ C et z en kilomètres. On prendra Cp = 1005 J/kg/K et g = 9, 81 m/s2 .
Supposez maintenant que l’air émis n’est plus sec et qu’un nuage se forme
à 900 hPa. Est ce que la température potentielle est plus élevée ou moins
élevée à l’intérieur du nuage qu’en dessous ? Est ce que la force d’Archimède
dans le nuage est plus ou moins grande que ce qu’elle serait si l’air était sec ?
4.1
Indications
On cherchera la loi de variation de T (z) à l’intérieur du panache supposé
se détendre de manière adiabatique.
4.2
Solution
Pour une détente adiabatique on conserve θ = T (p0 /p)κ . En combinant
avec la loi hydrostatique dp/dz + ρg = 0 et la loi du gaz parfait p = ρRT ,
on obtient
dp
κρg
κg
dT
=κ
=−
dz = −
,
T
p
p
RT
d’où
dT = −Cp gdz ,
puisque κ = −R/Cp .
Avec les valeurs données la décroissance adiabatique de T est
dT = −9, 86dz
2
où z est en kilomètres. On obtient donc que dans le cas (a) l’altitude du
panache est z = 10/1, 86 = 5, 4 km et que dans le cas (b), il est z =
10/10, 85 = 920 m.
La variation de l’entropie en air saturé est, pour une unité de masse d’air
sec
dp L
dT
dS = Cp
− R + drs ,
T
p
T
où rs est le rapport de mélange saturant soit encore
dS = Cp
dθ L
+ drs .
θ
T
Par conséquent la température potentielle augmente lors de l’ascension alors
que rs décroı̂t. Même en négigeant le fait que l’air humide est pus léger que
l’air sec, la température atteinte pour une pression donnée est supérieure à sa
contrepartie en convection sèche. La différence de densité avec l’air ambient
est plus grande et la force d’Archimède aussi.
5
Décroissance de la pression
Calculez pour l’atmosphère de la Terre la hauteur de la surface où la
pression est un dixième de sa valeur au niveau de la mer en supposant (a)
une température uniforme de 290 K, (b) une température de 290 K au sol
et une décroissance de 10 K/km au dessus.
5.1
Indications
Utilisez la loi hydrostatique et la loi du gaz parfait
5.2
Solution
La loi hydrostatique dp + ρgdz = 0 et la loi du gaz parfait p = ρRT se
combinent pour donner
dp
g
+
dz = 0 .
p
RT
Si le profile est isotherme, T = T0 , on obtient p = p0 e−z/H où H = RT /g
est la hauteur de mélange. Si le profil est uniformément décroissant, c’est à
dire si T = T0 (1 − az), alors on a
dT
dp
−
= 0,
p
aHT
d’où
p = p0
T
1/aH = p0 (1 − az)1/aH .
T0
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Avec les valeurs numériques données, on obtient respectivment z = 19, 5 km
et z = 14, 2 km.
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Effet du réchauffement climatique
Considérez une atmosphère hydrostatique isotherme qui se réchauffe lentement, par exemple sous l’effet de l’augmentation de C02. Initiallement, la
température est 277 K et la pression à 1600 m au dessus de la mer est 850
hPa.
– a) Comment la pression à 1600 m va t-elle changer si l’atmosphère se
réchauffe en restant isotherme. Justifiez votre réponse.
– b) Calculez la pression à 1600 m après un réchauffement à 283 K.
Utilisez R = 287 J/kg/K (constante des gaz pour l’air)
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Effet de Foehn
Le Foehn est un vent sec et chaud descendant des montagnes. Le versant
exposé au vent et le sommet des montagnes sont dans les nuages mais le
versant aval où souffle le Foehn est clair. On considère une situation où sur
le versant exposé au vent, la température de surface est de 20◦ C et le rapport
de mélange de l’eau 15 g/kg à 800 hPa. Si le sommet est à 600 hPa et si
toute l’humidité qui se condense est précipitée, déterminez
– (a) la température de surface à 830 hPa dans la vallée en aval,
– (b) le rapport de mélange et l’humidité relative (humidité de l’air par
rapport à l’humidité saturante) au même endroit.
