Devoir en temps libre : no II 1.1 Définition d`une matrice 1.2

—- Le mercredi 10 novembre 2015
Devoir en temps libre : no II
Exercice 1
On définit une matrice à l’aide du package linalg qui comporte la fonction matrix.
> with(linalg) ;
1.1
Définition d’une matrice
1 Eléments d’une matrice
> A := matrix ( 3 , 3 , [ 0 , 1 , -1 , -3 , 4 , -3 , -1 , 1 , 0 ] ) ; # dimensions puis éléments de chaque ligne
de la matrice
> A := matrix ( [ [ 0 , 1 , -1 ] , [ -3 , 4 , -3 ] , [ -1 , 1 , 0 ] ] ) ; # liste dont les éléments sont des listes
donnant les lignes de la matrice
On accède au coefficient Aij de la matrice A avec A [ i , j].
Le nombre de lignes s’obtient par rowdim(A) et le nombre de colonnes par coldim(A).
> A : = matrix ( 3 , 3 ) ; A [ 1 , 1 ] : = 5 ; evalm ( A ) ; # création d’une matrice dont les éléments sont
indéterminés puis affectation de la valeur 5 à l’élément A11
> rowdim(A) ;
> coldim(A) ;
2 Matrice à termes tous égaux :
> B := matrix ( 3 , 3 , 10 ) ;
3 Matrice unité
> Id := diag ( 1 $ 3 ) ; # matrice unité d’ordre 3
1.2
Opérations sur les matrices
1 On utilise les notations habituelles sauf pour le produit de deux matrices qui se note & *.
Attention : toute opération sur les matrices demande l’emploi de la fonction evalm pour évaluer le
résultat.
> F := 3 * A ; evalm ( F ) ;
> C := A &* ( B + 4 * A ) ; evalm(C) ;
> evalm ( &* ( A , B , C ) ) ; # multiplication de 3 matrices
> evalm ( A3̂ ) ; # puissance d’une matrice
2 Inverse d’une matrice carrée
> inverse ( A ) ; # inverse d’une matrice carrée inversible
1
1.3
Equation matricielle AX = B avec A inversible
On donne
les deux
matrices


  A et B :
2 −1 1
−4


 
A = 1 0 1 et B =  10 


 
3 1 1
2
On veut déterminer une matrice X de format 3 × 1 telles queAX = B.
1 Vérifier que la matrice A est inversible.
> A := matrix(3,3,[2,-1,1,1,0,1,3,1,1]) ;
> INV := inverse(A) ;
2 La solution est X = A−1 B .
> X :=evalm(INV &* B) ;
1.4
Calcul de la puissance nième d’une matrice carrée
Soit M une matrice carrée et n un entier naturel non nul, on veut calculer la matrice Mn en fonction de n.
On cherche (si elle existe) une matrice carrée P telle que la matrice P −1 MP soit une matrice diagonale D.
On obtient alors!M = P DP −1 ; puis par une récurrence ( à savoir faire ..) M n = P D n P −1
0 −1
Soit M =
3 4
> Dia := jordan (M, ‘P‘) ; # on obtient la matrice diagonale que l’on appelle Dia
> P := evalm (P) ; # on obtient la matrice P
> evalm ( &* (P, Dia, inverse(P) ) ) ; # on vérifie que M = P DP −1
> Dn := matrix ( 2, 2, [1, 0, 0, 3n̂] ) ; # on calcule D n
> Mn :=evalm ( &* (P, Dn, inverse(P) ) ) ; # on calcule M n


1 1 n
 3 − 1 3n

−
3


2 2 
M n =  23 23
1 3 

− + 3n − + 3n 
2 2
2 2
1.5
Application
On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.
Pour tout entier naturel n, on note jn le nombre d’animaux jeunes et an le nombre d’animaux adultes après
n années d’observation.
Au début de l’étude, il y a 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes : j0 = 200 et a0 = 500 .
On admet que, pour tout entier naturel n, on a :
(
jn+1 = 0, 125jn + 0, 525an
an+1 = 0, 625jn + 0, 625an
a
On pose Un = n
jn
!
1 Donner la matrice M telle que, pour tout entier naturel n, Un+1 = M × Un .
2 Pour tout entier naturel non nul n, exprimer Un en fonction de M et de U0 .
3 Pour tout entier naturel non nul n, calculer, à l’aide de Maple, M n puis jn et an en fonction de n.
4
a. Déterminer les limites des suites (an ) et (jn )
b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?
2