Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

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L2 Eco-Gestion, option AEM
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Objectif
But de la théorie des probabilités : développer un formalisme adapté à
l’étude des phénomènes dans lequel le hasard intervient.
« aléatoire » vient de « alea » signifiant « jeu de dés » en latin.
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Plan
1
Expérience aléatoire
Notion d’expérience aléatoire
Notion d’évènement
2
Probabilités : axiomes et propriétés
Formalisation de la notion de probabilité
Propriétés d’une probabilité
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Plan
1
2
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Définitions et notations
Une expérience est dite aléatoire si on ne peut pas prédire avec
certitude son résultat.
Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité,
noté ω.
L’ensemble des issues est appelé l’espace fondamental (ou univers),
noté Ω.
Définir ω, Ω, card (Ω) dans les exemples ci-dessous :
1
On lance une pièce de monnaie.
2
On lance 3 fois une pièce de monnaie.
3
On lance deux fois un dé.
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Définition
Définition
On appelle évènement A tout sous-ensemble de Ω.
Exemple 4
On lance deux fois un dé.
A = “obtenir deux nombres supérieurs ou égaux à 5”
B = “obtenir une somme inférieure ou égale à 3”
Remarques
Un évènement est un ensemble d’issues. Les issues sont également
appelées des événements élémentaires.
A appartient à P(Ω), l’ensemble des parties de Ω : A ∈ P(Ω)
On dira qu’un évènement A est réalisé si et seulement si le résultat ω
de l’expérience appartient à A : ω ∈ A.
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Exemple
Dans la suite on considère l’expérience aléatoire consistant à jeter un dé ;
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et A l’évènement :
A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6} ∈ P(Ω).
Inclusion
A ⊂ B signifie que chacun des évènements élémentaires de A appartiennent
également à B :
ω ∈ A =⇒ ω ∈ B
Si A est réalisé, alors B l’est également.
Si B = "obtenir un nombre supérieur ou égal à 2 ", alors on a A ⊂ B.
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Evènement complémentaire
A , le complémentaire de A, est constitué des évènements élémentaires qui
n’appartiennent pas à A.
Dans notre exmple : A = "obtenir un nombre impair" = {1, 3, 5}.
Evènement certain, évènement impossible
Ω est l’évènement certain (il est réalisé à chaque expérience).
Son complémentaire Ω = ∅ est l’évènement impossible.
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Intersection de deux évènements
A ∩ B est l’ensemble des évènements élémentaires qui appartiennent à la
fois à A et à B :
(ω ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (ω ∈ A et ω ∈ B)
A ∩ B est réalisé si et seulement si A et B le sont.
Si C = "obtenir un nombre supérieur ou égal à 5", alors A ∩ C = {6} .
Evènements incompatibles
A ∩ B = ∅ signifie que A et B sont des évènements incompatibles. A et B
ne peuvent pas être réalisés en même temps.
A et A sont incompatibles : A ∩ A = ∅.
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Réunion de deux évènements
A ∪ B est l’ensemble des évènements élémentaires qui appartiennent à A ou
à B.
(ω ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (ω ∈ A ou ω ∈ B)
A ∪ B est réalisé si et seulement si A ou B l’est.
Attention
Le “ou” n’est pas exclusif.
Si D = "obtenir un nombre inférieur ou égal à 3", alors A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 6}
Cardinal d’une réunion
Si A et B sont deux ensembles, on a :
card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B).
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Propriétés utiles des ensembles
Distributivité
Soient A, B et C trois ensembles. On a :
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
Loi de Morgan
Soient A et B deux ensembles. On les égalités suivantes :
A∩B = A∪B
A∪B = A∩B
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Plan
1
2
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Approche intuitive
Cas particulier de l’équiprobabilité
On voudrait définir une probabilité vérifiant...
P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0 ;
les probabilités s’additionnent pour des évènements disjoints ;
la sommes des probabilités des évènements élémentaires fasse 1 ;
etc.
Exemple
Considérons un sac contenant n billes indiscernables au toucher, dont r
billes rouges.
Chaque bille a la même probabilité d’être tirée (équiprobabilité).
La probabilité de tirer une bille particulière est de “une chance sur n”,
soit n1 .
La probabilité de tirer une bille rouge est de “r chances sur n”, soit nr .
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Approche intuitive
Définition
On considère une expérience aléatoire telle que :
l’espace fondamental Ω défini soit de cardinal fini ;
les éventualités qui le composent soient équiprobables.
On définit alors la probabilité d’un évènement A par :
P(A) =
card (A) nombre de cas favorables
=
card (Ω)
nombre de cas possibles
Attention
Formule valable seulement en situation d’équiprobabilité !
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Approche intuitive
Exemple
On jette deux fois une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d’avoir
deux fois face ? d’avoir pile et face ?
Paradoxe des prisonniers
Trois prisonniers sont dans une cellule. Deux vont être condamnés et l’un
va être gracié. Un des prisonniers demande au gardien de lui désigner qui,
parmi ses deux camarades, sera condamné. Le gardien désigne un des deux
prisonniers. Le prisonnier lui dit alors : “merci, avant j’avais une chance sur
trois d’être gracié, mais maintenant j’en ai une sur deux !”
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Généralisation : définition axiomatique
Définition
Une (loi de) probabilité sur Ω est une fonction P de P(Ω) dans [0; 1]
vérifiant les propriétés (ou axiomes) suivantes :
P(Ω) = 1
Propriété d’additivité : pour toute suite dénombrable d’évènements
A1 , A2 , ... ∈ P(Ω) deux à deux incompatibles, on a :
P(
∞
[
i=1
∞
Ai ) =
∑ P(Ai )
i=1
Remarque
Le triplet (Ω, P(Ω), P) s’appelle un espace probabilisé.
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Propriétés
1
P(A) = 1 − P(A)
2
P(∅) = 0
3
A ⊂ B =⇒ P(A) ≤ P(B)
4
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Preuve
par exemple par le diagramme de Venn.
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Retour sur l’exercice des anniversaires
Combien de personnes au minimum faut-il réunir dans une pièce pour que
la probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour soit
d’au moins 1/2 ? Et pour qu’elle soit d’au moins 99% ?
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Fréquence d’évènement et probabilité
Fréquence empirique
On considère une expérience aléatoire répétée s fois dans des conditions
strictement identiques. La fréquence d’apparition de l’évènement
A ∈ P(Ω) est définie par
fs (A) =
Nombre de fois où A se réalise
s
lancer d’un dé à 6 faces
Soit l’évènement "obtenir 1". Après 100 répétitions la même expérience, on
a obtenu 15 tirages de 1 : f100 ({1}) = 15% 6= P({1}) = 1/6.
Convergence de la fréquence : approche fréquentiste
Lorsqu’il est possible de réaliser l’expérience aléatoire une infinité de fois
dans les mêmes conditions, la fréquence d’apparition de tout évènement
A ∈ P(Ω) converge vers sa probabilité : lims→∞ fs (A) = P(A).
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