THESE DE DOCTORAT Réflexivité d`une extension d`un

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1
Numéro d’ordre :2481
THESE DE DOCTORAT
Présentée par
KHALID ELHACHIMI
Titre
Réflexivité d’une extension d’un opérateur sous-normal par
un opérateur algébrique
Discipline : Mathématiques.
Spécialité : Analyse fonctionnelle.
Soutenue le 10 mars 2010 devant le jury :
Président : El Hassan Zerouali
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
Examinateurs :
- M’Hammed Benlarbi-Delai,
- Said Bouali,
PES, Faculté des Sciences de Kénitra.
- Omar El-Fallah,
- Abdelkhalek Faouzi,
PES, Faculté des Sciences d’El Jadida.
- Bouchta Khaoulani,
PES, Ecole Nationale de l’Industrie Minérale.
- Alfonso Montés Rodrguèz,
PES, Université de Seville.
Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat - Maroc
Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http ://www.fsr.ac.ma
2
Remerciements
Cette thèse a été réalisée sous la direction de Monsieur M’Hammed Benlarbi-Delai,
professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, et en collaboration avec Monsieur Omar
El-Fallah, professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, dans le cadre de l’UFR "Modèles fonctionnelles et sous-espaces invariants".
Monsieur El Hassan Zerouli, Professeur de l’enseignement supérieur, Faculté des
Sciences de Rabat, m’a fait l’honneur de présider le jury de ma thèse. Pour cela ainsi
que pour ses précieux conseils, je lui exprime ma profonde gratitude.
Cette thèse est le fruit d’un suivi et d’une direction sans égal de Monsieur M’Hammed
Benlarbi-Delai, que je tiens à remercier vivement pour les efforts déployés et le soutien
scientifique et moral qu’il m’a apportés.
Je remercie chaleureusement Monsieur Omar El-Fallah, Professeur de l’enseignement
supérieur, Faculté des Sciences de Rabat, pour l’intérêt qu’il a toujours porté à l’avancement de mon travail. Je resterai toujours redevable envers lui pour ses conseils fructueux
et ses qualités humaines. Je le remercie aussi pour sa participation au jury de ma thèse.
Je remercie Monsieur Bouchta Khaoulani, Professeur de l’Enseignement Supérieur,
École Nationale de l’Industrie Minérale de Rabat, d’avoir accepté d’être rapporteur et
membre du jury de ma thèse, ainsi que pour ses jugements très pertinents sur mon
manuscrit.
Je remercie vivement Monsieur Abdelkhalek Faouzi, Professeur de l’Enseignement
Supérieur, Faculté des sciences d’El Jadida, d’avoir accepté d’être rapporteur et membre
du jury de ma thèse, ainsi de m’avoir fait profiter de ses conseils et de ses encouragements
lors de son passage à Rabat.
Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur Said Bouali, Professeur de
l’enseignement supérieur, Faculté des Sciences de Kénitra, d’avoir accepté de participer
au jury de ma thèse.
Monsieur Alfonso Montés Rodrguèz, Professeur de l’enseignement supérieur, Univer-
3
sité de Seville, qu’il trouve ici l’expression de ma sincère gratitude pour avoir accepté de
participer au jury de cette thèse.
Je remercie tous les chercheurs, enseignants et membres du personnel du Département
de Mathématiques et d’Informatique pour leur amitié et leur aide pendant ces années de
thèse.
Enfin, je remercie ma famille et mes amis pour leur soutien et leurs encouragements ;
qu’ils ne doutent pas de ma reconnaissance et de mon affection.
TABLE DES MATIÈRES
1 Introduction
6
2 Préliminaire : Opérateur sous-normal
9
2.1
Définition et Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Extension normale minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Cyclicité et Commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Calcul fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.5
Description de l’algèbre P ∞ (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6
Théorème de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.7
Points d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.8
Réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3 Réflexivité des opérateurs algébriques
29
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
Réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . .
32
Réflexivité des opérateurs algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.4
Réflexivité des opérateurs nilpotents.
4
TABLE DES MATIÈRES
5
4 Réflexivité d’une extension d’un opérateur sous-normal par un opérateur algébrique
36
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2
Description de l’algèbre W ( T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.3
Description de l’algèbre AlgLatT et réflexivité . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4
Défaut de réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Chapitre 1
INTRODUCTION
Soit T un élément dans l’algèbre des opérateurs linéaires bornés B(H), où H un
espace de Hilbert complexe séparable. On dit que T est réflexif si l’algèbre des opérateurs
S tel que chaque sous-espace fermé de H invariant pour T est invariant pour S coïncide
avec la fermeture faible de l’algèbre des polynômes en T.
La notion de la réflexivité des opérateurs est due à D. Sarason qui montre dans [16]
que tout opérateur normal est réflexif. Quelques années plus tard R. Olin et J. Thomson
[14] ont étendu le résultat de Sarason pour montrer la réflexivité des opérateurs sousnormaux. De nombreux auteurs ont depuis élargi la classe des opérateurs réflexifs, on
peut citer notamment [7, 17, 13].
Dans le cadre de la réflexivité des extensions d’opérateurs, la somme directe de deux
opérateurs réflexifs n’est pas toujours un opérateur réflexif. En effet, W. Wogen et D.
Larson [12] donnent un exemple d’un opérateur T réflexif tel que T ⊕ 0 ne l’est pas. Dans
[2] les auteurs ont caractérisé les extensions des opérateurs normaux par des opérateurs
nilpotents qui sont réflexives.
Dans cette thèse, nous étudions la réflexivité d’une extension d’un opérateur sousnormal par un opérateur algébrique. Nous montrons que la réflexivité d’une extension d’un
opérateur sous-normal par un opérateur algébrique se ramène à celle d’une extension
d’un opérateur sous-normal par un opérateur nilpotent. Nous caractérisons ensuite les
extensions des opérateurs sous-normaux par des opérateurs nilpotents qui sont réflexives
et nous calculons leurs défauts de réflexivité, Ceci généralise les résultats obtenus dans
[2]. La démarche adoptée ici est basée sur le théorème de factorisation de S. Brown (voir
6
7
INTRODUCTION
le Théorème 2.6.4), le théorème d’existence des points d’évaluation bornés de J. Thomson
(voir le Théorème 2.7.1) et la description de l’algèbre P ∞ (µ), due à Sarason (voir le
Théorème 2.5.1).
Dans le deuxième chapitre nous détaillons et étudions le théorème de DeddensFilmore au sujet de la réflexivité des opérateurs algébriques en dimension infinie, via
la décomposition primaire de ces opérateurs. Dans un premier temps nous montrons
que l’étude de la réflexivité des opérateurs algébriques se ramène à celle des opérateurs
nilpotents. Ensuite, nous donnons une description complète de l’algèbre AlgLatR lorsque
R est un opérateur nilpotent. Une telle description permet d’étudier avec précision la
réflexivité des opérateurs algébriques et aussi celle d’une extension d’un opérateur sousnormal par un opérateur algébrique.
L’objectif du troisième chapitre, est d’étudier la réflexivité d’une extension T d’un
opérateur sous-normal A ∈ B(H) par un opérateur algébrique R ∈ B(K) de polynôme
minimal m = ∏ri=1 (z − λi )ni de degré n, où K est un espace de Hilbert complexe
séparable. L’opérateur T s’écrit suivant la décomposition H ⊕ K Comme suit :

T=
A X
0
R

X ∈ B(K, H).
 où
Nous initions cette étude par une caractérisation complète de la fermeture faible de
l’algèbre des polynômes en T. On montre que cette algèbre se décompose en somme
directe de l’algèbre de polynômes en T de degré inférieur au égal à n − 1 et l’algèbre
des opérateurs de type


B Y
0
0


tels que B est la limite faible d’une suite de polynômes analytiques en A nulle en
tout point du spectre de A et B ∑in=0 ai Xi = m( A)Y, où pour tout i ∈ {1, 2, ..., n},
Xi = ∑ij=1 Ai− j−1 XR j . Ensuite, nous montrons que T est réflexif si et seulement si pour
tout i = {1, 2, ..., r }, la restriction de T au sous-espace H ⊕ Ker ( R − λi )ni de H ⊕ K
est réflexive. Ceci nous ramène à l’étude de la réflexivité de T lorsque R est nilpotent.
INTRODUCTION
8
Dans ce cas nous montrons que T est réflexif si et seulement si l’une des trois conditions
suivantes est satisfaite
a− Le spectre de R est à l’intérieur de l’enveloppe de Sarason associée à la mesure
spectral scalaire de A.
b− L’opérateur R est réflexif.
c− Le vecteur T n e est dans l’espace image de A, où e est un vecteur d’ordre maximum
dans K et n l’ordre de nilpotence de R.
Chapitre 2
PRÉLIMINAIRE : OPÉRATEUR SOUS-NORMAL
Le terme sous-normal Comme il est employé ici a été introduit la première fois par
Halmos en 1952 [11].
Plusieurs questions et conjectures au sujet des opérateurs sous-normaux ont été
inspirées de la théorie des opérateurs normaux. La différence essentielle entre les deux
classes d’opérateurs réside dans le fait que la théorie des opérateurs normaux est basée
sur la théorie des mesures, tandis que celle des opérateurs sous-normaux est basée sur
la théorie des fonctions.
Dans ce chapitre nous présentons quelques résultats fondamentaux au sujet des opérateurs sous-normaux, dont on aura besoin pour traiter le problème de la réflexivité d’une
extension d’un opérateur sous-normal par un opérateur algébrique.
Désignons, dans tout ce qui suit, par H un espace de Hilbert complexe séparable et
par B(H) l’algèbre des opérateurs linéaires continus sur H.
2.1
Définition et Exemples
Rappelons qu’un opérateur N ∈ B(H) est dit normal si NN ∗ = N ∗ N, où N ∗ est
l’opérateur adjoint de N.
Définition 2.1.1
Un opérateur A ∈ B(H) est dit sous-normal s’il existe un espace de Hilbert K ⊇ H et un
opérateur normal N ∈ B(K) tels que H est invariant pour N et A = N |H .
9
2.2 Extension normale minimale
10
En d’autres termes, A est dit sous-normal s’il existe un espace de Hilbert K tel que H
est un sous-espace de K et il existe un opérateur normal N ∈ B(K) qui s’écrit, selon la
décomposition K = H ⊕ H ⊥ , sous la forme

