Word Pro - Licence2_Analyse_Series_TD_04.lwp

Université de Picardie Jules Verne
Antenne de Beauvais
Mathématiques
Licence 2 : Séries
TD 4
2ème semestre
2007/2008
____________________________________________________________________________________
Exercice 1
A l'aide du théorème de comparaison avec une intégrale, déterminer la nature de la série de terme général
1
pour n  2.
un =
(n ln n )(ln ln n )
Exercice 2
Etudier la convergence de la série de terme général u n =
1
2 pour n  2.
(
n 1 + ln n )
Exercice 3
Soit a un réel strictement positif. On considère la série un de terme général un = p1n
nombre de chiffres dans l'écriture en base 10 de n.
1.
Montrer que : −1 + pn  log10 n  pn.
2.
Etudier la nature de la série.
a
où pn est le
Exercice 4
On considère les séries de termes généraux un =
1.
2.
(−1 ) n
(−1 ) n
(−1 ) n
et vn =
1+
n
n
n
Montrer que u est équivalente à v.
Etudier la convergence de u n et de v n .
Exercice 5
Déterminer la nature de la série de terme général u n =
(−1) n ln n
.
n
Exercice 6
Déterminer la nature de la série de terme général un =
(−1 ) n
n.
n + (−1 )
Exercice 7
−n
Montrer que la série de terme général u n = 1 + 1n
est convergente.
Jusqu'à quel ordre faut-il aller pour avoir une somme partielle qui soit une valeur approchée de la
limite à 10−3 près?
2
1.
2.
Francis Wlazinski
Exercice 8
1.
a.
2.
b.
a.
b.
Montrer que la suite de terme général v n = nn et définie sur * est décroissante.
2
Déterminer le réel k tel que vn  k pour tout entier n ≥ 4.
n
Montrer que la série de terme général u n = nn 2 et définie sur * est convergente.
2
Jusqu'à quel ordre faut-il aller pour avoir une somme partielle qui soit une valeur
approchée de la limite à 10−3 près?
Exercice 9
Soient a, b, c et r quatre réels non nuls.
2
+c.
Déterminer la nature de la série de terme général un = an +rbn
n
Exercice 10
Etudier la nature de la série de terme général un = ln 1 +
(−1 ) n−1
où a et a > 0.
na
Exercice 11
Etudier la nature de la série de terme général un = 1n sin 4n − 3 .
6
Exercice 12
Soit un une série à termes positifs et soit vn la série de terme général v n =
Montrer que les séries un et vn sont de même nature.
un
.
1 + un
Francis Wlazinski