Vous vous aiderez du diagramme annexé où les courbes figurent les adiabatiques, les pseudo-adiabatiques et les rapports de mélange saturants. Vous
y reporterez les points importants.
7.1
Solution
L’air au sol en aval a une température potentielle de 312 K. Il s’élève selon
une adiabatique et rencontre bientôt le niveau de saturation. Il suit ensuite
une pseudo-adiabatique saturée jusqu’à 600 hPa où il atteint la température
potentielle de 325 K et le rapport de mélange de 10 g/kg. Il redescend ensuite
selon une adiabatique jusqu’à 830 hPa. La température atteinte est 33◦ C.
Le rapport de mélange saturant est alors 40 g/kg, ce qui fait une humidité
relative de 25 %
4
8
Panache au dessus d’une tour de refroidissement
Le panache émis par une tour de refroidissement quitte la tour au niveau
825 hPa. Un nuage se forme au dessus. Si le profil ambient de température
est isotherme avec T = 5◦ C et si la température au sommet de la tour est
30◦ C et le rapport de mélange 25 g kg−1 , déterminez
– (a) l’humidité relative au sommet de la tour,
– (b) le point de rosée au sommet de la tour,
– (c) la pression à la base du nuage,
– (d) la température potentielle équivalente saturée dans le nuage,
– (e) le rapport de mélange à 700 hPa,
– (f) la pression au sommet du nuage.
Vous vous aiderez du diagramme annexé où les courbes figurent les adiabatiques, les pseudoadiabatiques et les rapports de mélange saturants. Vous y
reporterez les points importants.
8.1
Solution
(a) 75 %, (b) 25◦ C, (c) 770 hPa, (d) 400 K, (e) 22,5 g kg−1, (f) 450 hPa.
9
Index thermique
On caractérise l’intensité de la convection avec l’index thermique (IT)
qui est défini comme la différence entre la température ambiante et celle
qui se produirait dans une stratification adiabatique depuis la surface. Plus
IT est négatif, plus fortes sont les ascendances au sein des mouvements
convectifs. Un sondage matinal au dessus d’une région désertique révèle que
la température augmente de 4 K/km dans la première tranche de 1000 m
au dessus du sol et diminue ensuite de 6 K/km, avec une température de
surface de 10◦ C (283 K).
– a) Montrez d’abord que le gradient adiabatique sec de température est
−g/Cp .
– b) Déterminez la variation de IT en fonction de z. On donne Cp = 1005
J/kg/K.
– c) Déterminez de nouveau IT en supposant que le sol s’est réchauffé
pendant la journée jusqu’à 30◦ C, et que la variation de température
n’affecte que le premier kilomètre où le profil reste linéaire.
– d) Jusqu’à quelle altitude les mouvements convectifs sont-ils accélérés
en supposant que l’air reste non saturé.
– e) Quelle est la vitesse maximale acquise par les particules ascendantes
en supposant l’absence de tout autre effet que la force d’Archimède.
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– f) Qu’est ce qui limite en pratique la vitesse à une valeur plus faible
que ce qui vient d’être calculée ?
10
Un sondage matinal est tracé sur la figure depuis une station de sondage
à 1000 hPa. A la suite du réchauffement par le rayonnement solaire, un
profil adiabatique remplace la couche d’inversion (avec dT /dz > 0 sur le
profil) dans les 500 premiers mètres. Un cumulus se forme alors au dessus
de la station de sondage où le rapport de mélange de la vapeur d’eau est
10 g kg−1 . Pour la colonne d’air au dessus de la station, déterminez
1. La température de surface de l’air
2. La pression à la base du nuage
3. La température potentielle à 900 hPa
4. La température potentielle à 700 hPa
5. Le rapport de mélange de la vapeur d’eau à 700 hPa
6. La pression au sommet du nuage
7. Le rapport de mélange de la vapeur d’eau au sommet du nuage
Vous joindrez à votre copie le diagramme avec les points représentatifs clairement indiqués.
10.1
Solution
1. 20 ◦ C
2. 920 hPa
3. 294 K
4. 304 K
5. 6 g/kg
6. 650 hPa
7. 5,5 g/kg
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