N=
A B
0 C


Exemples.
1. Tout opérateur normal est un sous-normal.
2. Tout opérateur isométrique est un sous-normal, du fait que toute isométrie admet
une extension unitaire [7, Théorème I.3.11].
3. Soit µ une mesure à support compact dans C. L’opérateur de multiplication par la
variable complexe z sur P 2 (µ), où P 2 (µ) est la fermeture dans L2 (µ) de l’algèbre
de polynômes analytiques C[z], est défini par :
Mz : P 2 (µ) −→ P 2 (µ)
f 7−→ z f .
L’opérateur Mz est un opérateur sous-normal. En effet, si N est un opérateur défini
sur L2 (µ) par N f = z f , alors N est un opérateur normal et Comme N p ∈ C[z]
pour tout p ∈ C[z], P 2 (µ) est invariant pour N. Ce qui entraîne que Mz est un
opérateur sous-normal d’extension normale N.
2.2
Extension normale minimale
La définition qui suit est très utile dans la théorie des opérateurs sous-normaux, du
fait que l’extension normale d’un opérateur sous-normal A n’est pas unique. En effet, si
N1 est une extension normale de A et N2 un opérateur normal arbitraire, alors l’opérateur N1 ⊕ N2 est aussi une extension normale de A.
2.2 Extension normale minimale
11
Définition 2.2.1
Soit A ∈ B(H) un opérateur sous-normal d’extension normale N ∈ B(K). On dit que N
est une extension normale minimale de A si K = Vect{ N ∗k x : x ∈ H, k ∈ N}.
L’unicité de l’extension normale minimale d’un opérateur sous-normal est assurée par le
théorème suivant.
Théorème 2.2.2 ([7] )
Si N1 ∈ B(K1 ) et N2 ∈ B(K2 ) sont deux extensions normales minimales d’un opérateur
sous-normal A ∈ B(H), alors il existe une application unitaire Ψ : K1 −→ K2 telle que
N1 = Ψ−1 N2 Ψ.
Démonstration : Soient A1 ∈ B(H1 ), A2 ∈ B(H2 ) deux opérateurs sous-normaux et U ∈
B(H1 , H2 ) un opérateur unitaire tel que U A1 = A2 U. Supposons que N1 ∈ B(K1 ) et
N2 ∈ B(K2 ) soient respectivement les extensions normales minimales de A1 et A2 . Posons
pour chaque i = 1, 2, Mi = Vect Ni∗k hi , hi ∈ Hi , k ∈ N et considérons l’application Φ
définie par Φ( N1∗k h1 ) = N2∗k Uh1 . Il est bien clair que Φ|H1 = U. De plus, on a
m
2
∗nk
∑
= ∑m N ∗nk Uhk 2
Φ
(
N
h
)
k
k =1
k =1 2
1
∗n
= ∑k,j < N2∗nk Uhk , N2 j Uh j >
n
= ∑k,j < N2 j Uhk , N2nk Uh j >
n
= ∑k,j < A2 j Uhk , A2nk Uh j >
n
= ∑k,j < U A1 j hk , U A1nk h j >
n
= ∑k,j < A1 j hk , A1nk h j >
∗n
= ∑k,j < N1∗nk hk , N1 j h j >
2
= ∑ m N ∗nk h k k =1
1
Ceci montre que Φ est une application linéaire isométrique de M1 dans M2 . Le fait que
M1 et M2 sont denses, respectivement, dans K1 et K2 entraîne que l’application Φ se
prolonge en un isomorphisme Ψ de K1 dans K2 vérifiant N1 = Ψ−1 N2 Ψ.
2.3 Cyclicité et Commutant
2.3
12
Cyclicité et Commutant
Soient A ∈ B(H) et x ∈ H. On dit que x est un vecteur cyclique pour A si l’ensemble
{ p( A) x : p ∈ C[z]} est dense dans H. Et on dit que x est un vecteur star-cyclique pour
A si l’ensemble { p( A, A∗ ) x : p ∈ C[z, z]} est dense dans H.
Soient µ une mesure à support compact dans C et φ ∈ L∞ (µ). L’opérateur de multiplication par la fonction φ, noté Mφ , est défini sur L2 (µ) par Mφ ( f ) = φ f . D’après [19],
si N est un opérateur normal star-cyclique sur un espace de Hilbert complexe séparable
K, alors il existe une mesure µ à support compact dans C telle que
(i )- N est unitairement équivalent à Mz sur L2 (µ).
(ii )- L’algèbre du commutant de N est donnée par { N }0 = Mφ : φ ∈ L∞ (µ) .
Le théorème suivant donne des résultats analogues à (i ) et (ii ) pour un opérateur sousnormal cyclique.
Théorème 2.3.1 ([19, 7] )
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal cyclique, alors il existe une mesure µ à support
compact dans C telle que :
1. A est unitairement équivalent à Mz sur P 2 (µ).
2. L’algèbre du commutant de A est donnée par { A}0 = Mφ : φ ∈ P 2 (µ) ∩ L∞ (µ) .
Soient A ∈ B(H) et R un sous-espace fermé de H. On dit que R est réduisant pour A
si AR ⊂ R et A∗ R ⊂ R. On dit que l’opérateur A est pur s’il n’a aucun sous-espace
réduisant R tel que A|R est un opérateur normal.
Théorème 2.3.2 ([7] )
Tout opérateur sous-normal se décompose en somme directe d’un opérateur normal et un
opérateur sous-normal pur.
Les théorèmes précédents montrent que la compréhension de l’espace P 2 (µ) est très
importante dans la théorie des opérateurs sous-normaux.
2.4 Calcul fonctionnel
13
2.4
Calcul fonctionnel
Soient A un sous-espace de B(H) et x ∈ H. On dit que x est un vecteur séparateur
pour A si l’application A 7−→ Ax de A dans H est injective.
Étant donné N ∈ B(K) un opérateur normal. On note σ( N ) le spectre de N et B N
la σ-algèbre des boréliens de σ( N ). La mesure spectrale pour le triplet (σ ( N ), B N , K)
est une application E : B N −→ B(K) ayant les propriétés suivantes :
a- Pour tout ∆ ∈ B N , E(∆) est une projection.
b- E(∅) = 0 et E(σ( N )) = 1
c- E(∆1 ∩ ∆2 ) = E(∆1 ) E(∆2 ) pour tout ∆1 , ∆2 dans B N .
d- Si {∆n }n≥0 est une suite d’éléments disjoints deux à deux de B N , alors
E(
[
∆n ) =
n ≥0
∑ E ( ∆ n ).
n ≥0
Soit A ∈ B(H) un opérateur sous-normal d’extension normale minimale N ∈ B(K).
La mesure spectrale scalaire de N (On dit aussi de A) est une mesure de Borel positive
µ définie par :
µ(∆) = h E(∆) x, x i
∀∆ ∈ B N ,
où x est un vecteur séparateur pour l’algèbre de Von Neumann
W ∗ ( N ) := { p( N, N ∗ ) : p ∈ C[z, z]}
WOT
.
Une algèbre de Banach D , est une algèbre duale s’il existe un espace de Banach X
tel que D et X ∗ sont isométriquement isomorphes et pour tout a ∈ D les applications
x 7−→ ax et x 7−→ xa de D dans D sont w∗ −continues.
Soient D et C deux algèbres duales. On dit que l’application τ : D −→ C est
un isomorphisme d’algèbres duales s’il est un homomorphisme d’algèbres de Banach
isométrique surjectif w∗ − continue.
Notons, dans tout ce qui suit, A A l’algèbre duale engendrée par A dans B(H) et
P ∞ (µ) la fermeture dans L∞ (µ) de C[z].
2.5 Description de l’algèbre P ∞ (µ)
14
Théorème 2.4.1 (Conway-Olin [8] )
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ et d’extension
normale minimale N ∈ B(K), alors l’application ψ 7−→ ψ( A) ≡ ψ( N )|H de P ∞ (µ)
dans A A définit un isomorphisme d’algèbres duales.
Le Théorème 2.4.1 représente un des résultats fondamentaux dans la théorie des opérateurs sous-normaux. Il permet de ramener l’étude dans A A à l’étude dans les algèbres
P ∞ (µ). Dans le paragraphe suivant nous décrivons le théorème de Sarason qui donne
une description de P ∞ (µ).
2.5
Description de l’algèbre P ∞ (µ)
Soient µ une mesure de Borel positive finie à support compact dans C et K un sousensemble compact dans C. Notons K̊ l’intérieur de K et ∂K sa frontière. Désignons par
R(K ) la fermeture, pour la norme de la convergence uniforme sur K, de l’ensemble des
fonctions rationnelles à pôles dans C \ K.
On dit que R(K ) est une algèbre de Dirichlet si l’ensemble { Re( f )|∂K : f ∈ R(K )}
est dense dans l’ensemble des fonctions réelles continues sur ∂K, où Re( f ) est la partie
réelle de la fonction f .
D’après [7, Théorème 9.7], il existe, pour chaque z ∈ K̊, une unique mesure positive
finie µz à support dans ∂K tel que, pour toute fonction réelle f continue sur ∂K on a
f (z) =
Z
f |∂K dµz .
∂K
La mesure µz s’appelle mesure harmonique évaluée en z.
Soit ( X, Ω, µ) un espace mesuré σ-fini. La norme supérieure µ-essentielle d’une
fonction φ mesurable sur X, noté kφkµ , est définie par :
kφkµ = inf {c > 0 : µ({ x ∈ X : |φ( x )| > c}) = 0} .
avec la convention inf ∅ = +∞. Pour un ouvert O de C, H ∞ (O) désignera l’algèbre
2.6 Théorème de factorisation
15
des fonctions holomorphes bornées sur O .
Théorème 2.5.1 (Sarason [15] )
Pour toute mesure positive µ à support compact dans C, il existe un sous-ensemble compact
Gµ (appelé enveloppe de Sarason) de C et deux mesures µ a et µs ayant les propriétés suivantes.
1. µ = µ a ⊕ µs , µ a ⊥µs et P ∞ (µ) = P ∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ).
2. Supp(µ a ) ⊂ Gµ , µ a |∂Gµ est absolument continue par rapport à la mesure harmonique sur ∂Gµ et R( Gµ ) ⊂ P ∞ (µ).
3. R( Gµ ) est une algèbre de Dirichlet.
4. Il existe un isomorphisme d’algèbres duales ρ : H ∞ ( G̊µ ) −→ P ∞ (µ a ) tel que ρ( f ) =
f pour tout f ∈ R(K ).
5. Si φ ∈ P ∞ (µ a ), alors il existe une suite {φn }n dans R( Gµ ) telle que kφn kGµ ≤
kφkµa et φn −→ φ µ-pp.
2.6
Théorème de factorisation
Soit µ une mesure à support compact dans C. Notons
∞
1
P (µ)⊥ := {ψ ∈ L (µ) :
Z
ψgdµ = 0, ∀ g ∈ P ∞ (µ)},
et
P ∞ ( µ ) ∗ = L1 ( µ ) / P ∞ ( µ ) ⊥
le prédual de P ∞ (µ) muni de la norme k . k∗ .
Pour x, y ∈ L2 (µ), l’application x ⊗ y est définie sur L2 (µ) par
( x ⊗ y)( f ) = h x f , yi =
Z
x f ydµ.
Désignons par P p (µ) (1 ≤ p < +∞) la fermeture dans L p (µ) de l’algèbre C[z] et
posons P0∞ (µ) := {φ ∈ P ∞ (µ) : φ(0) = 0}. Pour démontrer le théorème principal de
16
cette section nous avons besoin des lemmes suivants :
Lemme 2.6.1
Soient m ∈ N∗ , p = 2m + 1 et q =
p
2m .
Si h ∈ Lq (µ) est tel que
Z
p
khkq = sup h f dµ : f ∈ P (µ) et k f k p ≤ 1 ,
alors il existe une fonction x ∈ P 2 (µ) telle que |h| = | x |2 µ-p.p.
Démonstration : Supposons sans perdre de généralité que k hkq = 1. Comme la boule unité
de P p (µ) est faiblement compacte, la borne supérieure est atteinte. Ainsi, il existe une
R
fonction g ∈ P p (µ) telle que k gk p = 1 et hgdµ = 1. D’après l’inégalité de Höldre, on
a
1≤
et donc
R
Z
|h|| g|dµ ≤ k gk p khkq = 1
|h|| g|dµ = k gk p = khkq = 1. Ce qui entraîne que | g| p = |h|q = | g||h| = 1
µ-p.p. D’où | g|2m = |h| µ-p.p. Si x = gm , alors | x |2 = |h| µ-p.p. Il reste a vérifier que
x ∈ P 2 (µ). Soit { pn }n une suite de polynômes telle que lim k pn − gk p = 0. Il existe,
n→+∞
donc, une sous-suite { pnk }k de { pn }n tel que pnk −→ g µ-p.p et par suite pm
nk −→ x
R 1/p
µ-p.p. Pour C =
dµ
, on a
Z
1/q
Z
1p × qp
Z
m 2
2m
2mq
p
pn =
= C k pk k2m
| pnk | dµ ≤ C
| pnk | dµ
=C
| pnk | dµ
p ,
k 2
Ceci prouve que la suite
pm
nk
k
est bornée dans P 2 (µ). Puisque pm
nk −→ x µ-p.p, alors
2
2
pm
nk −→ x dans L ( µ ) et par conséquent x ∈ P ( µ ).
Le lemme précédent présente une clef sur la démonstration du théorème S.Brown
suivant
Théorème 2.6.2 (S. Brown[3] )
Tout opérateur sous-normal admet un sous-espace invariant non trivial.
Démonstration : Supposons que A est pur cyclique. Soit m ≥ 1 et p, q les entiers définis
dans le lemme précédent. Puisque p ≥ 3, alors, d’après le Théorème de Brennan [7,
17
Théorème V.4.2], P p (µ) possède un point d’évaluation borné λ ∈ C (voir la section 2.7).
Il existe, donc, une fonction h ∈ Lq (µ) telle que
(2.1)
P(λ) =
Z
phdµ
∀ P ∈ C[ z ]
et
khkq = sup | P(λ)|
k P k p ≤1
D’après le lemme précédent il existe x ∈ P 2 (µ) tel que |h| = | x |2 µ.p.p. Considérons
maintenant la fonction k définie par :
k=


h
x,
 0,
x 6= 0 ;
sinon.
Montrons que k ∈ P 2 (µ). Comme |k |2 = | x |2 µ.p.p, la fonction k est dans L2 (µ). Si
D E
R
R
R
k ∈
/ P 2 (µ), alors 0 = k, x = kx = hdµ par contre hdµ = 1 par 2.1 et d’où
la contradiction. Posons M := Vect {zn (λ − z) x, n ∈ N}. Le fait que x ∈ P 2 (µ) et que
P 2 (µ) soit invariant par multiplication par z entraîne que M est un sous-espace vectoriel
de P 2 (µ) invariant pour A. Si (z − λ) x 6= 0, alors M 6= {0}. Montrons d’abord que
M est strictement inclus dans P 2 (µ). En effet, on a pour tout polynôme analytique P
R
et d’après 2.1, (z − λ) xpkdµ = 0 puis par passage à la limite on obtient que k ⊥ M.
D’où M est un sous-espace non trivial de P 2 (µ) invariant pour A. Si (z − λ) x = 0 alors
Ker ( A − λ) est un sous-espace non trivial de P 2 (µ) invariant pour A.
Supposons que A est sous-normal pur. Étant donné x ∈ H, posons F = Vect A ( x ).
A0 = A| F est cyclique pur, donc il possède un sous-espace M0 non trivial de F invariant
pour A0 . Et donc M0 est non trivial dans H invariant pour A.
A est maintenant un opérateur sous-normal arbitraire. Soit A = S1 ⊕ S2 la décomposition de A selon la décomposition H = H1 ⊕ H2 avec S1 est normal et S2 un sous-normal
pur. Le fait que le résultat est évidement vrai pour les opérateurs normaux, il existe d’après
ce qui précède deux sous-espaces M1 et M2 non triviaux respectivement de H1 et H2
invariants pour S1 et S2 . Ainsi M1 ⊕ M2 est un sous-space propre de H invariant pour
A. D’où le résultat.
La preuve du lemme suivant sera faite dans le cas où P ∞ (µ) = H ∞ (D) avec D =
{ z ∈ C : | z | ≤ 1}.
18
Lemme 2.6.3
Soient L ∈ P ∞ (µ)∗ et r, ε, δ ∈]0, +∞[ avec 0 < r < 1. Posons Ar = {w ∈ C : r ≤ |w| ≤ 1}.
1. Si k Lk∗ < δ, alors il existe deux suites { xn }n ⊂ P 2 (µ) et {yn }n ⊂ L2 (µ| Ar ) telle
que :
(i) k xn k ≤
(ii)
(iii)
√
δ et kyn k ≤
√
δ/r pour tout n.
lim k L − zxn ⊗ yn k = 0.
n→+∞
lim kzxn ⊗ ak =
n→+∞
2. S’il existe a ∈ P 2 (µ) et b
lim k a ⊗ yn k = 0 pour tout a ∈ L2 (µ|D ).
n−→+∞
∈ L2 ( µ |
tels que k L − a ⊗ bk∗ < δ, alors il existe
√
√
x ∈ P 2 (µ) et y ∈ L2 (µ| Ar ) tels que k x k ≤ 3 δ, kyk ≤ δ/r et
Ar \∂D )
k L − (zx + a) ⊗ (y + b)k∗ < ε.
Démonstration : (1)- On Commence par le cas où L est une forme linéaire ∗−faiblement
continue sur P0∞ (µ). Supposons sans perdre de généralité que δ < 1 et kµk = 1. Comme
P ∞ (µ)∗ = L1 (µ)/P ∞ (µ)⊥ , il existe une suite {hn }n ∈ L1 (µ) telle que khn k1 & k Lk∗
p
2m .
+ n1 .
et lim k L − hn k∗ = 0. Soient p, q et m dans N∗ tels que p = 2m + 1 et q =
n→+∞
Fixons n ≥ 1. Comme lim k hn kq = k hn k1 et k hn k1 ≤ k Lk∗ < δ, k hn kq ≤ δ
q →1
Donc il existe, d’après le théorème de Hann-Banach, une fonction gn ∈ Lq (µ) telle que
R
R
hn f dµ = gn f dµ pour toute f ∈ P p (µ) et
Z
p
k gn kq = sup hn f dµ , f ∈ P (µ), k f k p ≤ 1 .
Comme hn et gn définissent la même forme linéaire sur P ∞ (µ)∗ , alors
lim k L − gn k∗ = 0.
n−→+∞
D’où k gn k1 ≤ k gn kq ≤ k hn kq ≤ δ + n1 . Ensuite lim sup k gn k1 ≤ δ < 1. Cela donne,
n→+∞
d’après le [7, Lemme VII.5.5 ], que
(2.2)
lim
Z
n→+∞ D\ As
| gn |dµ = 0,
∀ 0 < s < 1.
19
D’après le Lemme 2.6.1, il existe une fonction xn ∈ P 2 (µ) tel que | xn |2 = | gn | µ-pp sur
D. Considérons la fonction suivante :
yn =


gn
zxn χ Ar ,
 0,
si xn 6= 0 ;
sinon.
Il est bien clair que yn ∈ L2 (µ| Ar ).
(i )− Comme | xn |2 = | gn | µ-pp sur D, k xn k2 = k gn k1 ≤ δ + n1 . Ensuite lim sup
n→+∞
√
√
|g |
k xn k ≤ δ. Ainsi k xn k ≤ δ. On observe que |yn |2 = |zn| ≤ 1r | gn | µ-pp sur Ar . D’où
1
|yn | dµ ≤
kyn k =
r
Ar
2
Z
2
Cela entraîne que lim sup kyn k ≤
n→+∞
Z
√
Ar
| gn |dµ =
1
1
k gn k1 ≤ (δ + )/r.
r
n
δ/r et par suite kyn k ≤
√
δ/r.
(ii )− Pour f ∈ P ∞ (µ), on a
h gn − zxn ⊗ yn , f i =
=
=
Puis k gn − zxn ⊗ yn k∗ ≤
R
D\ Ar
Z
Z
gn f dµ −
gn f dµ −
Z
D\ Ar
zxn f yn dµ
Z
Ar
gn f dµ
gn f dµ
| gn |dµ. Par conséquent
k L − zxn ⊗ yn k∗ ≤ k L − gn k∗ +
D’où lim k L − zxn ⊗ yn k∗ = 0 du fait que lim
n→+∞
Z
n→+∞
R
Ar
Z
D\ Ar
| gn |dµ.
| gn |dµ = 0 par 2.2 et lim k L − gn k∗ =
n→+∞
0.
Supposons d’abord que L est arbitraire dans P ∞ (µ)∗ . Si f ∈ P0∞ (µ) et k f kµ ≤ 1,
alors f est holomorphe sur D nulle en 0 et k f k∞ ≤ 1. Donc, d’après le lemme de Schwarz,
k f /zk∞ ≤ 1. Soit L1 : P0∞ (µ) −→ C une application définie par L1 ( f ) = L( f /z). Il est
clair que L1 est une forme linéaire w∗ − continue sur P0∞ (µ) et k L1 k∗ ≤ k Lk∗ ≤ δ.
Il existe donc, d’après ce qui précède, deux suites { xn } ∈ P 2 (µ) et {yn } ∈ L2 (µ| Ar )
telles que lim k L1 − zxn ⊗ yn k = 0. Posons hn =
n→+∞
gn
xn .
Notons que hn ∈ L2 (µ| Ar ). Si
20
g ∈ P ∞ (µ), alors
R
| L( g) − (zxn ⊗ hn )( g)| = L( g) − zgxn hn dµ
R
= L1 (zg) − (zxn yn )(zg)dµ
= |[ L1 − zxn ⊗ yn ](zg)|
≤ k L1 − zxn ⊗ yn k∗ kzgk∞ .
D’où k L − zxn ⊗ hn k∗ ≤ k L1 − zxn ⊗ yn k∗ . Ainsi lim || L − zxn ⊗ hn ||∗ = 0.
n→+∞
(iii )− Soient a ∈ L2 (µ|D ) et 0 < α < 1 tel que
R
D\ ∆ α
| a|2 dµ ≤
1
,
n2
où ∆α est le
disque de centre 0 et de rayon α. On a, pour φ ∈ P ∞ (µ),
R
| x || a|dµ
hRD n
i
R
= kφk∞ D\∆α | xn || a|dµ + ∆α | xn || a|dµ
R
21 R
21
2
2
≤ kφk∞ k xn k D\∆α | a| dµ + k ak ∆α | xn | dµ
R
R
12
21 2
= kφk∞ k xn k D\∆α | a| dµ + k ak ∆α | gn |dµ
| hzxn ⊗ a, φi | ≤ kφk∞
√
et donc kzxn ⊗ ak∗ ≤
δ
n
+ k ak
R
| gn |dµ
∆α
12
. Comme
lim
R
n−→+∞ ∆α
| gn |dµ = 0 par 2.2,
alors lim kzxn ⊗ ak∗ = 0. Par le même raisonnement, on montre que lim k a ⊗ yn k∗ =
n→+∞
n→+∞
0.
(2)- D’après (1) il existe deux suites { xn }n ∈ P 2 (µ) et {yn }n ∈ L2 (µ| Ar ) telles que
√
√
k xn k ≤ δ et kyn k ≤ δ/r pour tout n. Pour n suffisamment grand on a
(2.3)
k L − a ⊗ b − zxn ⊗ yn k <
ε
ε
et k h ⊗ yn k∗ , kzxn ⊗ hk∗ <
4
4
∀ h ∈ L2 ( µ |D )
On considère, pour n suffisamment large, la fonction f définie sur ∂D par f (z) = 3
si | a(z)| < 3| xn (z)|, f (z) = 1 si | a(z)| ≥ 3| xn (z)| et posons x = xn + f xn . On a
√
R
k x k2 = |(1 + f )|2 | xn |2 ≤ k1 + f k2∞ k xn k2 ≤ 9δ. Ainsi k x k ≤ 3 δ. On observe que
| a + zx | ≥ | xn | sur ∂D. Considérons maintenant la fonction y ∈ L2 (µ| Ar ) définie par :

 y ,
sur D ;
n
y=
zx

n
a+zx yn , sur ∂D.
Notons que sur ∂D, on a |y| =
√
δ/r. De plus, on a
21
|zxn ||yn |
| a+zx |
≤
| xn ||yn |
| xn |
= |yn |. Comme y = yn sur D, kyk ≤
L − (zx + a) ⊗ (b + y) = L − a ⊗ b − zx ⊗ y − a ⊗ y − zx ⊗ b.
a ⊗ y = a ⊗ yn χD + a ⊗ yχ∂D
zx ⊗ y = zxn ⊗ yn + zxn f ⊗ yn χD − zxn ⊗ yn χ∂D + zxn ⊗ yχ∂D + zxn f ⊗ yχ∂D
D’où L − (zx + a) ⊗ (b + y) = [ L − a ⊗ b − zxn ⊗ yn ] − [zxn f ⊗ yn χD ] − [ a ⊗ yn χD ] −
[ x ⊗ b] + ξ où ξ = zxn ⊗ yn χ∂D − zxn ⊗ yχ∂D − zxn f ⊗ yχ∂D − a ⊗ yχ∂D = 0 car
ξ = 1 ⊗ (zx n yn − zx n y − zx n f y − ay)χ∂D
= 1 ⊗ (zx n yn − zxy − ay)χ∂D
= 1 ⊗ (zx n yn − zx + ay)χ∂D
= 1 ⊗ (zx n yn − zx n yn )χ∂D
= 1⊗0 = 0
Par conséquent k L − (zx + a ⊗ (b + y)k∗ ≤ k L − a ⊗ b − xn ⊗ yn k∗ + k xn f ⊗ yn χD k∗ +
k a ⊗ yn χD k∗ + k(1 + f ) xn ⊗ bk∗ . En utilisant (2.3) et on obtient, pour n suffisamment
large, que
k L − ( a + x ) ⊗ (b + y)k < ε.
Rappelons qu’une sous algèbre A de L∞ (µ) contenant 1 est antisymétrique si les seules
fonctions réelles de A sont les fonctions constantes. Grâce à la décomposition de Sarason,
on vérifie que P ∞ (µ) est antisymétrique si et seulement si G̊µ est connexe et la mesure
singulière µs qui figure dans la décomposition de Sarason µ = µ a ⊕ µs est nulle.
Théorème 2.6.4 (Olin-Thomson [14] )
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal et L une forme linéaire w∗ − continue sur
P ∞ ( A), alors il existe une constante C > 0 et deux vecteurs x et y dans H tels que
k x k2 , kyk2 ≤ C k Lk et L( T ) = h Tx, yi pour tout T ∈ P ∞ ( A).
Le théorème suivant est une variante du théorème de Olin-Thomson. Dont la preuve peut
se faire en suivant la démarche proposée dans la preuve du Théorème 2.6.4.
22
Théorème 2.6.5
Soit A ∈ B(H) un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ et tel que P ∞ (µ) est
antisymétrique. Soient L une forme linéaire w∗ -continue sur W ( A) et h ∈ H. Alors pour
tout λ ∈ G̊µ et tout entier n, il existe x et y dans H tels que L = (( A − λ)n x + h) ⊗ y .
Démonstration du Théorème 2.6.4 : D’après le Théorème 2.4.1 on peut supposer que L ∈
P ∞ (µ)∗ , où µ une mesure à support compact dans C.
Cas 1. A est un opérateur normal. D’après le théorème de Hann-Banach, il existe
R
une fonction h ∈ L1 (µ) telle que k hk1 = k Lk∗ et L( g) = hgdµ pour tout g ∈ L∞ (µ).
Comme h ∈ L1 (µ), il existe x0 et y0 dans L2 (µ) tel que h = x0 y0 . Ainsi L = x0 ⊗ y0 .
p
p
Pour x =
k Lk∗ x0 et y = y0 / k Lk∗ , L = x ⊗ y et k x k2 , kyk2 ≤ C k Lk∗ avec
C = max{k x0 k2 , ky0 k2 / k Lk2∗ }.
Cas 2. P ∞ (µ) = H ∞ (D). On suppose sans perdre de généralité que k Lk∗ ≤ δ < 1.
√
Pour a = b = 0, il existe, d’après le Lemme 2.6.3, x1 , y1 ∈ P 2 (µ) tels que k x1 k ≤ 3 δ,
√
ky1 k ≤ δ et k L − x1 ⊗ y1 k ≤ δ2 . Si on applique le Lemme 2.6.3 sur a = x1 et b = y1 ,
on trouve deux fonctions x2 , y2 ∈ P 2 (µ) telles que k x2 k ≤ 3δ, ky2 k ≤ δ et
k L − ( x1 + x2 ) ⊗ (y1 + y2 )k ≤ δ3 .
On applique une autre fois le Lemme 2.6.3 sur a = x1 + x2 et b = y1 + y2 . On extrait
x3 , y3 ∈ P 2 (µ) tels que k x3 k ≤ 3δ3/2 , ky3 k ≤ δ3/2 et L − (∑3i=1 xi ) ⊗ (∑3i=1 yi ) ≤ δ4 .
Et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on obtient, pour tout n, deux fonctions xn , yn ∈ P 2 (µ) telles
que k xn k ≤ 3δn/2 , kyn k ≤ δn/2 et
n
n
L − ( ∑ x i ) ⊗ ( ∑ y i ) ≤ δ n +1 .
i =1
i =1
(2.4)
Or la série ∑n δn/2 est convergente, alors les séries ∑n xn et ∑n yn le sont aussi. Donc,
pour x = ∑n xn et y = ∑n yn , on a L = x ⊗ y par l’inégalité (2.4).
Supposons maintenant que L est arbitraire dans P ∞ (µ)∗ et posons L0 =
1
2
1
L. Il
2k L k ∗
2
P (µ) tel
< 1. Il existe donc d’après ce qui précède x0 , y0 ∈
p
p
L0 = x0 ⊗ y0 . Ainsi la preuve de ce cas est achevée pour x = 2 k Lk∗ x0 , y = 2 k Lk∗ y0
est clair que k L0 k∗ =
2.7 Points d’évaluation
23
et C = 2 max{k x0 k2 , ky0 k2 } .
Cas 3. P ∞ (µ) est antisymétrique. D’après le Théorème 2.5.1, P ∞ (µ) = H ∞ ( G̊µ ). Si
G1 , G2 , ... sont les composantes connexes de G̊µ , alors P ∞ (µ) = ⊕n≥1 H ∞ ( Gn ). Soit τn :
Gn −→ D la transformation de Riemann. Il n’est pas difficile à démontrer que l’application
g 7−→ g ◦ τn est un isomorphisme d’algèbres duales de H ∞ (D) dans H ∞ ( Gn ). Ce qui
permet de supposer que H ∞ ( Gn ) = H ∞ (D) pour tout n ≥ 1. Posons, pour chaque n ≥ 1,
Ln = L| H ∞ (Gn ) . Il est clair que Ln est une forme linéaire w∗ − continue sur H ∞ (D). D’où,
d’après le deuxième cas, il existe deux vecteurs xn , yn ∈ P 2 (µ|Gn ) et une constante C > 0
tels que
k xn k2 , kyn k2 ≤ C k Ln k∗ et Ln = xn ⊗ yn .
Posons x = ⊕n xn et y = ⊕n yn . Comme L = ⊕n Ln et k Lk∗ = ∑n k Ln k∗ , alors L = x ⊗ y
et k x k2 , kyk2 ≤ C k Lk∗ .
Cas 4. A est un opérateur sous-normal arbitraire de mesure spectrale scalaire µ.
Si G1 , G2 , ... sont les composantes connexes de l’intérieur de l’enveloppe de Sarason
G̊µ et pour tout n ≥ 0, µn = µ|Gn , alors il existe, d’après le Théorème 1.4 [7], une
suite {Hn } ⊂ LatA telle que H = ⊕n≥1 Hn ,P ∞ ( A) = W ∗ ( A0 ) ⊕ [⊕n≥1 P ∞ ( An )], et
P ∞ (µ) = L∞ (µ0 ) ⊕ [⊕n≥1 P ∞ (µn )], où An = A|Hn , A0 est un opérateur normal réductif
et, pour chaque n ≥ 1, P ∞ ( An ) est canoniquement identifié avec l’algèbre antisymétrique
P ∞ (µn ). Posons L0 = L|W ∗ ( A0 ) et Ln = L|P ∞ ( An ) pour tout n ≥ 1. Comme , pour
tout n ≥ 0, Ln est une forme linéaire w∗ − continue, il existe, d’après le premier et le
troisième cas, xn , yn ∈ Hn tels que k xn k2 , kyn k2 ≤ C k Ln k∗ et Ln = xn ⊗ yn pour tout
n ≥ 0. Ainsi pour x = ⊕n xn et y = ⊕n yn , L( B) = h Bx, yi pour tout B ∈ P ∞ ( A)] et
k x k2 , k y k2 ≤ C k L k ∗ .
2.7
Points d’évaluation
Étant donné une mesure µ à support compact dans C. On dit que λ ∈ C est un point
d’évaluation bornée pour P p (µ) (1 ≤ p ≤ +∞) s’il existe une constante C > 0 tel que
2.7 Points d’évaluation
24
1
R
| p(λ)| ≤ C [ | Q| p dµ] p pour tout Q ∈ C[z]. L’ensemble des points d’évaluation bornée
pour P p (µ) sera noté Ωµ .
On observe que si λ ∈ Ωµ , alors la forme linéaire eλ : p 7−→ p(λ) sur C[z] se
prolonge par le théorème de Hann-Banach en une forme linéaire continue sur P 2 (µ). Il
existe donc par le théorème de Riesz une unique fonction k λ ∈ P 2 (µ) telle que
p(λ) = h p, k λ i =
Z
∀ p ∈ C[ z ].
pkλ dµ
La fonction k λ s’appelle le noyau reproduisant pour P 2 (µ) en λ. On remarque que
λ ∈ Ωµ si et seulement si k λ est un vecteur propre de Mz∗ .
Si Ωµ 6= ∅, la valeur d’une fonction f ∈ P 2 (µ) en λ ∈ Ωµ est définie par :
fb(λ) = h f , k λ i =
Z
f kλ dµ.
Cette fonction admet les propriétés suivantes : Si f ∈ P 2 (µ) et φ ∈ P 2 (µ) ∩ L∞ (µ),
alors
(i )− f = fb µ-pp sur Ωµ
(ii )− φcf (λ) = φb(λ) fb(λ) pour tout λ ∈ Ωµ
On dit que λ est un point d’évaluation analytique bornée pour P 2 (µ) si λ ∈ Ωµ et
si, pour toute f ∈ P 2 (µ), la fonction z 7−→ fb(z) est holomorphe sur un voisinage de λ.
L’ensemble des points d’évaluations analytiques bornées pour P 2 (µ) sera noté Ωµa .
Proposition 2.7.1 ([7, 18] )
Si µ est une mesure à support compact dans C et Mz est l’opérateur de multiplication sur
P 2 (µ) , alors
1. Ωµa est un sous-ensemble ouvert de C.
2. Ωµa est dense dans l’intérieur de Ωµ .
3. Tout composant de Ωµa est simplement connexe.
4. Si Mz est pur, alors Supp(µ) ⊂ Ωµa et Ωµ = Ωµa .
5. Si P 2 (µ)
L2 (µ), alors Ωµa 6= ∅.
2.8 Réflexivité
25
Un opérateur A ∈ B(H) est dit irréductible si les seuls sous-espaces réduisants pour
A sont les sous-espaces triviaux de H.
Théorème 2.7.2 (Thomson [18, 7] )
Si µ est une mesure à support compact dans C, alors il existe une partition formée de boréliens
{∆0 , ∆1 , ∆2 , ...} de Supp(µ) tel que si µn = µ|∆n , alors
1. P 2 (µ) = L2 (µ0 ) ⊕ [⊕n≥1 P 2 (µn )].
2. Si n ≥ 1, alors l’opérateur Mz sur P 2 (µn ) est irréductible. Ce qui équivaut à dire que
l’espace P 2 (µn ) ne contient aucune fonction caractéristique.
3. Si n ≥ 1, alors Ωµa n est un domaine simplement connexe dans C et Supp(µn ) ⊂
Ω a ( µ n ).
n
o
4. Si l’opérateur Mz sur P 2 (µ) est pur, alors P 2 (µ) = Vect k λ : λ ∈ Ωµa .
b de P 2 (µ) ∩ L∞ (µ)
5. Si l’opérateur Mz sur P 2 (µ) est pur, alors l’application φ 7−→ φ
dans H ∞ (Ωµa ) est un isomorphisme d’algèbres duales.
2.8
Réflexivité
Pour un opérateur A ∈ B(H), nous désignons par LatA l’ensemble des sous-espaces
fermés de H invariants pour A, AlgLatA l’algèbre des opérateurs B ∈ B(H) tel que
LatA ⊂ Lat( B) et par W ( A) la fermeture faible dans B(H) de l’algèbre des polynômes
en A.
Définition 2.8.1
Un opérateur A est dit réflexif si AlgLatA = W ( A)
Remarquons que si A est un opérateur sous-normal, alors d’après le Théorème 2.6.4,
W ( A) = P ∞ ( A). Par conséquent, A est réflexif si et seulement si AlgLatA = P ∞ ( A).
2.8 Réflexivité
26
R. Olin et J. Thomson ont montré que tout opérateur sous-normal est réflexif. Cependant leur preuve originale a été légèrement simplifiée par beaucoup d’auteurs, on peut
citer par exemple [9, 11, 12]. Jusqu’à l’année 1993, toutes les preuves étaient adaptées à
une construction compliquée de sous-espaces pleinement analytiques.
Dans cette section nous présentons la preuve de John E.McCarthy basée sur la notion
des points d’évaluations. On Commence par le lemme suivant.
Lemme 2.8.2
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal cyclique pur, alors il existe une mesure µ à
support compact dans C telle que :
1. Pour tout ψ ∈ P 2 (µ), P ∞ (µ) ⊂ P 2 (|ψ|2 dµ).
2. Il existe une fonction ψ ∈ P 2 (µ), telle que G̊µ ⊂ Ω|aψ|2 dµ .
3. P ∞ (µ) = H ∞ ( G̊µ ).
Démonstration : Comme A est un opérateur sous-normal cyclique on peut supposer, d’après
le Théorème 2.3.1, A = Mz et H = P 2 (µ) pour une mesure µ à support compact dans C.
1− Soient φ ∈ P ∞ (µ) et ψ ∈ P 2 (µ). D’après le Théorème 2.4.1, Mφ = φ( A) ∈
W ( A) ⊂ AlgLatA. Par conséquent φψ ∈ Vect A (ψ). Il existe donc une suite { pn }n de
polynômes analytiques telle que
lim
Z
n→+∞
| pn − φ|2 |ψ|2 dµ = 0.
Ainsi φ ∈ P 2 (|ψ|2 dµ). Ceci achève la preuve de (1).
b(λ)
2− Soit λ ∈ G̊µ . D’après les Théorèmes 2.5.1 et 2.4.1, la forme linéaire φ( A) 7−→ φ
sur P ∞ ( A) est w∗ − continue. Il existe donc en vertu du Théorème 2.6.4 deux fonctions
R
ψ et θ dans P 2 (µ) telle que p(λ) = pψθdµ pour tout p ∈ C[z]. D’où
| p(λ)| ≤
Z
| pψ| |θ | dµ ≤
kθ k22
Z
2
2
| p| |ψ| dµ
1/2
∀ p ∈ C[ z ].
Ainsi λ ∈ Ω|ψ|2 dµ . Comme A est pur, alors l’opérateur de multiplication par la variable
complexe z sur P 2 (|ψ|2 dµ) l’est aussi. Ce qui entraîne que λ ∈ Ω|aψ|2 dµ par la Proposition
2.8 Réflexivité
27
2.7.1. D’où G̊µ ⊂ Ω a
3− Soit φ ∈
.
|ψ|2 dµ
P ∞ ( µ ).
Il existe d’après (1) et (2) une fonction ψ ∈ P 2 (µ) telle que
φ ∈ P 2 (|ψ|2 dµ) et G̊µ ⊂ Ω|aψ|2 dµ . Donc φ est holomorphe sur G̊µ . Comme elle est bornée
sur G̊µ , φ ∈ H ∞ ( G̊µ ). Par conséquent P ∞ (µ) ⊆ H ∞ ( G̊µ ). L’autre inclusion est une
conséquence immédiate du Théorème 2.5.1.
Théorème 2.8.3 (Olin et Thomson [14] )
Tout opérateur sous-normal est réflexif.
Démonstration : Supposons d’abord que A est un opérateur sous-normal pur cyclique. D’après
le Théorème 2.3.1, on peut supposer que A = Mz et H = P 2 (µ), où µ est une mesure à support compact dans C. Soient B ∈ AlgLatA et λ ∈ Ωµa . Donc il existe une
fonction k λ ∈ P 2 (µ) tel que h Q, k λ i = Q(λ) pour tout polynôme Q. Ceci implique
que k λ est un vecteur propre de A∗ . Par suite Vect(k λ ) ∈ LatA∗ ⊂ LatB∗ . Cela entraîne que A∗ B∗ = B∗ A∗ sur Vect(k λ ). On obtient donc, d’après le Théorème 2.7.2,
que A∗ B∗ = B∗ A∗ sur H. Par conséquent AB = BA sur H. D’après le Théorème
2.3.1, il existe une fonction φ ∈ P 2 (µ) ∩ L∞ (µ) tel que B = Mφ . Donc pour conclure
il suffit de montrer, d’après le Théorème 2.4.1, que φ ∈ P ∞ (µ). Si f ∈ P 2 (µ), alors
φ f ∈ Vect A ( f ). D’où il existe une suite { pn }n de polynômes analytiques telle que
R
lim | pn − φ|2 | f |2 dµ = 0. Ainsi φ ∈ P 2 (| f |2 dµ) pour tout f ∈ P 2 (µ). D’après le
n →0
Lemme 2.8.2, il existe une fonction ψ ∈ P 2 (µ) tel que G̊µ ⊂ Ω|aψ|2 dµ . En particulier
φ ∈ P 2 (|ψ|2 dµ). Ceci prouve que φ est analytique sur G̊µ et par suite φ ∈ P ∞ (µ) par le
Lemme 2.8.2.
Supposons maintenant que A est pur. Soit N l’extension normale minimale de A et
x, y dans H tels que x, y et x + y soient des vecteurs séparateurs pour l’algèbre de Von
Neumann W ∗ ( N ). Posons E = Vect A ( x ), F = Vect A (y) et G = Vect A ( x + y). Donc si
B ∈ AlgLatA, alors il existe ψ, φ et ξ dans P ∞ (µ) tels que X := ψ( N )| E = B| E , Y :=
φ( N )| F = B| F et Z := ξ ( N ) = B|G par ce qui précède. On aussi B( x + y) = Z ( x + y) =
Ax + Ay = Xx + Yy. Il vient que le vecteur ( X − Z ) x = (Y − Z )y est dans E ∩ F et par
suite X = Y sur E ∩ F. Donc ( X − Y )( X − Z ) x = ( X − Y )(Y − Z )y = 0. Comme x, y
sont des vecteurs séparateurs, on obtient ( X − Y )( X − Z ) = ( X − Y )(Y − Z ) = 0. Ceci
entraîne que X = Y. Ensuite, il existe un unique opérateur X tel que Bx = Xx = Ψ( N ) x
2.8 Réflexivité
et par conséquent B = ψ( A) ∈ W ( A) du fait que x est un vecteur séparateur.
Supposons maintenant que A est arbitraire. Soit A = A1 ⊕ A2 la décomposition de
A selon la décomposition H = H1 ⊕ H2 tels que A1 est un opérateur normal et A2 est
un opérateur sous-normal pur. D’où P ∞ ( A) ⊂ P ∞ ( A2 ) ⊕ P ∞ ( A2 ). Pour conclure il suffit
de montrer, d’après [6, Théorème 59.3], que l’algèbre P ∞ ( A2 ) ⊕ P ∞ ( A2 ) est réflexive
élémentaire. Puisque P ∞ ( Ai ) (i = 1, 2) est réflexive par le premier cas et le fait que tout
opérateur normal est réflexif, alors P ∞ ( A2 ) ⊕ P ∞ ( A2 ) est réflexive. D’après le Théorème
2.6.4, l’algèbre P ∞ ( Ai ) (i = 1, 2) est élémentaire et par conséquent P ∞ ( A2 ) ⊕ P ∞ ( A2 )
l’est aussi. D’où le résultat.
28
Chapitre 3
RÉFLEXIVITÉ DES OPÉRATEURS ALGÉBRIQUES
3.1
Introduction
Étant donné K un espace de Hilbert complexe séparable et R ∈ B(K), le défaut de
réflexivité de l’opérateur R, noté α( R), est la quantité
α( R) = dim AlgLatR/W ( R).
Ce qui entraîne que R est réflexif si et seulement si α( R) = 0.
Supposons maintenant que R est un opérateur algébrique de polynôme minimal m =
∏ri=0 (z − λi )ni . Grâce à la décomposition primaire R = ⊕ri=0 Ri suivant la décomposition
K=
Lr
i =0 Ker ( R − λi )
(3.1)
ni ,
où Ri = R|Ker( R−λi )ni pour tout i = 1, 2, ..., r, on obtient
W ( R) = ⊕ri=0 W ( Ri ), LatR = ⊕ri=0 LatRi , AlgLatR = ⊕ri=0 AlgLatRi .
Par conséquent
r
(3.2)
α( R) =
∑ α ( R i − λ i ),
i =0
du fait que pour tout i ∈ {1, 2, ..., r }, AlgLatRi = AlgLat( Ri − λi ) et W ( Ri ) = W ( Ri −
λi ) . Comme pour tout i ∈ {1, 2, ..., r }, Ri − λi est un opérateur nilpotent d’ordre ni ,
l’étude de la réflexivité des opérateurs algébriques se ramène alors à celle des opérateurs
nilpotents.
29
3.2 Généralités
30
L’objectif donc de ce chapitre est de donner une étude complète et explicite sur la
réflexivité des opérateurs nilpotents et ensuite nous caractérisons les opérateurs algébriques qui sont réflexifs.
3.2
Généralités
Étant donné N ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre n ≥ 1 et e ∈ K tel que
N n−1 e 6= 0. Signalons ici qu’il existe toujours une forme linéaire continue f sur K tel
que pour tout i ∈ {1, 2, ..., n − 1},
f ( N i e) = δin−1
En effet, Comme l’ensemble

 1 , si i = n − 1 ;
=
 0 , si i 6= n − 1.
e, Ne, ..., N n−1 e
définit un système libre dans K, on
peut munir l’espace K à une base orthogonale {vk }k tel que vk = N k e pour tout
k ∈ {1, 2, ..., n − 1}. Ainsi la forme linéaire f peut être donnée Comme suit :
f (y) =
y, N n−1 e
k N n −1 e k
2
,
∀y ∈ K.
Pour un vecteur x ∈ K, l’opérateur de Ruston, noté Vx,n f , est défini par
Vx,n f =
n
∑ N s −1 ( x ⊗ f ) N n − s ,
s =1
où x ⊗ f est une application linéaire définie sur K à valeurs dans K par ( x ⊗ f )(y) =
f (y) x.
Désignons, dans tous ce qui suit, par Vect N ( x ) := Vect{ x, Nx, N 2 x, ..., N n−1 x } et
par Cm [z] := { P ∈ C[z] : degP ≤ m}, où m ∈ N .
Proposition 3.2.1
Soient N ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre n ≥ 1 et e ∈ K tel que N n−1 e 6= 0.
Soient x ∈ K et f une forme linéaire sur K telle que pour tout i ∈ {1, 2, ..., n − 1},
3.2 Généralités
31
f ( N i e) = δin−1 . On a les affirmations suivantes :
a- Vx,n f N = NVx,n f .
b- Vx,n f ( N i e) = N i x pour tout i ∈ {1, 2, ..., n − 1}
c- Im(Vx,n f ) = Vect N ( x ).
d- Ve,nf est un projecteur.
e- Il existe un sous-espace F ∈ LatN tel que K = Vect N (e) ⊕ F .
Démonstration : a− Il est clair que NVx,n f − Vx,n f N = N n ( x ⊗ f ) − ( x ⊗ f ) N n . Il en résulte
que Vx,n f N = NVx,n f car n est l’ordre de nilpotence de l’opérateur N.
b− Soit i ∈ {1, 2, ..., n − 1}. On a
Vx,n f ( N i e) = ∑ns=1 N s−1 ( x ⊗ f ) N n−s ( N i e)
= ∑ns=1 f ( N n−s+i e) N s−1 x
−1
s −1 x
= ∑ns=1 δnn−
s +i N
= N i x.
c−Il est bien clair, d’après (a) et (b), que Vx,n f (e) = x et Im(Vx,n f ) est un sousespace de K invariant pour N. D’où x ∈ Im(Vx,n f ) et par suite Vect N ( x ) ⊂ Im(Vx,n f ).
Inversement, soit y ∈ K. Comme Vx,n f (y) = ∑ns=1 f ( N n−s y) N s−1 x ∈ Vect N ( x ), alors
Im(Vx,n f ) ⊂ Vect N ( x ). D’où l’égalité.
d− On a
(Ve,nf )2 = ∑nv=1 (∑ns=1 N s−1 (e ⊗ f ) N n−s+v−1 (e ⊗ f )) N n−v
= ∑nv=1 (∑ns=1 [( N s−1 e ⊗ f ) N n−s+v−1 e] ⊗ f ) N n−v
= ∑nv=1 (∑ns=1 [ f ( N n−1+v−1 e) N s−1 e] ⊗ f ) N n−v
−1+ v −1 s −1
= ∑nv=1 (∑ns=1 δnn−
N (e ⊗ f )) N n−v
1
= ∑nv=1 N v−1 (e ⊗ f ) N n−v
= Ve,nf .
Ceci prouve que Ve,nf est un projecteur.
e− Puisque Ve,nf est un projecteur, K = Im(Ve,nf ) ⊕ Ker (Ve,nf ). Posons F = Ker (Ve,nf ).
D’après (a), F ∈ LatN. Et donc pour conclure il suffit d’utiliser la propriété (c).
3.3 Réflexivité
32
3.3
3.3.1
Réflexivité
Réflexivité des opérateurs nilpotents.
R. Filmor et J. Deddense [2] ont donné
une description complète de l’algèbre AlgLatN lorsque N est un opérateur nilpotent
défini sur un espace vectoriel de dimension finie.
Dans le théorème suivant nous avons donné une description analogue en dimension
infinie à celle qui figure dans [2] .
Théorème 3.3.1
Soient N ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre n ≥ 1, e ∈ K et F ∈ LatN tels que
N n−1 e 6= 0 et K = Vect N (e) ⊕ F . Soit p l’ordre de nilpotence de N |F . Les assertions
suivantes sont équivalentes
1. B ∈ AlgLatN
2. Il existe P ∈ C[z] et D ∈ B(K) tel que B = P( N ) + D avec De = 0, D |F = 0 et
pour tout k ∈ {1, 2, ..., n − 1}, DN k e ∈ Vect N ( N k+ p e) .
Démonstration : Si B ∈ AlgLatN, alors Be ∈ Vect N (e). D’où il existe P ∈ C[z] tel que
Be = P( N )e. Posons D = B − P( N ). Il est clair que De = 0 et D ∈ AlgLatN. Montrons
maintenant que D |F = 0. En effet, soit x ∈ F . Comme D (e + x ) = Dx, Dx ∈ Vect N (e +
x ). il existe donc Q ∈ Cn−1 [z] tel que Dx = Q( N )(e + x ). D’où Q( N )e ∈ F . Puis
Q( N )e ∈ Vect N (e) ∩ F et par conséquent Q( N )e = 0. Ceci implique Q = 0 du fait
que N n−1 e 6= 0. Ainsi D |F = 0. Par ailleurs, soit x0 ∈ F tel que N p−1 x0 6= 0. Comme
DN k e = D ( N k e + x0 ), alors DN k e ∈ Vect N ( N k e + x0 ). Il existe donc Q0 ∈ Cn−1 [z]
tel que DN k e = Q0 ( N )( N k e + x0 ). D’où Q0 ( N ) x0 ∈ Vect N (e). Comme Q0 ( N ) x0 ∈ F ,
Q0 ( N ) x0 = 0. Puisque N p−1 x0 6= 0, le polynôme Q0 est divisible par le polynôme minimal
z p de N |F . Puis il existe K ∈ C[z] tel que Q0 = z p K. Ainsi DN k e = N p K ( N )( N k e +
x0 ) = K ( N ) N k+ p e ∈ Vect N ( N k+ p e) car N p x0 = 0.
Inversement, quitte à retrancher un polynôme convenable en N de B on peut supposer
que B = D. Si x ∈ K, alors il existe a1 , a2 , ..., an−1 ∈ C et y ∈ F tels que x =
3.3.1 Réflexivité des opérateurs nilpotents.
33
−1
k
p
∑kn=
1 ak N e + y. Puisque Dy = N y = 0,
n −1
Dx =
∑
ak DN k e
et
Npx =
k =1
n −1
∑ ak N p+k e.
k =1
−1
p+k e ∈ Vect ( x ). Si a est le premier
Comme Vect N ( x ) est invariant pour N, ∑nk=
N
j
1 ak N
terme non nul, alors N p+ j e, N p+ j+1 e, ..., N n−1 e ∈ Vect N ( x ). Par suite Dx ∈ Vect N ( x ).
Ceci achève la démonstration.
Lemme 3.3.2
Soient N ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre n ≥ 1, e ∈ K et F ∈ LatN tels que
N n−1 e 6= 0 et K = Vect N (e) ⊕ F . Soit p l’ordre de nilpotence de N |F . Le défaut de
réflexivité de N est
α( N ) =
(n − p)(n − p − 1)
.
2
Il en résulte que N est réflexif si et seulement si p = n ou p = n − 1.
Démonstration : Si B = B1 ⊕ B2 ∈ AlgLatN où B1 = B|Vect N (e) et B2 = B|F . Donc, d’après
le Théorème 3.3.1, B est complètement déterminé par la donnée de B1 . La matrice de B1
suivant le système {e, Ne, ..., N n−1 e} est donnée par :
MB1

a0
0
...
0
0
0
0
...
0











=










a1
..
.
a0
..
.
...
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
..
.
...
..
.
0
..
.
a p −1 a p −2 . . .
a0
0
0
0
...
0
(0)
bp
(0)
b p +1
a p −1 . . .
a1
a0
0
...
...
0
(1)
bp
a2
..
.
a1
..
.
a0
..
.
0
..
.
...
..
.
0
..
.
a p −2 a p −3 . . .
0





















a p −1 a p −2 . . .
a0
...
..
.
..
.
..
.
(0)
(1)
( n − p −2)
(0)
(1)
( n − p −2)
bn − 2 bn − 3 . . . b p
bn − 1 bn − 2 . . . b p + 1
a p −1
( n − p −1)
bp
Ensuite la dimension de l’algèbre AlgLatN est le nombre de paramètres dont dépend la
matrice MB1 i. e.
dim AlgLatN = p +
(n − p)(n − p + 1)
.
2
3.4 Réflexivité des opérateurs algébriques.
34
En tenant compte que dim W ( N ) = n, on obtient
α( N ) =
(n − p)(n − p − 1)
.
2
D’où le résultat.
3.4
Réflexivité des opérateurs algébriques.
Définition 3.4.1
Soient R ∈ B(K) un opérateur algébrique et e ∈ K. Le polynôme R-annulateur de e est
un générateur de l’idéal
{ P ∈ C[ z ] : P ( R ) e = 0}
Lemme 3.4.2
Si R ∈ B(K) est un opérateur algébrique de polynôme minimal m = ∏ri=0 (z − λi )ni , alors
il existe un vecteur e ∈ K de polynôme R-annulateur m et un sous-espace F ∈ LatR tel que
K = Vect R (e) ⊕ F .
Démonstration : Soit R = ⊕ri=0 Ri la décomposition primaire de R suivant la décomposition
K = ⊕ri=0 Ker ( R − λi )ni avec Ri = R|Ker( R−λi )ni . Comme Ri − λi est un opérateur nilpotent
d’ordre ni , il existe, d’après la Proposition 3.2.1, un vecteur ei ∈ Ki et un sous-espace
Fi ∈ LatRi tels que ( Ri − λi )ni −1 ei 6= 0 et Ki = Vect Ri (ei ) ⊕ Fi . Cela donne
(3.3)
K = [⊕ri=0 Vect Ri (ei )] ⊕ [⊕ri=0 Fi ] .
Posons e = ⊕ri=0 ei et F = ⊕ri=0 Fi . D’après (3.1), on a F ∈ LatR et Vect R (e) =
⊕ri=0 Vect Ri (ei ). Puisque chaque vecteur ei est de polynôme Ri -annulateur (z − λi )ni −1 ,
le vecteur e est de polynôme R-annulateur m. Ainsi la démonstration est achevée par
(3.3).
D’après (3.2) et le Lemme 3.3.2, on conclut que si R ∈ B(K) est un opérateur algébrique
3.4 Réflexivité des opérateurs algébriques.
35
de polynôme minimal m = ∏ri=1 (z − λi )ni , e ∈ K de polynôme R-annulateur m, F ∈
LatR tel que K = Vect R (e) ⊕ F et pour tout i ∈ {1, 2, ..., r }, pi l’ordre de nilpotence de
( Ri − λi )|Ker( R−λi )ni ∩F , alors le défaut de réflexivité de R est donné par
r
α( R) =
(ni − pi )(ni − pi − 1)
.
2
i =0
∑
Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes sur la réflexivité des opérateurs algébriques
sont données Comme suit :
Théorème 3.4.3
Soient R ∈ B(K) un opérateur algébrique de polynôme minimal m = ∏ri=1 (z − λi )ni ,
e ∈ K de polynôme R-annulateur m et F ∈ LatR tel que K = Vect R (e) ⊕ F . Soit, pour
tout i ∈ {1, 2, ..., r }, pi l’ordre de nilpotence de ( Ri − λi )|Ker( R−λi )ni ∩F . Les assertions
suivantes sont équivalentes.
1. R est réflexif.
2. Pour tout i ∈ {1, 2, ..., r }, Ri est réflexif.
3. Pour tout i ∈ {1, 2, ..., r }, pi = ni ou pi = ni − 1.
Chapitre 4
RÉFLEXIVITÉ D’UNE EXTENSION D’UN
OPÉRATEUR SOUS-NORMAL PAR UN
OPÉRATEUR ALGÉBRIQUE
4.1
Introduction
Dans [2] les auteurs ont caractérisé les extensions des opérateurs normaux par des
opérateurs nilpotents qui sont réflexives. Dans ce chapitre, nous étudions la réflexivité
d’une extension T d’un opérateur sous-normal par un opérateur algébrique. Nous montrons que la réflexivité de T se ramène à celle d’une extension d’un opérateur sous-normal
par un opérateur nilpotent. Nous caractérisons ensuite les extensions des opérateurs
sous-normaux par des opérateurs nilpotents qui sont réflexives et nous calculons leurs
défauts de réflexivité, ce qui généralise les résultats obtenus dans [2].
Dans toute la suite, si A ∈ B(H), nous désignons par σ( A) le spectre de A, σp ( A)
le spectre ponctuel de A. Si y1 , y2 , ..., yr ∈ H , Vect(y1 , y2 , ..., yr ) est le sous-espace
vectoriel de H engendré par y1 , y2 , ..., yr , Vect A (y1 , y2 , ..., yr ) est le sous-espace vectoriel
de H invariant pour A engendré par y1 , y2 , ..., yr ; et Vect A (y1 , y2 , ..., yr ) la fermeture de
Vect A (y1 , y2 , ..., yr ) dans H.
Soient µ une mesure positive à support compact dans C, p un polynôme analytique et
A ∈ B(H). Nous notons P ∞ ( p, µ) l’adhérence faible dans L∞ (µ) de l’idéal { p(z)q(z) :
q ∈ C[z]}( Si p = 1, P ∞ ( p, µ) sera noté simplement P ∞ (µ)) et WA ( p( A)) est la
36
4.2 Description de l’algèbre W ( T )
37
fermeture faible dans B(H) de l’idéal { p( A)q( A) : q ∈ C[z]}.
4.2
Description de l’algèbre W ( T )
Dans ce qui suit, H et K désignent deux espaces de Hilbert complexes séparables.
A ∈ B(H) un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ, R ∈ B(K) un
opérateur algébrique de polynôme minimal m = ∏ri=0 (z − λi )ni et

T=
A X
0
R


où X ∈ B(K, H)
une extension de A par R.
Le but de cette section est de donner une caractérisation complète de l’algèbre W ( T ).
Commençons par le lemme suivant :
Lemme 4.2.1
Soient µ une mesure positive à support compact dans C et G̊µ l’intérieur de l’enveloppe de
Sarason. Soit p = p1 p2 un polynôme tel que les racines de p1 sont dans G̊µ et celles de p2
sont à l’extérieur de G̊µ . On a alors
P ∞ ( p, µ) = P ∞ ( p1 , µ) = p1 P ∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ).
Démonstration : Montrons d’abord que P ∞ ( p2 , µ) = P ∞ (µ). En effet, soit φ ∈ P ∞ (µ).
D’après le Théorème 2.5.1, on a P∞ (z − λ)k , µ) = P∞ (µ) pour tout λ ∈
/ G̊µ et k ∈ N.
Comme 1 ∈ P∞ (µ), il existe une suite de polynômes analytiques {qi }i telle que p2 qi −→ 1
dans L∞ (µ). Puisque φ ∈ P∞ (µ), il existe une suite Pj j de polynômes analytiques telle
que Pj −→ φ dans L∞ (µ). Ainsi p2 qi Pj −→ φ dans L∞ (µ). D’où P ∞ (µ) ⊂ P ∞ ( p2 , µ).
L’autre inclusion est évidente.
Comme p1 divise p, P ∞ ( p, µ) ⊂ P ∞ ( p1 , µ). Inversement, si ψ ∈ P ∞ ( p1 , µ), alors il
38
existe une suite { Qi }i de polynômes analytiques telle que p1 Qi −→ ψ dans L∞ (µ). Il
existe aussi, d’après ce qui précède, une suite Pj j de polynômes analytiques telle que
p2 Pj −→ 1 dans L∞ (µ). Ainsi pPj Qi −→ ψ dans L∞ (µ) et par suite ψ ∈ P ∞ ( p, µ). D’où
P ∞ ( p1 , µ) ⊂ P ∞ ( p, µ).
D’après le Théorème 2.5.1, on a
(4.1)
P∞ ( p1 , µ) ⊂ P∞ ((z − λ)k , µ) = (z − λ)k P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ),
pour tout λ ∈ G̊µ et k ≥ 0. Montrons que P∞ ( p1 , µ) ⊂ p1 P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ). En effet,
soit f ∈ P∞ ( p1 , µ). D’après (4.1), il existe gi ∈ P∞ (µ a ) et hi ∈ L∞ (µs ) telles que
f = (z − λi )ni gi ⊕ hi pour tout i ∈ {1, 2, ..., r } tel que λi ∈ G̊µ . Donc pour tout j 6= i tel
que λ j ∈ G̊µ , (z − λi )ni gi = (z − λ j )n j g j et hi = h j . Ceci implique que λ j est un zéro de
gi d’ordre supérieur ou égale n j . Puisque la fonction gi est holomorphe sur G̊µ , il existe
une fonction ξ i ∈ P∞ (µ a ) telle que
gi = ξ i
∏
(z − λ j )n j .
j6=i,λ j ∈ G̊µ
Par conséquent f = p1 ξ i ⊕ hi ∈ p1 P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ).
Inversement, Soit f ∈ p1 P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ). D’après le Théorème 2.5.1,
(4.2)
f ∈ (z − λ)k P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ) = P∞ ((z − λ)k , µ),
pour tout λ ∈ G̊µ et k ≥ 0. Il existe alors une suite { pα }α de polynômes analytiques telle
que (z − λi )ni pα −→ f dans L∞ (µ) pour tout i ∈ {1, 2, ..., r } tel que λi ∈ G̊µ . Comme
1 ∈ L∞ (µs ), il existe d’après 4.2 une suite q β β de polynômes analytiques telle que
qβ
∏
(z − λ j )n j −→ 1
j6=i,λ j ∈ G̊µ
dans L∞ (µ). Ainsi p1 pα q β −→ f dans L∞ (µ). Ceci établit que f ∈ P∞ ( p1 , µ). Il en
résulte alors que p1 P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ) ⊂ P∞ ( p1 , µ).
Remarque.Il est bien clair que si R ∈ B(K) est un opérateur algébrique de polynôme
39
minimal m = ∏ri=0 (z − λi )ni , alors K = Kint ⊕ Kext , où
Kint =
r
M
ni
Ker ( R − λi ) ,
Kext =
r
M
Ker ( R − λi )ni
i =0,λi ∈
/ G̊µ
i =0,λi ∈ G̊µ
et G̊µ est l’intérieur de l’enveloppe de Sarason. Donc l’opérateur algébrique R s’écrit
suivant la décomposition Kint ⊕ Kext d’une manière unique sous la forme R = R1 ⊕ R2 ,
où R1 = R|Kint et R2 = R|Kext . Cela nous permet de décomposer le polynôme minimal
m de R en produit de deux polynômes premiers entre eux mint et mext sous la forme
m = mint mext tels que les racines de mint sont dans G̊µ et celles de mext sont à
l’extérieur de G̊µ . Nous conclurons donc, d’après le Lemme 4.2.1, que
P ∞ (mext , µ) = P ∞ (µ)
P ∞ (m, µ) = P ∞ (mint , µ) = mint P ∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ).
Remarque.Pour un opérateur sous-normal A ∈ B(H) et λ ∈ C, le sous-espace Ker ( A −
λ) de H est réduisant pour A. En effet, d’abord il est bien clair que Ker ( A − λ) est
invariant pour A − λ. Comme tout opérateur sous-normal est hyponormal,
k( A − λ)∗ x k ≤ k( A − λ) x k
∀ x ∈ H.
Donc si x ∈ ker( A − λ), alors ( A − λ)∗ x = 0. Par conséquent Ker ( A − λ) est invariant
pour ( A − λ)∗ . Ainsi Ker ( A − λ) est un sous-espace de H réduisant pour A. Donc quitte
à décomposer H sous la forme H = Ker ( A − λ)⊥ ⊕ Ker ( A − λ), l’opérateur T − λ s’écrit
suivant la décomposition Ker ( A − λ)⊥ ⊕ Ker ( A − λ) ⊕ K sous la forme suivante :

T−λ = 
A − λ X1
0
R1



où
R1 = 
0
X2
0 R−λ

,
X1 ∈ B(K, Ker ( A − λ)⊥ ) et X2 ∈ B(K, Ker ( A − λ)). Comme l’opérateur R1 est algébrique on peut supposer sans perdre de généralité que l’opérateur A − λ est injectif pour
40
tout λ ∈ σ( A) i.e. m( A) est injectif. Notons ici que pour tout polynôme p(z) = ∑in=0 αi zi ,
on a

p( T ) = 
p( A)
∑in=0 αi Xi

p( R)

0
i −1
où
Xi =
∑ Ai− j−1 XR j .
j =0
Dans [2] les auteurs ont donné une description complète de W ( T ) lorsque T est une
extension d’un opérateur normal par un opérateur nilpotent. Cette description s’étend
dans le cas d’une extension T d’un opérateur sous-normal par un opérateur algébrique
Comme suit :
Théorème 4.2.2
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal, R ∈ B(K) est un opérateur algébrique de
polynôme minimal m = mint mext = ∑in=0 ai zi de degré n tel que m( A) est injectif et

T=
A X
0
R


où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R, alors
W ( T ) = Cn−1 [ T ] ⊕ WT (m( T ))
et



 B Y

n
 : B ∈ WA (m( A)) et B ∑ ai Xi = m( A)Y .
WT (m( T )) = 
 0 0

i =0
Démonstration : Il est bien clair que Cn−1 [ T ] ⊕ WT (m( T )) ⊆ W ( T ). Inversement, soit P un
polynôme analytique. Il existe, d’après la division euclidienne de P par m, deux polynômes
q ∈ C[z] et r ∈ Cn−1 [z] tels que P = r + mq. D’où P( T ) = r ( T ) + m( T )q( T ). Ainsi
P( T ) ∈ Cn−1 [ T ] ⊕ WT (m( T )) pour tout P ∈ C[z]. Comme Cn−1 [ T ] est un sous-espace
vectoriel de dimension finie et WT (m( T )) est un sous-espace faiblement fermé dans
W ( T ), l’espace Cn−1 [ T ] ⊕ WT (m( T )) est faiblement fermé dans W ( T ). On obtient donc,
par passage à la limite, que W ( T ) ⊆ Cn−1 [ T ] ⊕ WT (m( T )). D’où l’égalité.
Étant donné S ∈ WT (m( T )), il n’est pas difficile de montrer que S s’écrit suivant la
41
décomposition H ⊕ K sous la forme

S=
B Y
0
D

.
De plus, il existe une suite de polynômes analytique { Qi }i telle que

Qi ( T ) m ( T ) = 
Qi ( A ) m ( A )
0

Qi ( A) ∑in=0 ai Xi

0
−→ S.
Ensuite Qi ( A)m( A) −→ B et D = 0. Ainsi B ∈ WA (m( A)) et B ∑in=0 ai Xi = m( A)Y
car Sm( T ) = m( T )S. Ceci montre la première inclusion.
Inversement, soit

S=
B Y
0
0


n
tels que B ∈ WA (m( A)) et B ∑ ai Xi = m( A)Y.
i =0
Il existe donc, d’après le Théorème 2.4.1, une mesure µ à support compact dans C
et une fonction φ ∈ P∞ (m, µ) telle que B = φ( A). D’après le Lemme 4.2.1, on a
φ ∈ mint P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ). ll existe alors φa ∈ P∞ (µ a ) et φs ∈ P∞ (µs ) telles que
φ = mint φa ⊕ φs . Comme 1 ∈ P∞ (µ) ∩ L∞ (µs ), il existe, d’après le Lemme 4.2.1, deux
suites q β β et { pα }α de polynômes analytiques telles que mext q β −→ 1 dans L∞ (µ) et
mpα −→ 1 dans L∞ (µs ). Par un calcul algébrique simple on peut montrer que

(mq β φa ⊕ mpα φs )( A) (q β φa ⊕ pα φs )( A) ∑in=0 ai Xi

(q β φa ⊕ pα φs )( T )m( T ) = 



.

0
0
De plus, Comme B ∑in=0 ai Xi = m( A)Y, alors
m( A)(q β φa ⊕ pα φs )( A) ∑in=0 ai Xi = (mq β φa ⊕ mpα φs )( A) ∑in=0 ai Xi
= (mext q β ⊕ mpα )( A)(mint φa ⊕ φs )( A) ∑in=0 ai Xi
= (mext q β ⊕ mpα )( A)φ( A) ∑in=0 ai Xi
= (mext q β ⊕ mpα )( A) B ∑in=0 ai Xi
= m( A)(mext q β ⊕ mpα )( A)Y.
4.3 Description de l’algèbre AlgLatT et réflexivité
42
D’où (q β φa ⊕ pα φs )( A) ∑in=0 ai Xi = (mext q β ⊕ mpα )( A)Y par l’injectivité de m( A).
Comme mext q β −→ 1 dans L∞ (µ) et mpα −→ 1 dans L∞ (µs ), (q β φa ⊕ pα φs )( A) ∑in=0 ai Xi
−→ Y et (mq β φa ⊕ mpα φs )( A) −→ φ( A) = B. Ainsi (q β φa ⊕ pα φs )( T )m( T ) −→ S. Ceci
prouve que S ∈ WT (m( T )). D’où le résultat.
4.3
Description de l’algèbre AlgLatT et réflexivité
L’objectif de cette section est de donner une description de l’algèbre AlgLatT et
d’étudier la réflexivité de T lorsque

T=
A X
R
0

où

X ∈ B(K, H)
est une extension d’un opérateur sous-normal A ∈ B(H) par un opérateur algébrique
R ∈ B(K). Nous commençons par donner une remarque et quelques lemmes essentiels
qui nous seront utiles pour la suite.
Remarque 4.3.1
Soient R ∈ B(K) un opérateur algébrique de polynôme minimal m, e ∈ K un
vecteur de polynôme R-annulateur m et F ∈ LatR tels que K = Vect R (e) ⊕ F . Si
Q ∈ AlgLatR, alors il existe en vertu du Théorème 3.3.1, un polynôme P et D ∈ B(K)
tels que Q = P( R) + D avec De = 0 et D|F = 0.
Lemme 4.3.1
Soient A ∈ B(H) tel que AlgLatA ⊂ { A}0 , R ∈ B(K) un opérateur algébrique de
polynôme minimal m et
"
T=
A X
0
R
#
où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R. Soit p un polynôme divisible par m. Si
{0} pour tout h ∈ H, alors AlgLatT ⊂ { p( T )}0 .
T
x ∈H
Vect A ( p( A) x + h) =
43
Démonstration : Posons p(z) = ∑in=0 αi zi de degré n et soit S ∈ AlgLatT. L’opérateur S
s’écrit sous la forme

S=
B Y
D
0


avec B ∈ AlgLatA, D ∈ AlgLatR et Y ∈ B(K, H). Pour montrer que S ∈ { p( T )}0 il
faut et il suffit de montrer que B ∑in=0 αi Xi = p( A)Y + ∑in=0 αi Xi D. Soient donc x ∈ H
et y ∈ K. Comme S( x + y) ∈ Vect T ( x + y) et
n
Vect T ( x + y) = {q( T )( x + y) : deg(q) < n} + Vect A ( p( A) x + ∑ αi Xi y),
i =0
il existe un polynôme analytique q(z) = ∑k bk zk ∈ Cn−1 [z] (dépendant de x et y) tel que
n
S( x + y) − q( T )( x + y) ∈ Vect A ( p( A) x + ∑ αi Xi y).
i =0
Ceci implique que


q( R)y = Dy,

 Bx + Yy − q( A) x − ∑k bk Xk y ∈ Vect A ( p( A) x + ∑n αi Xi y).
i =0
En appliquant p( A) à cette dernière équation on obtient :
n
( B − q( A))( p( A) x +
n
∑ αi Xi y) + p( A)(Yy − ∑ bk Xk y) + (q( A) − B) ∑ αi Xi y
i =0
i =0
k
n
∈ Vect A ( p( A) x + ∑ αi Xi y).
i =0
Comme B ∈ AlgLatA, on déduit que :
n
n
i =0
i =0
p( A)(Yy − ∑ bk Xk y) + (q( A) − B) ∑ αi Xi y ∈ Vect A ( p( A) x + ∑ αi Xi y).
k
Le vecteur x étant arbitraire, on obtient en vertu de l’hypothèse :
n
(∗)
p( A)(Yy − ∑ bk Xk y) + (q( A) − B) ∑ αi Xi y = 0.
k
i =0
44
D’autre part de l’égalité p( T )q( T ) = q( T ) p( T ), on obtient :
n
n
i =0
i =0
p( A) ∑ bk Xk y + ∑ αi Xi q( R)y = q( A) ∑ αi Xi y + ∑ bk Xk p( R)y.
k
k
Comme q( R)y = Dy et m divise p, cette dernière égalité devient :
n
n
i =0
i =0
p( A) ∑ bk Xk y + ∑ αi Xi Dy = q( A) ∑ αi Xi y.
k
En reportant l’expression de q( A) ∑in=0 αi Xi y dans (∗), on obtient
n
n
i =0
i =0
B ∑ αi Xi = p( A)Y + ∑ αi Xi D,
du fait que y est arbitraire dans K. D´où le résultat.
La preuve du théorème suivant repose en partie sur la notion de points d’évaluations
analytiques bornés et le Théorème 2.7.2. Plus précisément si A = Mz sur P 2 (µ) est un
opérateur sous-normal pur cyclique, alors il existe un sous-ensemble ouvert Ωµa ⊂ C tel
que pour tout λ ∈ Ωµa :
- Il existe k λ ∈ P 2 (µ) tel que p(λ) =
R
pk λ dµ.
R
- Pour toute f ∈ P 2 (µ), la fonction z → f k z dµ est analytique sur un voisinage de λ.
- P 2 (µ) = Vect{k λ : λ ∈ Ωµa }.
Théorème 4.3.2
Si A ∈ B(H) est un opérateur sous-normal, R ∈ B(K) est un opérateur algébrique de
polynôme minimal m et
"
T=
A X
0
R
#
où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R, alors AlgLatT ⊂ { P( T )}0 pour tout polynôme P divisible par
m et tel que 0 ∈
/ σp ( P( A)).
45
Démonstration : Notons d’abord, en vertu du Théorème 2.3.2, que si A = N ⊕ S est la
décomposition de A sur H = H0 ⊕ H1 en une partie N normale sur H0 et une partie S
sous-normale pure sur H1 ; on a pour tout h = h0 ⊕ h1 ∈ H0 ⊕ H1 et tout polynôme P :
\
Vect A ( P( A) x + h) ⊂
x = x0 + x1
\
\
Vect A ( P( N ) x0 + h0 ) ⊕
x0 ∈H0
Vect A ( P(S) x1 + h1 ).
x1 ∈H1
Donc pour démontrer le théorème il suffit, en vertu du Lemme 4.3.1, de prouver que
\
Vect A ( P( A) x + h) = {0}
∀ h ∈ H,
x ∈H
d’une part pour un opérateur A normal et d’autre part pour un opérateur sous-normal pur.
Soient h ∈ H et P un polynôme divisible par m.
Cas 1. A est normal. Posons Λ = {w ∈ C : P(w) = 0} et considérons, pour chaque
k ∈ N∗ , ∆k = z ∈ σ( A) : |z − λ| ≥ 1k , ∀λ ∈ Λ . Soit la fonction f k définie par
f k (z) =





1
,
P(z)



 0,
si z ∈ ∆k ;
si z ∈ σ( A)\∆k .
En posant xk = − f k ( A)h, on obtient P( A) xk = − E(∆k )h où E est la mesure spectrale
de A. Comme 0 ∈
/ σp ( P( A)), E(∆k ) −→ I et donc P( A) xk −→ −h. Comme
\
Vect A ( P( A) x + h) ⊂ Vect A ( P( A) xk + h),
x ∈H
on obtient par passage à la limite que
T
x ∈H
Vect A ( P( A) x + h) = 0, ce qui prouve le
résultat du premier cas.
Cas 2. A est sous-normal pur. Soient F0 = Vect A (h) et A0 = A| F0 . Comme A0 est un
opérateur sous-normal pur cyclique, on peut supposer que A0 = Mz sur F0 = P 2 (µ), où
µ est une mesure à support compact dans C. Pour λ ∈ Ωµa tel que P(λ) 6= 0, considérons
une fonction xλ définie par :
xλ = −
< h, k λ >
kλ .
P(λ)
46
Comme {k λ : λ ∈ Ωµa } est dense dans F0 et < P( A0 ) xλ + h, k λ >= 0, on obtient
Vect A0 ( P( A0 ) x + h) = {0} et par suite
T
x ∈ F0
Vect A0 ( P( A0 ) x + h) = {0}. Donc
T
x ∈H
Vect A ( P( A) x +
h) = {0}, ce qui achève la démonstration.
Lemme 4.3.3
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ et B ∈ W ( A).
Soient h ∈ H, λ ∈ G̊µ et n ≥ 1 . Si, pour tout x ∈ H, on a
B(( A − λ)n x + h) ∈ Vect A [( A − λ)n (( A − λ)n x + h)],
alors B ∈ WA (( A − λ)n ).
Démonstration : Puisque B ∈ W ( A), il existe un polynôme q de degré inférieur ou égal à
n − 1 tel que B − q( A) ∈ WA (( A − λ)n ). Nous allons montrer que q est identiquement
nul. Soit G0 la composante connexe de G̊µ contenant λ. On peut écrire H = H0 ⊕ H1
avec H0 et H1 invariant par A. De plus si on note respectivement par µ0 et µ1 les mesures
spectrales de A|H0 et A|H1 , alors µ = µ0 ⊕ µ1 , P ∞ (µ) = P ∞ (µ0 ) ⊕ P ∞ (µ1 ) et P ∞ (µ0 )
s’identifie canoniquement à H ∞ ( G0 ). Donc quitte à considérer A|H0 , on peut supposer
que P ∞ (µ) est antisymétrique. Soient k ∈ {1, ..., n} et considérons la forme linéaire Lk
définie sur les polynômes en A par Lk ( p( A)) = p(k) (λ) (p(k) est la dérivée k- ème de p).
Puisque λ ∈ G̊µ , Lk se prolonge en une forme linéaire w∗ -continue sur W ( A). D’après
le Lemme 2.6.5, il existe x et y dans H tels que
Lk = (( A − λ)n x + h) ⊗ y.
Comme B(( A − λ)n x + h) ∈ Vect A [( A − λ)n (( A − λ)n x + h)] et compte tenu du fait que
B − q( A) ∈ WA (( A − λ)n ), on a
q( A)(( A − λ)n x + h) ∈ Vect A [( A − λ)n (( A − λ)n x + h)].
Ainsi on obtient q(k) (λ) = Lk (q( A)) =< q( A)(( A − λ)n x + h), y >= 0. Comme deg(q) ≤
n − 1, q = 0 et par suite B ∈ WA (( A − λ)n ).
47
Lemme 4.3.4
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal, R ∈ B(K) un opérateur algébrique de polynôme minimal m et e ∈ K un vecteur de polynôme R-annulateur m. Soit
#
"
A X
T=
où
R
0
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R telle que m( A) est injectif. Soit
"
#
S=
B Y
0
De = 0.
tel que
D
Si S ∈ AlgLatT, alors B ∈ WA (m( A)).
Démonstration : Supposons que S ∈ AlgLatT. Soient µ la mesure spectrale scalaire de A
et G̊µ l’intérieur de l’enveloppe de Sarason associée à µ. Posons m = ∏ri=1 (z − λi )ni et
J = {i ∈ {1, .., r } : λi ∈
/ G̊µ }. Montrons d’abord que
WA (m( A)) =
(4.3)
\
WA (( A − λi )ni ).
i∈
/J
En effet, Comme pour tout i ∈
/ J , (z − λi )ni divise m, WA (m( A)) ⊂
Inversement, si C ∈
T
i∈
/J
T
i∈
/J
WA (( A − λi )ni ).
WA (( A − λi )ni ), alors pour tout i ∈
/ J , il existe d’après le Théo-
rème 2.4.1 et le Lemme 4.2.1, une fonction φi = (z − λi )ni f i ⊕ gi ∈ (z − λi )ni P∞ (µ a ) ⊕
L∞ (µ) tels que C = φi ( A). Donc si j ∈
/ J est tel que i 6= j, alors C = φi ( A) = φj ( A).
D’où (z − λi )ni f i = (z − λ j )n j f j µ − pp. Ceci implique que λ j est un zéro de f i d’ordre
de multiplicité supérieur ou égale n j . Puisque la fonction f i est holomorphe sur G̊µ ,
il existe une fonction hi ∈ P∞ (µ a ) tel que f i = hi
φi = mint hi ⊕ gi ∈ mint P∞ (µ a ) ⊕ L∞ (µs ). Ainsi φi ∈
∏ (z − λ j )n j . Par conséquent
j6=i,j/
∈J
P∞ (m, µ)
par le Lemme 4.2.1. Puis
C ∈ WA (m( A)) par le Théorème 2.4.1. D’où l’égalité.
Par ailleurs, pour montrer que B ∈ WA (m( A)) il suffit de montrer, en vertu du Lemme
4.3.3 et (4.3) pour un certain h ∈ H on ait pour tout x ∈ H et i ∈
/J :
B(( A − λi )ni x + h) ∈ Vect A [( A − λi )ni (( A − λi )ni x + h)].
48
Soient i ∈
/ J et x ∈ H. Posons Ki = Ker ( R − λi )ni , Ri = R|Ki . Soient ei ∈ Ki , la
projection de e sur Ki parallèlement à
L
j 6 =i
Ker ( R − λ j )n j . Comme S( x + ei ) ∈ Vect T ( x +
ei ) et ei admet (z − λi )ni Comme polynôme Ri -annulateur, il existe un polynôme analytique
q (dépendant de x et ei ) avec deg(q) < ni tel que


q( R)ei = Dei = 0,

 Bx + Yei − q( A) x − q( T )ei ∈ Vect A (( A − λi )ni x + ( T − λi )ni ei ).
Ainsi q = 0 et Bx + Yei ∈ Vect A (( A − λi )ni x + ( T − λi )ni ei ). Ceci entraîne
(4.4)
( A − λi )ni ( Bx + Yei ) ∈ Vect A [( A − λi )ni (( A − λi )ni x + ( T − λi )ni ei )].
Appliquons le Théorème 4.3.2 sur l’opérateur Ti = T |H⊕Ki , on obtient ( A − λi )ni Yei =
B( T − λi )ni ei . L’équation 4.4 devient alors
B(( A − λi )ni x + ( T − λi )ni ei ) ∈ Vect A [( A − λi )ni (( A − λi )ni x + ( T − λi )ni ei )].
Ceci achève la démonstration.
Lemme 4.3.5
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal, R ∈ B(K) un opérateur algébrique de polynôme minimal m = ∑nj=0 a j z j tel que m( A) est injectif et
"
T=
A X
0
R
#
où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R. Soient e ∈ K un vecteur de polynôme R-annulateur m et F ∈
LatR tel que K = Vect R (e) ⊕ F . Si S ∈ AlgLatT, alors S s’écrit d’une manière unique
sous la forme

S = S0 + 
0 C
0 D


tels que S0 ∈ W ( T ), D ∈ AlgLatR, De = 0, D|F = 0 et m( A)C + ∑nj=0 a j X j D = 0.
Démonstration : Unicité : Supposons que

V := 
0 C
0 D
49

 ∈ W (T )
tels que D ∈ AlgLatR, De = 0, D|F = 0 et m( A)C + ∑nj=0 a j X j D = 0. Donc D ∈ W ( R).
Puis D = 0 du fait que De = 0. Par suite C = 0 par l’équation m( A)C + ∑nj=0 a j X j D = 0
et l’injectivité de m( A). Ainsi V = 0.
Existence : Soit maintenant S ∈ AlgLatT. D’après le Théorème 4.3.2 et la réflexivité
de A, S s’écrit sous la forme

S=
B Y
D
0


avec B ∈ W ( A), D ∈ AlgLatR et B ∑nj=0 a j X j = m( A)Y + ∑nj=0 a j X j D. D’après la
remarque 4.3.1, et quite à retrancher de S un polynôme convenable en T, on peut supposer
que De = 0 et D |F = 0. Par suite on a B ∈ WA (m( A)) par le Lemme 4.3.4. Soit
C ∈ B(K, H) défini par :

 C| = 0
F
 CRk e = BX e − Ak Ye + YRk e,
k
Posons

S0 = 
B Y−C
0
0


1 ≤ k ≤ n − 1.

et
S1 = 
0 C
0 D

.
De B ∑nj=0 a j X j = m( A)Y + ∑nj=0 a j X j D et m( T ) T k = T k m( T ), on obtient m( A)C +
∑nj=0 a j X j D = 0, en effet on a :
m( A)CRk e = m( A)( BXk e − Ak Ye + YRk e)
= B(m( A) Xk e − Ak ∑nj=0 a j X j e + ∑nj=0 a j X j Rk e) − ∑nj=0 a j X j DRk e
= B(m( T ) T k − T k m( T ))e − ∑nj=0 a j X j DRk e
= − ∑nj=0 a j X j DRk e.
Comme B ∑nj=0 a j X j = m( A)(Y − C ) et B ∈ WA (m( A)), S0 ∈ W ( T ) par le lemme 4.2.2,
ce qui achève la démonstration.
50
Lemme 4.3.6
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ, R ∈ B(K) un
opérateur algébrique de polynôme minimal m = (z − λ)n . Supposons que A − λ est injectif
et soit
"
T=
A X
0
#
X ∈ B(K, H)
où
R
une extension de A par R. Si λ ∈ G̊µ , alors T est réflexif.
Démonstration : Soit S ∈ AlgLatT et posons m = ∑in=0 ai zi . D’après le lemme 4.3.5, on
peut supposer que S s’écrit sous la forme

S=
0 C
0 D


avec m( A)C + ∑in=0 ai Xi D = 0. Soient x ∈ H et y ∈ K. Comme S( x + y) ∈ Vect T ( x + y),
il existe un polynôme q(z) = ∑k bk zk (dépendant de x, y ) avec deg(q) < deg(m) tel que
(4.5)

 Dy = q( R)y
 Cy − q( A) x − ∑ b X y ∈ Vect A (m( A) x + ∑n ai Xi y).
k k k
i =0
D’autre part, en tenant compte de ce qui précède et de l’identité m( T )q( T ) = q( T )m( T ),
on a :
m( A)(Cy − q( A) x − ∑k bk Xk y) = −m( A)q( A) x − (∑in=0 ai Xi q( R)y + m( A) ∑k bk Xk y)
= −m( A)q( A) x − q( A) ∑in=0 ai Xi y
= −q( A)(m( A) x + ∑in=0 ai Xi y).
Par conséquent on a q( A)(m( A) x + ∑in=0 ai Xi y) ∈ Vect A (m( A)(m( A) x + ∑in=0 ai Xi y)).
Comme λ ∈ G̊µ , q( A) ∈ WA (m( A)) par le Lemme 4.3.3 et par suite q = 0 puisque
deg(q) < deg(m). Donc D = 0 et Comme m( A) est injectif, C = 0, ce qui implique que
S = 0.
Le théorème suivant réduit l’étude de la réflexivité d’une extension d’un opérateur
sous-normal par un opérateur algébrique à celle de la réflexivité d’une extension d’un
51
opérateur sous-normal par un opérateur nilpotent.
Théorème 4.3.7
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal et R ∈ B(K) un opérateur algébrique de
polynôme minimal m = ∏ri=1 (z − λi )ni . Supposons que m( A) est injectif et soit
"
#
A X
T=
0
X ∈ B(K, H)
où
R
une extension de A par R. Posons pour i = {1, 2, ..., r }, Ki = Ker ( R − λi )ni et Ti =
T|H⊕Ki . Alors on a T est réflexif si et seulement si pour tout i = {1, 2, ..., r }, Ti est réflexif.
Démonstration : Supposons que Ti est réflexif pour tout i ∈ {1, ..., r }. Montrons que T est
réflexif. Soient S ∈ AlgLatT, e ∈ K un vecteur de polynôme R-annulateur m et F ∈ LatR
tel que K = Vect R (e) ⊕ F . Posons m = ∑in=0 ai zi . D’après le Lemme 4.3.5, on peut
supposer que S s’écrit sous la forme :

S=
0 Y
0 D


Y ∈ B(K, H)
où
avec D ∈ AlgLatR, De = 0, D |F = 0 et m( A)Y + ∑nj=0 a j X j D = 0. Posons pour
tout i = {1, 2, ..., r }, Ri = R|Ki , Di = D|Ki et Si = S|H⊕Ki . Il est clair que pour tout
i = {1, 2, ..., r }

Si = 
0
Yi
0 Di

 ∈ AlgLat( Ti ).
Puisque Ti est réflexif, Si ∈ W ( Ti ) et par suite Di ∈ W ( Ri ). Si on note ei la projection
de e sur Ki parallèlement à
L
j 6 =i
Ker ( R − λ j )n j , on obtient Di ei = 0 puisque De = 0.
Ainsi Di = 0, donc D = 0, d’où S = 0 par l’injectivité de m( A) et l’équation m( A)Y +
∑nj=0 a j X j D = 0. Il en résulte que T est réflexif.
Inversement, supposons qu’il existe i0 ∈ {1, ..., r } tel que Ti0 n’est pas réflexif. On peut
écrire

Ti0 = 
A X i0
0
R i0

.
avec X i0 ∈ B(Ki0 , H). D’après le Lemme 4.3.5, il existe

Si 0 = 
0
Yi0
0 Di 0

 ∈ AlgLat( Ti )
0
tel que Si0 ∈
/ W ( Ti0 ). Soient µ la mesure spectrale scalaire de A et G̊µ l’intérieur de
l’enveloppe de Sarason associé à µ. On a λi0 ∈
/ G̊µ par le Lemme 4.3.6, donc le polynôme
(z − λi0 )ni0 divise le polynôme mext (mext est le facteur, du polynôme minimal m, dont les
racines sont à l’extérieur de G̊µ ). Si on pose mext (z) = ∑i β i zi , on obtient en vertu du
Théorème 4.3.2
(4.6)
mext ( A)Yi0 + ∑ β i Xi Di0 = 0.
i
Soient maintenant D ∈ B(K) et Y ∈ B(K, H) définis par

 D = D , sur K ;
i0
i0
 D = 0,
sur ⊕ j6=i0 K j
et

 Y = Y , sur K ;
i0
i0
 Y = 0,
sur ⊕ j6=i0 K j .
Considérons maintenant l’opérateur S ∈ B(H ⊕ K) défini par

S=
0 Y
0 D

.
Comme Si0 ∈
/ W ( Ti0 ), S ∈
/ W ( T ). Montrons que S ∈ AlgLatT. Soient x ∈ H et y ∈ K.
Puisque Di0 ∈ AlgLatRi0 et AlgLatR = ⊕ri=1 AlgLatRi , D ∈ AlgLatR. Il existe donc
un polynôme p (dépendant de y) tel que Dy = p( R)y. Il est clair que mext ( A)Y +
∑i β i Xi D = 0 et mext ( R) D = 0, ce qui implique que mext ( T )S = 0. Il en résulte que
mext ( T )(S − p( T ))( x + y) = −mext ( T ) p( T )( x + y) ∈ Vect T ( x + y).
Comme I ∈ WA (mext ( A)), il existe une suite de polynômes analytiques { pn } tel que
mext ( A) pn ( A) −→ I. Le fait que (S − p( T ))( x + y) est un vecteur de H,
mext ( T ) pn ( T )(S − p( T ))( x + y) −→ (S − p( T ))( x + y).
52
53
Ainsi (S − p( T ))( x + y) ∈ Vect T ( x + y) et donc S( x + y) ∈ Vect T ( x + y). Ceci montre
que S ∈ AlgLatT. Comme S ∈
/ W ( T ) et donc T n’est pas réflexif. D’où le résultat.
Théorème 4.3.8
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal de mesure spectrale scalaire µ et G̊µ l’intérieur
de l’enveloppe de Sarason. Soient R ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre n et e ∈ K tel
que Rn−1 e 6= 0. Supposons que A est injectif et soit
"
#
A X
T=
0
R
où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R. Alors T est réflexif si et seulement si, 0 ∈ G̊µ ou R est réflexif ou
Tn e ∈
/ ImA.
Démonstration : Si 0 ∈ G̊µ , alors T est réflexif d’après le Lemme 4.3.6. Supposons R est
réflexif ou T n e ∈
/ Im( A) et montrons que T est réflexif. Si S ∈ AlgLatT, alors, d’après le
Lemme 4.3.5, on peut supposer que

S=
0 Y
0 D


où Y ∈ B(K, H)
avec D ∈ AlgLatR, An Y + Xn D = 0, De = 0 et D |F = 0.
Si R est réflexif, il existe p polynôme tel que D = p( R), donc D = 0 et ainsi S = 0
par l’injectivité de A .
Supposons T n e ∈
/ Im( A). Comme D ∈ AlgLatR, il existe pour tout k ∈ {0, 1, ..., n},
pk = ∑ j ak,j z j polynôme tels que DRk e = pk ( R)e . De pk ( T ) T n = T n pk ( T ) on obtient pk ( A) Xn e − Xn pk ( R)e = An ∑ j ak,j X j e. Puis pk ( A) Xn e − Xn pk ( R)e ∈ ImAn et de
An Y + Xn D = 0, on obtient Xn pk ( R)e = Xn DRk e = − An YRk e. Ceci implique que , pour
tout k ∈ {0, 1, ..., n}, pk ( A) Xn e ∈ Im( An ) et par suite zn divise pk , donc DRk e = 0, puis
D = 0 et par suite S = 0.
Inversement, Supposons que 0 ∈
/ G̊µ , R n’est pas réflexif et T n e ∈ Im( A). Il existe
donc un vecteur y0 ∈ H tel que T n e = Ay0 et, par le Théorème 3.3.1, l’ordre de nilpotence
p de R|F est inférieur ou égale à n − 2. Considérons l’opérateur D ∈ B(K) défini par


D |F = 0,




 De = 0,


DRk e = 0,
si k ≥ n − p ;




DRk e = Rn−1 e, si 1 ≤ k ≤ n − p − 1.
Notons que D ∈
/ W ( R), sinon D = 0 du fait que De = 0 et par suite Rn−1 e = 0 et
ceci établit une contradiction avec le fait que e est un vecteur d’ordre maximum dans K.
De plus, pour tout 1 ≤ k ≤ n − p − 1, on a DRk e = Rn−k− p−1 ( R p+k e). Cela montre
D ∈ AlgLat( R) par le Théorème 3.3.1. Soit Y ∈ B(K, H) défini par


Y |F = 0,




 Ye = 0,

 YRk e = 0,
si k ≥ n − p ;




k
YR e = Xn−1 e − y0 , si 1 ≤ k ≤ n − p − 1.
De T n T k = T k T n (1 ≤ k ≤ n − p − 1), on obtient
An YRk e = An Xn−1 e − An y0
= A n X n −1 e − A n −1 X n e
= ( A n X n −1 − A n −1 X n ) e
= − X n R n −1 e
= − Xn DRk e.
On obtient donc An Y + Xn D = 0 sur K. Soit S ∈ B(H ⊕ K) défini par

S=
0 Y
0 D

.
Il est clair que S ∈
/ W ( T ) puisque D ∈
/ W ( R). Montrons que S ∈ AlgLatT. Soient x ∈ H
et y ∈ K. Soit p polynôme dépendant de y tel que Dy = p( R)y. On a T n S = 0 en vertu
de An Y + Xn D = 0. Donc T n (S − p( T ))( x + y) = − T n p( T )( x + y) ∈ Vect T ( x + y).
Le fait que I ∈ WA ( A), il existe une suite de polynômes p j j tels que An p j ( A) −→
54
4.4 Défaut de réflexivité
55
I faiblement dans B(H). D’où T n p j ( T )(S − p( T ))( x + y) −→ (S − p( T ))( x + y) car
(S − p( T ))( x + y) ∈ H. Donc (S − p( T ))( x + y) ∈ VectT ( x + y) et ainsi S ∈ AlgLatT
4.4
Défaut de réflexivité
En adoptant la démarche entreprise dans la preuve du Théorème 4.3.7, on peut obtenir
aisément le théorème suivant :
Théorème 4.4.1
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal et R ∈ B(K) un opérateur algébrique de
polynôme minimal m = ∏ri=1 (z − λi )ni . Supposons que m( A) est injectif et soit
"
#
A X
T=
0
où
R
X ∈ B(K, H)
une extension de A par R. Posons pour i = {1, 2, ..., r }, Ki = Ker ( R − λi )ni et Ti =
T|H⊕Ki . On a α( T ) = ∑ri=1 α( Ti )
Ainsi le calcul de défaut de réflexivité d’une extension T d’un opérateur sous-normal par
un opérateur algébrique est réduit donc au calcul de défaut de réflexivité d’une extension
d’un opérateur sous-normal par un opérateur nilpotent. On a le résultat suivant qui peut
s’obtenir en adoptant la même démarche que dans la preuve du Théorème 4.3.11.
Théorème 4.4.2
Soient A ∈ B(H) un opérateur sous-normal et N ∈ B(K) un opérateur nilpotent d’ordre
n. Soit
"
T=
A X
0
N
#
où
X ∈ B(K, H)
une extension de A par N. Supposons que A est injectif. Soient e ∈ K tel que N n−1 e 6= 0,
F ∈ LatN tel que K = Vect N (e) ⊕ F . Soient z p le polynôme minimal de N|F , h =
Max {k ≥ 0 : T n e ∈ Ak (H)} et m = Min(n − p − 1, h). On a α( T ) = m(n − p −
m) +
m ( m −1)
.
2
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For Evaluation Only.
BIBLIOGRAPHIE
58
DOCTORAT
Résumé de la Thèse
Discipline : Mathématiques.
Spécialité : Analyse fonctionnelle.
U.F.R : Modèles fonctionnelles et sous espaces invariants.
Période d’accréditation : 2001.
Directeur de l’UFR : El Hassan Zerouali.
Titre de la thèse : Réflexivité d’une extension d’un opérateur sous-normal par un opérateur
algébrique
Prénom, Nom : KHALID ELHACHIMI
Résumé : Un opérateur linéaire borné T sur un espace de Hilbert est dit réflexif si les opérateurs
qui laissent invariant les souse-spaces invariants pour T sont wot-limites de polynômes en T.
Dans cette thèse, nous proposons une étude complète sur la réflexivité d’une extension d’un
opérateur sous-normal A ∈ B(H) par un opérateur algébrique R ∈ B(K) de polynôme minimal
m = ∏ri=1 (z − λi )ni de degré n, où K est un espace de Hilbert
 complexe
 séparable. L’opérateur
A X
 où X ∈ B(K, H). Dans
T s’écrit suivant la décomposition H ⊕ K sous la forme T = 
0 R
un premier temps nous montrons que T est réflexif si et seulement si pour tout i = {1, 2, ..., r }, la
restriction de T sur le sous espace H ⊕ Ker ( R − λi )ni de H ⊕ K est réflexif. Ceci nous ramène
à l’étude de la réflexivité de T lorsque R est nilpotent. Dans ce cas nous montrons que T est
réflexif si et seulement si l’une des trois conditions suivantes est satisfaite
i − Le spectre de R est à l’intérieur de l’enveloppe de Sarason associé à la mesure spectral
scalaire de A.
ii − L’opérateur R est réflexif.
iii − Le vecteur T n e est dans l’espace image de A, où e est un vecteur d’ordre maximum dans
K et n l’indice de nilpotence de R.
Ensuite, nous donnons une formule pour le défaut de réflexivité de telles extensions.
Mots-clefs (5) :Décomposition de Sarason ; Extensions d’opérateurs ; Fermeture faible des
polynômes ; Opérateur algébrique ; Opérateur réflexif ; Opérateur sous-normal ; Points d’évaluations ; Sous-espaces invariants.

THESE DE DOCTORAT Réflexivité d`une extension d`un

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